16. (★★)如图,在△ABC 中,E 为边 AB 上的一点,连接 CE 并延长,过点 A 作 AD⊥CE,垂足为 D.已知 AD = 7,CD = 24,AB = 20,BC = 15,求证:AB⊥BC.
]

在$△ ACD$中，$∠ ADC = 90^{\circ}$，$AD = 7$，$CD = 24$，
根据勾股定理可得：
$AC^{2}=AD^{2} + CD^{2}=7^{2}+24^{2}=49 + 576 = 625$。
在$△ ABC$中，$AB = 20$，$BC = 15$，$AC^{2}=625$，
则$AC = 25$（$AC＞0$）。
因为$AB^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=400 + 225 = 625$，$AC^{2}=625$，
所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B = 90^{\circ}$，
即$AB⊥ BC$。

17. (★★★)(1)如图①,在等边三角形 ABC 内有一点 P,且 PA = 2,PB = √{3},PC = 1.若把△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到△BP'A,连接 PP',求∠BPC 的度数和 PP'的长.
(2)如图②,在等腰直角三角形 ABC 内有一点 P,且∠ABC = 90°,PA = 6,PB = 4,PC = 2,求∠BPC 的度数.
]

(1)
∵△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BP'A，
∴BP'=BP=√3，∠PBP'=60°，P'A=PC=1，∠BP'A=∠BPC。
∵BP'=BP，∠PBP'=60°，
∴△PBP'为等边三角形，
∴PP'=BP=√3，∠BP'P=60°。
在△PP'A中，PP'=√3，P'A=1，PA=2，
∵(√3)²+1²=2²，即PP'²+P'A²=PA²，
∴△PP'A为直角三角形，∠PP'A=90°。
∴∠BP'A=∠BP'P+∠PP'A=60°+90°=150°，
∴∠BPC=∠BP'A=150°。
综上，∠BPC=150°，PP'=√3。
(2)
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴AB=BC，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得△BP'A，
∴BP'=BP=4，∠PBP'=90°，P'A=PC=2，∠BP'A=∠BPC。
∵BP'=BP，∠PBP'=90°，
∴△PBP'为等腰直角三角形，
∴PP'=BP√2=4√2，∠BP'P=45°。
在△AP'P中，P'A=2，PP'=4√2，PA=6，
∵2²+(4√2)²=6²，即P'A²+PP'²=PA²，
∴△AP'P为直角三角形，∠AP'P=90°。
∴∠BP'A=∠BP'P+∠AP'P=45°+90°=135°，
∴∠BPC=∠BP'A=135°。
综上，∠BPC=135°。