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12. 我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式.例如，本题图中由图1可以得到$(a + 2b)(a + b)=a^{2}+3ab + 2b^{2}$，请写出图2所表示的数学等式：
$ (2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2} $
.答案
12. $ (2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2} $
解析
【解析】
图2中，大长方形的长为$2a + b$，宽为$a + 2b$，其面积可表示为$(2a + b)(a + 2b)$；将大长方形分割为若干小长方形，各小长方形面积之和为$2a^2 + 5ab + 2b^2$。根据面积相等，可得等式：$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2}$。
【答案】
$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2}$
【知识点】
多项式乘多项式、数形结合思想
【点评】
本题通过图形面积的不同计算方式推导代数恒等式，体现了数形结合的思想，帮助理解多项式乘法的运算规律。
【难度系数】
0.8
图2中，大长方形的长为$2a + b$，宽为$a + 2b$，其面积可表示为$(2a + b)(a + 2b)$；将大长方形分割为若干小长方形，各小长方形面积之和为$2a^2 + 5ab + 2b^2$。根据面积相等，可得等式：$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2}$。
【答案】
$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2}$
【知识点】
多项式乘多项式、数形结合思想
【点评】
本题通过图形面积的不同计算方式推导代数恒等式，体现了数形结合的思想，帮助理解多项式乘法的运算规律。
【难度系数】
0.8
13. 符号$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$叫作二阶行列式，规定它的法则为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，例如$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1×4 - 2×3=-2$.化简：$\begin{vmatrix}a + 2&a + 3\\a - 2&a + 3\end{vmatrix}=$ ______ .
答案
13. $ 4a + 12 $
解析
【解析】
根据二阶行列式的法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，代入原式得：
$\begin{vmatrix}a + 2&a + 3\\a - 2&a + 3\end{vmatrix}=(a+2)(a+3)-(a+3)(a-2)$
展开并去括号：
$(a^2+3a+2a+6)-(a^2-2a+3a-6)$
合并同类项：
$a^2+5a+6 -a^2 -a +6=4a+12$
【答案】
$\boldsymbol{4a + 12}$
【知识点】
二阶行列式运算，整式混合运算
【点评】
本题需准确运用二阶行列式的运算法则，将其转化为整式的混合运算，再通过整式乘法与合并同类项完成化简，重点考查对新定义运算的理解及整式运算能力。
【难度系数】
0.7
根据二阶行列式的法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，代入原式得：
$\begin{vmatrix}a + 2&a + 3\\a - 2&a + 3\end{vmatrix}=(a+2)(a+3)-(a+3)(a-2)$
展开并去括号：
$(a^2+3a+2a+6)-(a^2-2a+3a-6)$
合并同类项：
$a^2+5a+6 -a^2 -a +6=4a+12$
【答案】
$\boldsymbol{4a + 12}$
【知识点】
二阶行列式运算，整式混合运算
【点评】
本题需准确运用二阶行列式的运算法则，将其转化为整式的混合运算，再通过整式乘法与合并同类项完成化简，重点考查对新定义运算的理解及整式运算能力。
【难度系数】
0.7
14. 设$A=-2(a^{2}+3a)$，$B=(2a + 10)(2 - a)$，其中$a≠0$，则$A$，$B$的大小关系为(
A.$A＞B$
B.$A＜B$
C.$A = B$
D.无法确定
B
)A.$A＞B$
B.$A＜B$
C.$A = B$
D.无法确定
答案
14. B
解析
【解析】
要比较$A$与$B$的大小，采用作差法：
1. 展开化简$A$、$B$：
$A=-2(a^2+3a)=-2a^2-6a$，
$B=(2a+10)(2-a)=4a-2a^2+20-10a=-2a^2-6a+20$；
2. 计算$A-B$：
$A-B=(-2a^2-6a)-(-2a^2-6a+20)=-20$；
3. 判断差的符号：
因为$-20＜0$，所以$A-B＜0$，即$A＜B$。
【答案】
B
【知识点】
作差法比较大小、整式的混合运算
【点评】
本题考查作差法比较代数式大小，关键是熟练掌握整式的展开与化简，通过差的正负确定大小关系，注重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
要比较$A$与$B$的大小，采用作差法：
1. 展开化简$A$、$B$：
$A=-2(a^2+3a)=-2a^2-6a$，
$B=(2a+10)(2-a)=4a-2a^2+20-10a=-2a^2-6a+20$；
2. 计算$A-B$：
$A-B=(-2a^2-6a)-(-2a^2-6a+20)=-20$；
3. 判断差的符号：
因为$-20＜0$，所以$A-B＜0$，即$A＜B$。
【答案】
B
【知识点】
作差法比较大小、整式的混合运算
【点评】
本题考查作差法比较代数式大小，关键是熟练掌握整式的展开与化简，通过差的正负确定大小关系，注重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
15. 一个长方形的长、宽分别为$a(\mathrm{cm})$，$b(\mathrm{cm})$，现将长方形的长和宽各增加$2\ \mathrm{cm}$.
