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1. 已知 $ m $ 是任意实数，在式子 $ \sqrt{m + 2} $、$ \sqrt{(-3m)^4} $、$ \sqrt{m^2 + 1} $、$ \sqrt{m^2 + 4m + 4} $、$ \sqrt{m^2 - 4} $ 中，一定是二次根式的有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
C
解析
根据二次根式的定义（形如$\sqrt{a}$且$a≥0$的式子为二次根式），逐个分析：
1. $\sqrt{m + 2}$：当$m＜-2$时，$m+2＜0$，不满足被开方数非负，不一定是二次根式；
2. $\sqrt{(-3m)^4}$：$(-3m)^4=81m^4≥0$（任意实数的偶次幂非负），满足条件，是二次根式；
3. $\sqrt{m^2 + 1}$：$m^2≥0$，则$m^2+1≥1＞0$，恒满足，是二次根式；
4. $\sqrt{m^2 + 4m + 4}=\sqrt{(m+2)^2}$，$(m+2)^2≥0$（任意实数的平方非负），满足条件，是二次根式；
5. $\sqrt{m^2 - 4}$：当$|m|＜2$时，$m^2-4＜0$，不满足，不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的有3个。
1. $\sqrt{m + 2}$：当$m＜-2$时，$m+2＜0$，不满足被开方数非负，不一定是二次根式；
2. $\sqrt{(-3m)^4}$：$(-3m)^4=81m^4≥0$（任意实数的偶次幂非负），满足条件，是二次根式；
3. $\sqrt{m^2 + 1}$：$m^2≥0$，则$m^2+1≥1＞0$，恒满足，是二次根式；
4. $\sqrt{m^2 + 4m + 4}=\sqrt{(m+2)^2}$，$(m+2)^2≥0$（任意实数的平方非负），满足条件，是二次根式；
5. $\sqrt{m^2 - 4}$：当$|m|＜2$时，$m^2-4＜0$，不满足，不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的有3个。
2. 已知 $ \sqrt{2x - 1} + \sqrt{1 - 2x} + y = 6 $，则 $ x · y $ 的算术平方根是()
A.3
B.$ \pm \sqrt{3} $
C.$ \sqrt{3} $
D.不能确定
A.3
B.$ \pm \sqrt{3} $
C.$ \sqrt{3} $
D.不能确定
答案
C
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，列出不等式组$\begin{cases}2x - 1 ≥ 0 \\1 - 2x ≥ 0\end{cases}$，解得$x = \frac{1}{2}$；将$x = \frac{1}{2}$代入原式，得$y = 6$；计算$x·y = \frac{1}{2}×6 = 3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}$。
二、解答题
3. 求使下列各式有意义的 $ x $ 的取值范围.
（1）$ \sqrt{3 - 2x} $；（2）$ \sqrt{x^2 + 1} $；（3）$ \sqrt{-(x - 2)^2} $；
（4）$ \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} $；（5）$ \sqrt{x - 2} + \sqrt{5 - x} $；（6）$ \dfrac{x}{\sqrt{1 - x}} $.
3. 求使下列各式有意义的 $ x $ 的取值范围.
（1）$ \sqrt{3 - 2x} $；（2）$ \sqrt{x^2 + 1} $；（3）$ \sqrt{-(x - 2)^2} $；
（4）$ \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} $；（5）$ \sqrt{x - 2} + \sqrt{5 - x} $；（6）$ \dfrac{x}{\sqrt{1 - x}} $.
