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如图9-6-4所示，小华在薄壁平底试管中装入一些沙子，管口密封，制成一个简易密度计。当把它放入水中竖直漂浮时，试管露出水面的高度为5cm；当把它放入待测液体中竖直漂浮时，试管露出液面的高度为7cm。若试管和沙子的总质量为30g，试管的横截面积为1.5cm²，水的密度为1×10³kg/m³，g取10N/kg。求：
(1) 试管在水中漂浮时受到的浮力。
(2) 在水中漂浮时，水对试管底部的压强。
(3) 待测液体的密度。（计算结果保留三位有效数字）
(1) 试管在水中漂浮时受到的浮力。
(2) 在水中漂浮时，水对试管底部的压强。
(3) 待测液体的密度。（计算结果保留三位有效数字）
答案
解：
(1) 试管和沙子的总质量m = 30\ g = 0.03\ kg，
根据重力公式G = mg，可得试管和沙子的总重力$G = 0.03\ kg\times10\ N/kg = 0.3\ N$，
因为试管在水中漂浮，根据漂浮条件，试管在水中漂浮时受到的浮力$F_{浮}=G = 0.3\ N$。
(2) 由$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$可得，试管排开水的体积$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{0.3\ N}{1\times10^{3}\ kg/m^{3}\times10\ N/kg}=3\times10^{-5}\ m^{3}$，
已知试管的横截面积$S = 1.5\ cm^{2}=1.5\times10^{-4}\ m^{2}$，
根据V = Sh可得，试管浸入水中的深度$h_{浸}=\frac{V_{排}}{S}=\frac{3\times10^{-5}\ m^{3}}{1.5\times10^{-4}\ m^{2}} = 0.2\ m$，
水对试管底部的压强$p = \rho_{水}gh_{浸}=1\times10^{3}\ kg/m^{3}\times10\ N/kg\times0.2\ m = 2000\ Pa$。
(3) 设试管的长度为L，在水中时，$L - h_{露1}=h_{浸}$，则$L = h_{浸}+h_{露1}=0.2\ m + 0.05\ m = 0.25\ m$，
在待测液体中时，试管浸入液体的深度$h_{浸}' = L - h_{露2}=0.25\ m - 0.07\ m = 0.18\ m$，
因为试管在水中和待测液体中都漂浮，所以浮力都等于重力，即$F_{浮}=F_{浮}'$，
$ \rho_{水}gV_{排}=\rho_{液}gV_{排}'$，$\rho_{水}gSh_{浸}=\rho_{液}gSh_{浸}'$，
则$\rho_{液}=\frac{h_{浸}}{h_{浸}'}\rho_{水}=\frac{0.2\ m}{0.18\ m}\times1\times10^{3}\ kg/m^{3}\approx1.11\times10^{3}\ kg/m^{3}$。
(1) 试管和沙子的总质量m = 30\ g = 0.03\ kg，
根据重力公式G = mg，可得试管和沙子的总重力$G = 0.03\ kg\times10\ N/kg = 0.3\ N$，
因为试管在水中漂浮，根据漂浮条件，试管在水中漂浮时受到的浮力$F_{浮}=G = 0.3\ N$。
(2) 由$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$可得，试管排开水的体积$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{0.3\ N}{1\times10^{3}\ kg/m^{3}\times10\ N/kg}=3\times10^{-5}\ m^{3}$，
已知试管的横截面积$S = 1.5\ cm^{2}=1.5\times10^{-4}\ m^{2}$，
根据V = Sh可得，试管浸入水中的深度$h_{浸}=\frac{V_{排}}{S}=\frac{3\times10^{-5}\ m^{3}}{1.5\times10^{-4}\ m^{2}} = 0.2\ m$，
水对试管底部的压强$p = \rho_{水}gh_{浸}=1\times10^{3}\ kg/m^{3}\times10\ N/kg\times0.2\ m = 2000\ Pa$。
(3) 设试管的长度为L，在水中时，$L - h_{露1}=h_{浸}$，则$L = h_{浸}+h_{露1}=0.2\ m + 0.05\ m = 0.25\ m$，
在待测液体中时，试管浸入液体的深度$h_{浸}' = L - h_{露2}=0.25\ m - 0.07\ m = 0.18\ m$，
因为试管在水中和待测液体中都漂浮，所以浮力都等于重力，即$F_{浮}=F_{浮}'$，
$ \rho_{水}gV_{排}=\rho_{液}gV_{排}'$，$\rho_{水}gSh_{浸}=\rho_{液}gSh_{浸}'$，
则$\rho_{液}=\frac{h_{浸}}{h_{浸}'}\rho_{水}=\frac{0.2\ m}{0.18\ m}\times1\times10^{3}\ kg/m^{3}\approx1.11\times10^{3}\ kg/m^{3}$。
解析
【分析】
1. 对于问题（1）：试管在水中漂浮，根据漂浮条件，浮力等于试管和沙子的总重力。先利用$G=mg$计算总重力，即可得到浮力。
2. 对于问题（2）：先通过阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$求出排开水的体积，再结合试管横截面积，利用$V=Sh$算出试管浸入水中的深度，最后根据液体压强公式$p=\rho_{水}gh$计算水对试管底部的压强。
3. 对于问题（3）：先根据试管在水中的浸入深度和露出高度算出试管总长度，再得到在待测液体中的浸入深度。由于试管在两种液体中都漂浮，浮力都等于总重力，因此浮力相等，利用阿基米德原理列出等式，进而求出待测液体的密度。
【解析】
(1) 计算试管在水中漂浮时受到的浮力：
