8. 下列二次根式，无论$x$取什么值都有意义的是 （ ）
A. $\sqrt{x}$
B. $\sqrt{x^{2}-1}$
C. $\sqrt{\frac{1}{x^{2}}}$
D. $\sqrt{x^{2}+1}$

D

9. 已知$0＜x＜1$，那么在$x,\frac{1}{x},\sqrt{x},x^{2}$中最大的是 （ ）
A. $x$
B. $\frac{1}{x}$
C. $\sqrt{x}$
D. $x^{2}$

B

10. 已知$m,n$是正整数，若$\sqrt{\frac{2}{m}}+\sqrt{\frac{5}{n}}$是整数，则满足条件的有序数对$(m,n)$为 （ ）
A. $(2,5)$
B. $(8,20)$
C. $(2,5)$或$(8,20)$
D. 以上都不是

C

11. 若$\sqrt{12a}$是整数，则正整数$a$的最小值是_______.

3

12.（2023·崇川区月考）若$\sqrt{a - 2}+\vert1 - a\vert=a + 3$，则$a$的值为_______.

18

13. 若$m,n$满足等式$(\frac{1}{2}m - 2)^{2}+\sqrt{2n + 6}=0$.
求：（1）$m,n$的值；
（2）$4m - 3n$的平方根.

解：(1)由题意，得$\frac{1}{2}m - 2 = 0$，$2n + 6 = 0$，
解得$m = 4$，$n = - 3$。
(2)原式$=4\times4 - 3\times(-3)=25$。
$\therefore 4m - 3n$的平方根为$\pm5$。

14. 若$a,b$为实数，且$b=\frac{\sqrt{a^{2}-4}+\sqrt{4 - a^{2}}}{a + 2}+7$，求$\sqrt{a + b}$的值.

解：根据题意，可知$\begin{cases}a^{2}-4\geq0 \\ 4 - a^{2}\geq0 \\ a + 2\neq0\end{cases}$
$\therefore a = 2$，$\therefore b = 7$，$\therefore\sqrt{a + b}=\sqrt{2 + 7}=3$。

15.（2023·广陵区月考）已知$a,b,c$满足等式$\vert a-\sqrt{7}\vert+(c - 4\sqrt{2})^{2}=\sqrt{b - 5}+\sqrt{5 - b}$.
（1）求$a,b,c$的值；
（2）判断以$a,b,c$为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？若不能，请说明理由.

解：(1)$\because|a-\sqrt{7}|+(c - 4\sqrt{2})^{2}=\sqrt{b - 5}+\sqrt{5 - b}$，
$\therefore b - 5\geq0$，$5 - b\geq0$，$\therefore b = 5$，
$\therefore|a-\sqrt{7}|+(c - 4\sqrt{2})^{2}=0$，
$\therefore a-\sqrt{7}=0$，$c - 4\sqrt{2}=0$，
$\therefore a=\sqrt{7}$，$c = 4\sqrt{2}$。故$a$，$b$，$c$的值分别为$\sqrt{7}$，$5$，$4\sqrt{2}$。
(2)$\because a=\sqrt{7}$，$b = 5$，$c = 4\sqrt{2}$，
$\therefore a + b=\sqrt{7}+5＞4\sqrt{2}$，
$\therefore$以$a$，$b$，$c$为边能构成三角形。
$\because a^{2}+b^{2}=(\sqrt{7})^{2}+5^{2}=32$，$c^{2}=(4\sqrt{2})^{2}=32$，
$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
$\therefore$此三角形是直角三角形。

16. 已知实数$a$满足$\vert300 - a\vert+\sqrt{a - 401}=a$，求$a - 300^{2}$的值.

解：$\because\sqrt{a - 401}$有意义，$\therefore a\geq401$，
$\therefore|300 - a|+\sqrt{a - 401}=a - 300+\sqrt{a - 401}=a$，
整理，得$\sqrt{a - 401}=300$，
$\therefore a = 401+300^{2}$，$\therefore a - 300^{2}=401$。