1. 用计算器求 $ \cos 27^{\circ}40' $ 的近似值,四舍五入后的结果是( )
A.0.885 7
B.0.885 6
C.0.885 2
D.0.885 1
A.0.885 7
B.0.885 6
C.0.885 2
D.0.885 1
答案
【解析】：将$27^{\circ}40'$转换为度，$40'=\frac{40}{60}\approx0.6667^{\circ}$，则$27^{\circ}40'\approx27.6667^{\circ}$。使用计算器计算$\cos27.6667^{\circ}$，得到结果约为$0.8856$，四舍五入后为$0.8856$。
【答案】：B
【答案】：B
2. 如图,梯子(长度不变,可在地面上挪动)与地面所成的锐角为$ \angle A $,下列关于$ \angle A $的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系中叙述正确的是( )
A.$ \sin A $的值越大,梯子越陡
B.$ \cos A $的值越大,梯子越陡
C.$ \tan A $的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与$ \angle A $的三角函数值无关
A.$ \sin A $的值越大,梯子越陡
B.$ \cos A $的值越大,梯子越陡
C.$ \tan A $的值越小,梯子越陡
D.陡缓程度与$ \angle A $的三角函数值无关
答案
A
解析
根据锐角三角函数的定义，梯子的陡峭程度与角度 $ \angle A $ 的三角函数值有关。具体分析如下：
1. $ \sin A $ 的值越大，说明 $ \angle A $ 越大，梯子越陡。
2. $ \cos A $ 的值越大，说明 $ \angle A $ 越小，梯子越缓。
3. $ \tan A $ 的值越小，说明 $ \angle A $ 越小，梯子越缓。
4. 选项 D 明显错误，因为梯子的陡缓程度与 $ \angle A $ 的三角函数值有关。
因此，$ \sin A $ 的值越大，梯子越陡是正确的。
1. $ \sin A $ 的值越大，说明 $ \angle A $ 越大，梯子越陡。
2. $ \cos A $ 的值越大，说明 $ \angle A $ 越小，梯子越缓。
3. $ \tan A $ 的值越小，说明 $ \angle A $ 越小，梯子越缓。
4. 选项 D 明显错误，因为梯子的陡缓程度与 $ \angle A $ 的三角函数值有关。
因此，$ \sin A $ 的值越大，梯子越陡是正确的。
3. 三角函数值 $ \sin 30^{\circ} $,$ \cos 16^{\circ} $,$ \sin 43^{\circ} $之间的大小关系是( )
A.$ \sin 43^{\circ}＞\cos 16^{\circ}＞\sin 30^{\circ} $
B.$ \cos 16^{\circ}＞\sin 30^{\circ}＞\sin 43^{\circ} $
C.$ \cos 16^{\circ}＞\sin 43^{\circ}＞\sin 30^{\circ} $
D.$ \sin 43^{\circ}＞\sin 30^{\circ}＞\cos 16^{\circ} $
A.$ \sin 43^{\circ}＞\cos 16^{\circ}＞\sin 30^{\circ} $
B.$ \cos 16^{\circ}＞\sin 30^{\circ}＞\sin 43^{\circ} $
C.$ \cos 16^{\circ}＞\sin 43^{\circ}＞\sin 30^{\circ} $
D.$ \sin 43^{\circ}＞\sin 30^{\circ}＞\cos 16^{\circ} $
答案
C
解析
首先知道$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，
利用转化$\cos16^{\circ}=\sin(90^{\circ}-16^{\circ})=\sin74^{\circ}$，
根据正弦函数值随角度的增加而增加，
因为$74^{\circ}＞43^{\circ}＞30^{\circ}$，
所以$\sin74^{\circ}＞\sin43^{\circ}＞\sin30^{\circ}$，
即$\cos16^{\circ}＞\sin43^{\circ}＞\sin30^{\circ}$。
利用转化$\cos16^{\circ}=\sin(90^{\circ}-16^{\circ})=\sin74^{\circ}$，
根据正弦函数值随角度的增加而增加，
因为$74^{\circ}＞43^{\circ}＞30^{\circ}$，
所以$\sin74^{\circ}＞\sin43^{\circ}＞\sin30^{\circ}$，
即$\cos16^{\circ}＞\sin43^{\circ}＞\sin30^{\circ}$。
4. 如图,这是某楼梯的侧面示意图,已测得 $ BC $ 的长约为3.5 m,$ \angle BCA $ 约为$ 29^{\circ} $,则该楼梯的高度 $ AB $ 可表示为( )
