登录
1. 一个圆锥形容器,底面半径是4 cm,高是9 cm,给容器装满水,如果把这些水倒入底面积是12.56 cm²的圆柱形容器中,水的高度是多少厘米?
答案
1. $\frac {1}{3}×3.14×4^{2}×9÷12.56=12(cm)$
解析
【分析】
解题的关键是抓住水的体积不变这一核心。首先需要计算出圆锥形容器中水的体积，也就是圆锥的容积，利用圆锥体积公式$\frac{1}{3}π r^2h$即可求出；再根据圆柱体积公式$V=Sh$（其中$S$是圆柱底面积，$h$是高），变形得到$h=V÷ S$，用求出的水的体积除以圆柱的底面积，就能得到水在圆柱形容器中的高度。
【解析】
1. 计算圆锥形容器中水的体积（即圆锥体积）：
$\begin{aligned}V_{\mathrm{圆锥}}&=\frac{1}{3}×3.14×4^2×9\\&=\frac{1}{3}×3.14×16×9\\&=3×3.14×16\\&=150.72\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
2. 计算水在圆柱形容器中的高度：
已知圆柱底面积$S=12.56\ \mathrm{cm}^2$，水的体积等于圆锥体积，根据$V=Sh$可得：
$h=V_{\mathrm{圆锥}}÷ S=150.72÷12.56=12\ (\mathrm{cm})$
【答案】
12厘米
【知识点】
圆锥体积计算、圆柱体积计算、等积变形
【点评】
本题考查圆锥与圆柱体积公式的实际应用，核心是利用“水的体积不变”的等积变形思想，解题时需熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式，注意计算过程中的数值运算准确性。
【难度系数】
0.8
解题的关键是抓住水的体积不变这一核心。首先需要计算出圆锥形容器中水的体积，也就是圆锥的容积，利用圆锥体积公式$\frac{1}{3}π r^2h$即可求出；再根据圆柱体积公式$V=Sh$（其中$S$是圆柱底面积，$h$是高），变形得到$h=V÷ S$，用求出的水的体积除以圆柱的底面积，就能得到水在圆柱形容器中的高度。
【解析】
1. 计算圆锥形容器中水的体积（即圆锥体积）：
$\begin{aligned}V_{\mathrm{圆锥}}&=\frac{1}{3}×3.14×4^2×9\\&=\frac{1}{3}×3.14×16×9\\&=3×3.14×16\\&=150.72\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
2. 计算水在圆柱形容器中的高度：
已知圆柱底面积$S=12.56\ \mathrm{cm}^2$，水的体积等于圆锥体积，根据$V=Sh$可得：
$h=V_{\mathrm{圆锥}}÷ S=150.72÷12.56=12\ (\mathrm{cm})$
【答案】
12厘米
【知识点】
圆锥体积计算、圆柱体积计算、等积变形
【点评】
本题考查圆锥与圆柱体积公式的实际应用，核心是利用“水的体积不变”的等积变形思想，解题时需熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式，注意计算过程中的数值运算准确性。
【难度系数】
0.8
2. 蒙古包也称“毡包”,是蒙古族传统民居,如下图(蒙古包由一个圆柱体和一个圆锥体组成):圆柱底面直径6 m,圆柱高2.5 m,圆锥高1.5 m。
(1)这个蒙古包至少占地多少平方米?
(2)这个蒙古包占了多大的空间?
(1)这个蒙古包至少占地多少平方米?
(2)这个蒙古包占了多大的空间?