(1) 问：新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
(2) 如果新长方形的面积是原长方形面积的$2$倍，求$(a - 2)(b - 2)$的值.
(1) 问：新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
(2) 如果新长方形的面积是原长方形面积的$2$倍，求$(a - 2)(b - 2)$的值.
答案
15. 解：(1) $ (a + 2)(b + 2)-ab = ab + 2a + 2b + 4 - ab=(2a + 2b + 4)\mathrm{cm}^{2} $。
(2) 由题意，得 $ (a + 2)(b + 2)=2ab,ab + 2a + 2b + 4 = 2ab $，
$ \therefore ab - 2a - 2b = 4 $。$ \therefore (a - 2)(b - 2)=ab - 2a - 2b + 4 = 4 + 4 = 8 $。
(2) 由题意，得 $ (a + 2)(b + 2)=2ab,ab + 2a + 2b + 4 = 2ab $，
$ \therefore ab - 2a - 2b = 4 $。$ \therefore (a - 2)(b - 2)=ab - 2a - 2b + 4 = 4 + 4 = 8 $。
解析
【解析】
(1) 先分别表示新长方形和原长方形的面积，再作差计算增加的面积：
新长方形面积为$(a + 2)(b + 2)$，原长方形面积为$ab$，
则增加的面积为：
$(a + 2)(b + 2)-ab = ab + 2a + 2b + 4 - ab=2a + 2b + 4$，
即新长方形的面积比原长方形的面积增加了$(2a + 2b + 4)\mathrm{cm}^{2}$。
(2) 根据题意列等式并变形，再整体代入求值：
由新长方形面积是原长方形面积的2倍，得$(a + 2)(b + 2)=2ab$，
展开得$ab + 2a + 2b + 4 = 2ab$，
移项整理得$ab - 2a - 2b = 4$，
将$(a - 2)(b - 2)$展开得$ab - 2a - 2b + 4$，
把$ab - 2a - 2b = 4$代入，得$4 + 4 = 8$，
即$(a - 2)(b - 2)$的值为8。
【答案】
(1) $(2a + 2b + 4)\mathrm{cm}^{2}$；
(2) $8$
【知识点】
多项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题考查整式运算的实际应用，需熟练掌握多项式乘多项式法则，第二问通过变形已知等式，利用整体代入思想求解，体现了整体思想在整式求值中的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 先分别表示新长方形和原长方形的面积，再作差计算增加的面积：
新长方形面积为$(a + 2)(b + 2)$，原长方形面积为$ab$，
则增加的面积为：
$(a + 2)(b + 2)-ab = ab + 2a + 2b + 4 - ab=2a + 2b + 4$，
即新长方形的面积比原长方形的面积增加了$(2a + 2b + 4)\mathrm{cm}^{2}$。
(2) 根据题意列等式并变形，再整体代入求值：
由新长方形面积是原长方形面积的2倍，得$(a + 2)(b + 2)=2ab$，
展开得$ab + 2a + 2b + 4 = 2ab$，
移项整理得$ab - 2a - 2b = 4$，
将$(a - 2)(b - 2)$展开得$ab - 2a - 2b + 4$，
把$ab - 2a - 2b = 4$代入，得$4 + 4 = 8$，
即$(a - 2)(b - 2)$的值为8。
【答案】
(1) $(2a + 2b + 4)\mathrm{cm}^{2}$；
(2) $8$
【知识点】
多项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题考查整式运算的实际应用，需熟练掌握多项式乘多项式法则，第二问通过变形已知等式，利用整体代入思想求解，体现了整体思想在整式求值中的应用。
【难度系数】
0.7