试管和沙子的总质量$m=30g=0.03kg$，
总重力$G=mg=0.03kg×10N/kg=0.3N$，
因为试管在水中漂浮，根据漂浮条件，浮力等于重力，所以$F_{浮}=G=0.3N$。
(2) 计算在水中漂浮时，水对试管底部的压强：
由$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$得，排开水的体积：
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{0.3N}{1×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg}=3×10^{-5}m^{3}$，
试管横截面积$S=1.5cm^{2}=1.5×10^{-4}m^{2}$，
由$V=Sh$得，试管浸入水中的深度：
$h_{浸}=\frac{V_{排}}{S}=\frac{3×10^{-5}m^{3}}{1.5×10^{-4}m^{2}}=0.2m$，
水对试管底部的压强：
$p=\rho_{水}gh_{浸}=1×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×0.2m=2000Pa$。
(3) 计算待测液体的密度：
设试管总长度为$L$，在水中时$L=h_{浸}+h_{露1}=0.2m+0.05m=0.25m$，
在待测液体中，试管浸入液体的深度：
$h_{浸}'=L-h_{露2}=0.25m-0.07m=0.18m$，
因为试管在两种液体中均漂浮，所以$F_{浮}=F_{浮}'$，
即$\rho_{水}gSh_{浸}=\rho_{液}gSh_{浸}'$，
约去$g$和$S$得：
$\rho_{液}=\frac{h_{浸}}{h_{浸}'}\rho_{水}=\frac{0.2m}{0.18m}×1×10^{3}kg/m^{3}\approx1.11×10^{3}kg/m^{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.3N}$
(2) $\boldsymbol{2000Pa}$
(3) $\boldsymbol{1.11×10^{3}kg/m^{3}}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、液体压强计算
【点评】
本题综合考查浮力与压强的相关知识，核心是利用漂浮条件（浮力等于重力）和阿基米德原理解决密度计类问题，解题过程中需注意单位的统一与换算，第三问通过建立浮力相等的等式推导液体密度，需要较强的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
1. 对于问题（1）：试管在水中漂浮，根据漂浮条件，浮力等于试管和沙子的总重力。先利用$G=mg$计算总重力，即可得到浮力。
2. 对于问题（2）：先通过阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$求出排开水的体积，再结合试管横截面积，利用$V=Sh$算出试管浸入水中的深度，最后根据液体压强公式$p=\rho_{水}gh$计算水对试管底部的压强。
3. 对于问题（3）：先根据试管在水中的浸入深度和露出高度算出试管总长度，再得到在待测液体中的浸入深度。由于试管在两种液体中都漂浮，浮力都等于总重力，因此浮力相等，利用阿基米德原理列出等式，进而求出待测液体的密度。
【解析】
(1) 计算试管在水中漂浮时受到的浮力：
试管和沙子的总质量$m=30g=0.03kg$，
总重力$G=mg=0.03kg×10N/kg=0.3N$，
因为试管在水中漂浮，根据漂浮条件，浮力等于重力，所以$F_{浮}=G=0.3N$。
(2) 计算在水中漂浮时，水对试管底部的压强：
由$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$得，排开水的体积：
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{0.3N}{1×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg}=3×10^{-5}m^{3}$，
试管横截面积$S=1.5cm^{2}=1.5×10^{-4}m^{2}$，
由$V=Sh$得，试管浸入水中的深度：
$h_{浸}=\frac{V_{排}}{S}=\frac{3×10^{-5}m^{3}}{1.5×10^{-4}m^{2}}=0.2m$，
水对试管底部的压强：
$p=\rho_{水}gh_{浸}=1×10^{3}kg/m^{3}×10N/kg×0.2m=2000Pa$。
(3) 计算待测液体的密度：
设试管总长度为$L$，在水中时$L=h_{浸}+h_{露1}=0.2m+0.05m=0.25m$，
在待测液体中，试管浸入液体的深度：
$h_{浸}'=L-h_{露2}=0.25m-0.07m=0.18m$，
因为试管在两种液体中均漂浮，所以$F_{浮}=F_{浮}'$，
即$\rho_{水}gSh_{浸}=\rho_{液}gSh_{浸}'$，
约去$g$和$S$得：
$\rho_{液}=\frac{h_{浸}}{h_{浸}'}\rho_{水}=\frac{0.2m}{0.18m}×1×10^{3}kg/m^{3}\approx1.11×10^{3}kg/m^{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.3N}$
(2) $\boldsymbol{2000Pa}$
(3) $\boldsymbol{1.11×10^{3}kg/m^{3}}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、液体压强计算
【点评】
本题综合考查浮力与压强的相关知识，核心是利用漂浮条件（浮力等于重力）和阿基米德原理解决密度计类问题，解题过程中需注意单位的统一与换算，第三问通过建立浮力相等的等式推导液体密度，需要较强的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