A.$ 3.5\sin 29^{\circ}\ m $
B.$ 3.5\cos 29^{\circ}\ m $
C.$ 3.5\tan 29^{\circ}\ m $
D.$ \frac{3.5}{\cos 29^{\circ}}\ m $
A.$ 3.5\sin 29^{\circ}\ m $
B.$ 3.5\cos 29^{\circ}\ m $
C.$ 3.5\tan 29^{\circ}\ m $
D.$ \frac{3.5}{\cos 29^{\circ}}\ m $
答案
A
解析
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=29°，BC=3.5m，sin∠BCA=AB/BC，所以AB=BC·sin∠BCA=3.5sin29°m
5. 设 $ \sin 48^{\circ}=a $,$ \cos 24^{\circ}=b $,$ \tan 46^{\circ}=c $,下列关系式中,正确的是( )
A.$ a＜b＜c $
B.$ b＜a＜c $
C.$ c＜b＜a $
D.$ c＜a＜b $
A.$ a＜b＜c $
B.$ b＜a＜c $
C.$ c＜b＜a $
D.$ c＜a＜b $
答案
A
解析
因为$\cos24^{\circ}=\sin(90^{\circ}-24^{\circ})=\sin66^{\circ}$，正弦函数在$0^{\circ}\sim90^{\circ}$随角度增大而增大，所以$\sin48^{\circ}＜\sin66^{\circ}$，即$a ＜ b$；正切函数在$0^{\circ}\sim90^{\circ}$随角度增大而增大，$\tan46^{\circ}＞\tan45^{\circ}=1$，而$\sin66^{\circ}＜1$，故$b ＜ c$，综上$a ＜ b ＜ c$。
6. 比较大小：$ \sin 40^{\circ} $______$ \tan 40^{\circ} $.
答案
＜
解析
在锐角范围内，$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，且$0 ＜ \cos\alpha ＜ 1$，所以$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} ＞ \sin\alpha$，故$\sin 40^{\circ} ＜ \tan 40^{\circ}$
7. 如图,人字梯 $ AB $,$ AC $ 的长都为 2 m.当$ \alpha=50^{\circ} $时,人字梯顶端距地面的高度 $ AD $ 约是______m.(结果精确到0.1 m,参考数据：$ \sin 50^{\circ}\approx0.77 $,$ \cos 50^{\circ}\approx0.64 $,$ \tan 50^{\circ}\approx1.19 $)
答案
1.5
解析
根据题意，$AD$是人字梯顶端到地面的高度，可以通过直角三角形$ADC$求解。已知$AC=2m$，$\angle ACD = 50°$，所以：
$\sin 50° = \frac{AD}{AC}$
代入已知数据：
$\sin 50° \approx 0.77$
因此：
$AD = AC × \sin 50° = 2 × 0.77 = 1.54 \approx 1.5 (m)$
$\sin 50° = \frac{AD}{AC}$
代入已知数据：
$\sin 50° \approx 0.77$
因此：
$AD = AC × \sin 50° = 2 × 0.77 = 1.54 \approx 1.5 (m)$
8. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ CD $ 是斜边 $ AB $ 上的中线,已知 $ CD= 2 $,$ AC= 3 $,则 $ \sin B $ 的值为______.
答案
$\frac{3}{4}$
解析
在直角三角形$ ABC $中，$ CD $是斜边$ AB $上的中线，且$ CD = 2 $。根据中线性质，斜边上的中线等于斜边的一半，因此$ AB = 2 × CD = 4 $。
已知$ AC = 3 $，利用勾股定理计算$ BC $：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。
在直角三角形$ ABC $中，$\sin B$的值为对边$ AC $与斜边$ AB $的比值：
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4}$。
已知$ AC = 3 $，利用勾股定理计算$ BC $：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。
在直角三角形$ ABC $中，$\sin B$的值为对边$ AC $与斜边$ AB $的比值：
$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4}$。