答案
2. (1)圆柱底面半径：$6÷2=3(m)$
占地面积(圆柱底面积)：$3.14×3^{2}=28.26(m^{2})$
(2)总体积：
圆柱体积：$28.26×2.5=70.65(m^{3})$
圆锥体积：$28.26×1.5÷3=14.13(m^{3})$
总体积：$70.65+14.13=84.78(m^{3})$
占地面积(圆柱底面积)：$3.14×3^{2}=28.26(m^{2})$
(2)总体积：
圆柱体积：$28.26×2.5=70.65(m^{3})$
圆锥体积：$28.26×1.5÷3=14.13(m^{3})$
总体积：$70.65+14.13=84.78(m^{3})$
解析
【分析】
（1）求蒙古包的占地面积，实际是求圆柱的底面积，因为蒙古包的底部是圆柱的底面，先根据直径求出半径，再利用圆的面积公式计算即可。
（2）求蒙古包占的空间，就是求圆柱和圆锥的体积之和，圆柱体积用底面积乘高计算，圆锥体积用底面积乘高再除以3计算，最后把两者体积相加。
【解析】
(1) 计算蒙古包的占地面积（即圆柱底面积）：
① 求圆柱底面半径：
$6÷2=3(m)$
② 根据圆的面积公式$S=π r^2$计算底面积：
$3.14×3^2=3.14×9=28.26(m^2)$
(2) 计算蒙古包占据的空间（即圆柱与圆锥的体积和）：
① 计算圆柱体积：
根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=S_{底}h_{圆柱}$，代入数据得：
$28.26×2.5=70.65(m^3)$
② 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V_{圆锥}=\frac{1}{3}S_{底}h_{圆锥}$，代入数据得：
$\frac{1}{3}×28.26×1.5=14.13(m^3)$
③ 计算总体积：
$70.65+14.13=84.78(m^3)$
【答案】
(1) 这个蒙古包至少占地$\boldsymbol{28.26}$平方米；
(2) 这个蒙古包占了$\boldsymbol{84.78}$立方米的空间。
【知识点】
圆的面积计算、圆柱圆锥体积计算
【点评】
本题考查组合立体图形的底面积与体积计算，关键是明确占地面积为圆柱底面积，占据空间是圆柱与圆锥的体积和，需熟练掌握对应图形的面积、体积公式。
【难度系数】
0.6
（1）求蒙古包的占地面积，实际是求圆柱的底面积，因为蒙古包的底部是圆柱的底面，先根据直径求出半径，再利用圆的面积公式计算即可。
（2）求蒙古包占的空间，就是求圆柱和圆锥的体积之和，圆柱体积用底面积乘高计算，圆锥体积用底面积乘高再除以3计算，最后把两者体积相加。
【解析】
(1) 计算蒙古包的占地面积（即圆柱底面积）：
① 求圆柱底面半径：
$6÷2=3(m)$
② 根据圆的面积公式$S=π r^2$计算底面积：
$3.14×3^2=3.14×9=28.26(m^2)$
(2) 计算蒙古包占据的空间（即圆柱与圆锥的体积和）：
① 计算圆柱体积：
根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=S_{底}h_{圆柱}$，代入数据得：
$28.26×2.5=70.65(m^3)$
② 计算圆锥体积：
根据圆锥体积公式$V_{圆锥}=\frac{1}{3}S_{底}h_{圆锥}$，代入数据得：
$\frac{1}{3}×28.26×1.5=14.13(m^3)$
③ 计算总体积：
$70.65+14.13=84.78(m^3)$
【答案】
(1) 这个蒙古包至少占地$\boldsymbol{28.26}$平方米；
(2) 这个蒙古包占了$\boldsymbol{84.78}$立方米的空间。
【知识点】
圆的面积计算、圆柱圆锥体积计算
【点评】
本题考查组合立体图形的底面积与体积计算，关键是明确占地面积为圆柱底面积，占据空间是圆柱与圆锥的体积和，需熟练掌握对应图形的面积、体积公式。
【难度系数】
0.6
3. 一个圆柱形铁块,底面半径是2 cm,高是4 dm,将它铸成底面半径是4 dm的圆锥,圆锥的高是多少分米?
答案
3. 2厘米=0.2分米
$0.2^{2}×3.14×4×3÷(4^{2}×3.14)=0.03(dm)$
$0.2^{2}×3.14×4×3÷(4^{2}×3.14)=0.03(dm)$
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆柱铸造成圆锥时体积保持不变（等积变形）。首先需统一单位，将圆柱底面半径的单位从厘米转换为分米，避免单位不统一引发计算错误。先根据圆柱体积公式求出铁块体积，再利用圆锥体积公式的逆运算求圆锥的高：由圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}Sh $，可推导出$ h=3V÷S $，其中V是圆柱体积，S是圆锥的底面积。
【解析】
1. 单位换算：$ 2\mathrm{cm}=0.2\mathrm{dm} $
2. 计算圆柱体积（即圆锥体积）：
圆柱体积公式：$ V_{圆柱}=π r^2 h $
代入数据得：$ V_{圆柱}=3.14×0.2^2×4=0.5024\mathrm{dm}^3 $
3. 计算圆锥的底面积：
$ S_{圆锥底}=3.14×4^2=50.24\mathrm{dm}^2 $
4. 计算圆锥的高：