答案
解：
（1）由题意得：$3 - 2x ≥ 0$
解得：$x ≤ \dfrac{3}{2}$
（2）由题意得：$x^2 + 1 ≥ 0$
$\because x^2 ≥ 0$，$\therefore x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$
$\therefore x$取全体实数
（3）由题意得：$-(x - 2)^2 ≥ 0$
$\because (x - 2)^2 ≥ 0$，$\therefore -(x - 2)^2 ≤ 0$
$\therefore (x - 2)^2 = 0$
解得：$x = 2$
（4）由题意得：$\begin{cases} x - 3 ≥ 0 \\ 3 - x ≥ 0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} x ≥ 3 \\ x ≤ 3 \end{cases}$
$\therefore x = 3$
（5）由题意得：$\begin{cases} x - 2 ≥ 0 \\ 5 - x ≥ 0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} x ≥ 2 \\ x ≤ 5 \end{cases}$
$\therefore 2 ≤ x ≤ 5$
（6）由题意得：$1 - x ＞ 0$
解得：$x ＜ 1$
（1）由题意得：$3 - 2x ≥ 0$
解得：$x ≤ \dfrac{3}{2}$
（2）由题意得：$x^2 + 1 ≥ 0$
$\because x^2 ≥ 0$，$\therefore x^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$
$\therefore x$取全体实数
（3）由题意得：$-(x - 2)^2 ≥ 0$
$\because (x - 2)^2 ≥ 0$，$\therefore -(x - 2)^2 ≤ 0$
$\therefore (x - 2)^2 = 0$
解得：$x = 2$
（4）由题意得：$\begin{cases} x - 3 ≥ 0 \\ 3 - x ≥ 0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} x ≥ 3 \\ x ≤ 3 \end{cases}$
$\therefore x = 3$
（5）由题意得：$\begin{cases} x - 2 ≥ 0 \\ 5 - x ≥ 0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} x ≥ 2 \\ x ≤ 5 \end{cases}$
$\therefore 2 ≤ x ≤ 5$
（6）由题意得：$1 - x ＞ 0$
解得：$x ＜ 1$
4. 计算：
（1）$ (\sqrt{0.3})^2 $；（2）$ (2\sqrt{5})^2 $；（3）$ ( -\dfrac{3\sqrt{6}}{2} )^2 $；
（4）$ (-m\sqrt{n})^2 $；（5）$ -( \dfrac{5\sqrt{3}}{3} )^2 $；（6）$ ( 5\sqrt{\dfrac{2}{5}} )^2 $.
（1）$ (\sqrt{0.3})^2 $；（2）$ (2\sqrt{5})^2 $；（3）$ ( -\dfrac{3\sqrt{6}}{2} )^2 $；
（4）$ (-m\sqrt{n})^2 $；（5）$ -( \dfrac{5\sqrt{3}}{3} )^2 $；（6）$ ( 5\sqrt{\dfrac{2}{5}} )^2 $.
答案
解：
（1）$(\sqrt{0.3})^2=0.3$；
（2）$(2\sqrt{5})^2=2^2×(\sqrt{5})^2=4×5=20$；
（3）$(-\dfrac{3\sqrt{6}}{2})^2=(\dfrac{3\sqrt{6}}{2})^2=\dfrac{3^2×(\sqrt{6})^2}{2^2}=\dfrac{9×6}{4}=\dfrac{27}{2}$；
（4）$(-m\sqrt{n})^2=(-m)^2×(\sqrt{n})^2=m^2n$（$n≥0$）；
（5）$-(\dfrac{5\sqrt{3}}{3})^2=-\dfrac{5^2×(\sqrt{3})^2}{3^2}=-\dfrac{25×3}{9}=-\dfrac{25}{3}$；
（6）$(5\sqrt{\dfrac{2}{5}})^2=5^2×(\sqrt{\dfrac{2}{5}})^2=25×\dfrac{2}{5}=10$。
（1）$(\sqrt{0.3})^2=0.3$；
（2）$(2\sqrt{5})^2=2^2×(\sqrt{5})^2=4×5=20$；
（3）$(-\dfrac{3\sqrt{6}}{2})^2=(\dfrac{3\sqrt{6}}{2})^2=\dfrac{3^2×(\sqrt{6})^2}{2^2}=\dfrac{9×6}{4}=\dfrac{27}{2}$；
（4）$(-m\sqrt{n})^2=(-m)^2×(\sqrt{n})^2=m^2n$（$n≥0$）；
（5）$-(\dfrac{5\sqrt{3}}{3})^2=-\dfrac{5^2×(\sqrt{3})^2}{3^2}=-\dfrac{25×3}{9}=-\dfrac{25}{3}$；
（6）$(5\sqrt{\dfrac{2}{5}})^2=5^2×(\sqrt{\dfrac{2}{5}})^2=25×\dfrac{2}{5}=10$。
