一、单拐点问题
例 1 如图 1，$AB// DE$，$∠ ABC=α$，$∠ CDE=β$，则$∠ BCD$的大小为()
A. $β-α$
B. $α-β$
C. $180°-α+β$
D. $180°-β+α$


解：如图 2，过点 $C$ 作 $CF// AB$.
$\because AB// DE$，
$\therefore AB// CF// ED$.
$\therefore ∠ ABC+∠ BCF=180°$，$∠ D=∠ DCF$.
$\because ∠ ABC=α$，$∠ CDE=β$，
$\therefore ∠ BCF=180°-α$，$∠ DCF=β$.
$\therefore ∠ BCD=∠ BCF+∠ DCF=180°-α+β$.故选 C.

解：如图2，过点$C$作$CF// AB$。
$\because AB// DE$，
$\therefore AB// CF// ED$。
$\therefore ∠ ABC+∠ BCF=180°$，$∠ CDE=∠ DCF$。
$\because ∠ ABC=α$，$∠ CDE=β$，
$\therefore ∠ BCF=180°-α$，$∠ DCF=β$。
$\therefore ∠ BCD=∠ BCF+∠ DCF=180°-α+β$。
故选C。

二、多拐点问题
例 2 如图 3，$AB// EF$，$∠ C=90°$，求$∠ CDE+∠ B$与$∠ E$之间的数量关系，并说明理由.


解：如图 4，过点 $C$ 作 $CM// AB$，过点 $D$ 作 $DN// EF$.
$\therefore AB// CM// DN// EF$，
$\therefore ∠ 1=∠ B$，$∠ 2=∠ E$，
$\therefore ∠ MCD=90°-∠ 1=∠ CDN=∠ CDE-∠ 2$，
$\therefore 90°-∠ B=∠ CDE-∠ E$，
$\therefore ∠ CDE+∠ B-∠ E=90°$.

解：如图，过点$ C $作$ CM// AB $，过点$ D $作$ DN// EF $。
$\because AB// EF$，
$\therefore AB// CM// DN// EF$，
$\therefore ∠ 1=∠ B$，$∠ 2=∠ E$，
$\because ∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ MCD=90°-∠ 1$，
又$\because CM// DN$，
$\therefore ∠ MCD=∠ CDN$，且$∠ CDN=∠ CDE-∠ 2$，
$\therefore 90°-∠ B=∠ CDE-∠ E$，
整理得：$∠ CDE+∠ B-∠ E=90°$。

三、拐点与整体代换问题
例 3 如图 5，已知 $AB// CD$，$P$ 为直线 $AB$，$CD$ 外一点，$BF$ 平分 $∠ ABP$，$DE$ 平分 $∠ CDP$，$BF$ 的反向延长线交 $DE$ 于点 $E$，若 $∠ FED=a$，试用 $a$ 表示 $∠ P$ 为.


解：如图 6，过点 $P$，$E$ 分别作 $PQ// AB$，$GH// AB$.
$\because AB// CD$，$\therefore PQ// AB// GH// CD$.
$\because BF$ 平分 $∠ ABP$，$DE$ 平分 $∠ CDP$，
$\therefore$ 可设 $∠ ABF=∠ PBF=x$，$∠ CDE=∠ PDE=y$，
$\therefore ∠ BED=180°-x+y$，
$\therefore ∠ BPD=∠ BPQ-∠ DPQ=2x-2y=360°-2∠ BED=360°-2a$.
故答案为 $360°-2α$.

解：如图，过点$P$，$E$分别作$PQ// AB$，$GH// AB$。
$\because AB// CD$，$\therefore PQ// AB// GH// CD$。
$\because BF$平分$∠ ABP$，$DE$平分$∠ CDP$，
$\therefore$设$∠ ABF=∠ PBF=x$，$∠ CDE=∠ PDE=y$。
根据平行线的性质，可得$∠ BED=180° - x + y$，
$\because ∠ FED=α$，$\therefore 180° - x + y=α$，即$x - y=180° - α$。
又$\because ∠ BPD=∠ BPQ - ∠ DPQ=2x - 2y=2(x - y)$，
将$x - y=180° - α$代入得：$∠ BPD=2(180° - α)=360° - 2α$。
故答案为$\boldsymbol{360° - 2α}$。