根据$ h=3V_{圆柱}÷S_{圆锥底} $，代入数据：
$ h=3×0.5024÷50.24=0.03\mathrm{dm} $
综合算式：
$ 0.2^2×3.14×4×3÷(4^2×3.14)=0.03(\mathrm{dm}) $
【答案】
$ 0.03\mathrm{dm} $（或0.03分米）
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算、等积变形
【点评】
本题重点考查圆柱与圆锥体积公式的应用，关键是抓住等积变形的本质，同时注意单位统一的细节，计算时需准确处理平方运算与乘除顺序，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.5
解决本题的核心是明确圆柱铸造成圆锥时体积保持不变（等积变形）。首先需统一单位，将圆柱底面半径的单位从厘米转换为分米，避免单位不统一引发计算错误。先根据圆柱体积公式求出铁块体积，再利用圆锥体积公式的逆运算求圆锥的高：由圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}Sh $，可推导出$ h=3V÷S $，其中V是圆柱体积，S是圆锥的底面积。
【解析】
1. 单位换算：$ 2\mathrm{cm}=0.2\mathrm{dm} $
2. 计算圆柱体积（即圆锥体积）：
圆柱体积公式：$ V_{圆柱}=π r^2 h $
代入数据得：$ V_{圆柱}=3.14×0.2^2×4=0.5024\mathrm{dm}^3 $
3. 计算圆锥的底面积：
$ S_{圆锥底}=3.14×4^2=50.24\mathrm{dm}^2 $
4. 计算圆锥的高：
根据$ h=3V_{圆柱}÷S_{圆锥底} $，代入数据：
$ h=3×0.5024÷50.24=0.03\mathrm{dm} $
综合算式：
$ 0.2^2×3.14×4×3÷(4^2×3.14)=0.03(\mathrm{dm}) $
【答案】
$ 0.03\mathrm{dm} $（或0.03分米）
【知识点】
圆柱体积计算、圆锥体积计算、等积变形
【点评】
本题重点考查圆柱与圆锥体积公式的应用，关键是抓住等积变形的本质，同时注意单位统一的细节，计算时需准确处理平方运算与乘除顺序，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.5
4. 下图是一根空心钢管,求它所用钢材的体积。(单位:厘米)
答案
4. $[(10÷2)^{2}×3.14-(8÷2)^{2}×3.14]×50=1413(cm^{3})$
解析
【分析】
要计算空心钢管所用钢材的体积，本质是求空心圆柱的体积。空心圆柱体积可通过“环形底面积×钢管的长度（高）”计算，也可用外圆柱体积减去内圆柱体积。首先需求出外圆和内圆的半径，再计算环形面积，最后乘以钢管长度即可得到体积。
【解析】
1. 计算外圆与内圆半径：
外圆半径：$10÷2=5$（厘米）
内圆半径：$8÷2=4$（厘米）
2. 计算环形底面积：
环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积
$3.14×5^2 - 3.14×4^2 = 3.14×(25-16)=28.26$（平方厘米）
3. 计算钢材体积：
体积 = 环形底面积×钢管长度
$28.26×50=1413$（立方厘米）
综合算式：$[(10÷2)^{2}×3.14-(8÷2)^{2}×3.14]×50=1413(cm^{3})$
【答案】
$1413cm^3$（或1413立方厘米）
【知识点】
空心圆柱体积计算、环形面积计算
【点评】
本题考查空心圆柱体积的实际应用，核心是掌握环形面积与圆柱体积公式的结合运用，解题时需注意先正确求出内外圆半径，再逐步计算，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算空心钢管所用钢材的体积，本质是求空心圆柱的体积。空心圆柱体积可通过“环形底面积×钢管的长度（高）”计算，也可用外圆柱体积减去内圆柱体积。首先需求出外圆和内圆的半径，再计算环形面积，最后乘以钢管长度即可得到体积。
【解析】
1. 计算外圆与内圆半径：
外圆半径：$10÷2=5$（厘米）
内圆半径：$8÷2=4$（厘米）
2. 计算环形底面积：
环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积
$3.14×5^2 - 3.14×4^2 = 3.14×(25-16)=28.26$（平方厘米）
3. 计算钢材体积：
体积 = 环形底面积×钢管长度
$28.26×50=1413$（立方厘米）
综合算式：$[(10÷2)^{2}×3.14-(8÷2)^{2}×3.14]×50=1413(cm^{3})$
【答案】
$1413cm^3$（或1413立方厘米）
【知识点】
空心圆柱体积计算、环形面积计算
【点评】
本题考查空心圆柱体积的实际应用，核心是掌握环形面积与圆柱体积公式的结合运用，解题时需注意先正确求出内外圆半径，再逐步计算，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 一个圆柱形木块切成四块(如图1),表面积增加48 cm²;切成三块(如图2),表面积增加了50.24 cm²。若削成一个最大的圆锥体(如图3),体积减小了多少立方厘米?
答案
5. $50.24÷4=12.56(cm^{2})$
$12.56÷3.14=4$ $4=2^{2}$
$48÷8÷2=3(cm)$
$3.14×2^{2}×3×(1-\frac {1}{3})=25.12(cm^{3})$
$12.56÷3.14=4$ $4=2^{2}$
$48÷8÷2=3(cm)$
$3.14×2^{2}×3×(1-\frac {1}{3})=25.12(cm^{3})$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先求出圆柱的底面积和高，再根据圆柱与最大圆锥的体积关系计算体积减小量。
1. 首先分析图2的切割方式：把圆柱切成3块，是平行于底面切割，需要切2次，每切1次增加2个底面积，所以一共增加4个底面积，用增加的表面积除以4就能得到圆柱的底面积，进而求出底面半径。
2. 然后分析图1的切割方式：把圆柱切成4块，是沿底面两条互相垂直的直径（垂直于底面）切割，需要切2次，每切1次增加2个长方形面（长方形的长是圆柱的高，宽是底面直径），总共增加4个这样的长方形面，每个面的面积是底面直径×高=2r×h，因此总增加的表面积是4×2r×h=8rh，用增加的表面积除以8再除以半径就能得到圆柱的高。
3. 最后，削成最大圆锥时，圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，所以体积减小的部分是圆柱体积的$\frac{2}{3}$，代入公式计算即可。
【解析】
1. 求圆柱的底面积：
切成3块时，表面积增加了4个底面积，因此底面积为：
$50.24÷4=12.56(\mathrm{cm}^2)$
2. 求圆柱的底面半径：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得：
$r^2=12.56÷3.14=4$
因为半径为正数，所以$r=2\mathrm{cm}$
3. 求圆柱的高：
切成4块时，表面积增加了8个“半径×高”的面，因此圆柱的高为：
$48÷8÷2=3(\mathrm{cm})$
4. 计算体积减小的量：
削成最大圆锥，体积减小的部分是圆柱体积的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，代入圆柱体积公式计算：
$3.14×2^2×3×(1-\frac{1}{3})$
$=3.14×4×3×\frac{2}{3}$
$=25.12(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boxed{25.12}$立方厘米
【知识点】
圆柱表面积变化、圆柱圆锥体积关系、圆的面积计算
【点评】
本题综合考查了圆柱切割后的表面积变化规律以及圆柱与圆锥的体积关系，需要学生准确理解不同切割方式下表面积增加的部分，灵活运用圆的面积、圆柱体积公式进行计算，对空间想象能力和公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，我们需要先求出圆柱的底面积和高，再根据圆柱与最大圆锥的体积关系计算体积减小量。
1. 首先分析图2的切割方式：把圆柱切成3块，是平行于底面切割，需要切2次，每切1次增加2个底面积，所以一共增加4个底面积，用增加的表面积除以4就能得到圆柱的底面积，进而求出底面半径。
2. 然后分析图1的切割方式：把圆柱切成4块，是沿底面两条互相垂直的直径（垂直于底面）切割，需要切2次，每切1次增加2个长方形面（长方形的长是圆柱的高，宽是底面直径），总共增加4个这样的长方形面，每个面的面积是底面直径×高=2r×h，因此总增加的表面积是4×2r×h=8rh，用增加的表面积除以8再除以半径就能得到圆柱的高。
3. 最后，削成最大圆锥时，圆锥体积是圆柱的$\frac{1}{3}$，所以体积减小的部分是圆柱体积的$\frac{2}{3}$，代入公式计算即可。
【解析】
1. 求圆柱的底面积：
切成3块时，表面积增加了4个底面积，因此底面积为：
$50.24÷4=12.56(\mathrm{cm}^2)$
2. 求圆柱的底面半径：
根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得：
$r^2=12.56÷3.14=4$
因为半径为正数，所以$r=2\mathrm{cm}$
3. 求圆柱的高：
切成4块时，表面积增加了8个“半径×高”的面，因此圆柱的高为：
$48÷8÷2=3(\mathrm{cm})$
4. 计算体积减小的量：
削成最大圆锥，体积减小的部分是圆柱体积的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，代入圆柱体积公式计算：
$3.14×2^2×3×(1-\frac{1}{3})$
$=3.14×4×3×\frac{2}{3}$
$=25.12(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boxed{25.12}$立方厘米
【知识点】
圆柱表面积变化、圆柱圆锥体积关系、圆的面积计算
【点评】
本题综合考查了圆柱切割后的表面积变化规律以及圆柱与圆锥的体积关系，需要学生准确理解不同切割方式下表面积增加的部分，灵活运用圆的面积、圆柱体积公式进行计算，对空间想象能力和公式应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
