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【例3】(教材例题变式)两架飞机从同一机场同时出发反向而飞,甲飞机顺风飞行,乙飞机逆风飞行.已知两飞机在无风时的速度都是$50 km/h$,风速是$a km/h$.求：
(1)$5 h$后两架飞机相距多远?
(2)$5 h$后,甲飞机比乙飞机多飞行多少千米?
(1)$5 h$后两架飞机相距多远?
(2)$5 h$后,甲飞机比乙飞机多飞行多少千米?
答案
解:
(1)5×(50+a)+5×(50-a)=250+5a+250-5a=500(km).故5 h后两架飞机相距500 km.
(2)5×(50+a)-5×(50-a)=250+5a-250+5a=10a(km).故5 h后,甲飞机比乙飞机多飞行10a km.
(1)5×(50+a)+5×(50-a)=250+5a+250-5a=500(km).故5 h后两架飞机相距500 km.
(2)5×(50+a)-5×(50-a)=250+5a-250+5a=10a(km).故5 h后,甲飞机比乙飞机多飞行10a km.
解析
【分析】
解题时首先要明确行程问题中顺风、逆风速度的计算规则：顺风飞行速度=无风时的速度+风速，逆风飞行速度=无风时的速度-风速。先分别求出甲、乙两架飞机的实际飞行速度，再根据“路程=速度×时间”分别计算两者5小时的飞行路程。第（1）问两架飞机反向飞行，相距距离就是两者的路程之和；第（2）问求甲比乙多飞行的路程，用甲的路程减去乙的路程即可，最后按照去括号、合并同类项的规则化简计算结果。
【解析】
(1) 甲飞机顺风飞行的速度为$(50+a)\ \mathrm{km/h}$，乙飞机逆风飞行的速度为$(50-a)\ \mathrm{km/h}$，5小时后两架飞机的距离为两者路程之和：
$\begin{aligned}&5×(50+a)+5×(50-a)\\=&250+5a+250-5a\\=&500\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
(2) 5小时后甲飞机比乙飞机多飞行的路程为两者路程之差：
$\begin{aligned}&5×(50+a)-5×(50-a)\\=&250+5a-250+5a\\=&10a\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{500\ \mathrm{km}}$；(2) $\boxed{10a\ \mathrm{km}}$
【知识点】
1. 行程问题公式
2. 去括号法则
3. 整式加减运算
【点评】
本题是整式加减在实际行程问题中的应用，核心是先正确表示出顺风、逆风状态下的飞行速度，再根据路程的和差关系列出代数式，计算时注意去括号的符号变化规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确行程问题中顺风、逆风速度的计算规则：顺风飞行速度=无风时的速度+风速，逆风飞行速度=无风时的速度-风速。先分别求出甲、乙两架飞机的实际飞行速度，再根据“路程=速度×时间”分别计算两者5小时的飞行路程。第（1）问两架飞机反向飞行，相距距离就是两者的路程之和；第（2）问求甲比乙多飞行的路程，用甲的路程减去乙的路程即可，最后按照去括号、合并同类项的规则化简计算结果。
【解析】
(1) 甲飞机顺风飞行的速度为$(50+a)\ \mathrm{km/h}$，乙飞机逆风飞行的速度为$(50-a)\ \mathrm{km/h}$，5小时后两架飞机的距离为两者路程之和：
$\begin{aligned}&5×(50+a)+5×(50-a)\\=&250+5a+250-5a\\=&500\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
(2) 5小时后甲飞机比乙飞机多飞行的路程为两者路程之差：
$\begin{aligned}&5×(50+a)-5×(50-a)\\=&250+5a-250+5a\\=&10a\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{500\ \mathrm{km}}$；(2) $\boxed{10a\ \mathrm{km}}$
【知识点】
1. 行程问题公式
2. 去括号法则
3. 整式加减运算
【点评】
本题是整式加减在实际行程问题中的应用，核心是先正确表示出顺风、逆风状态下的飞行速度，再根据路程的和差关系列出代数式，计算时注意去括号的符号变化规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
3.学校倡导“节约用水,节约用电”.某学校第一季度的电费为$m$元,水费比电费的2倍少40元.第二季度的电费比第一季度节约了$20\%$,水费多支出了$5\%$.
(1)求学校第二季度的水费和电费；
(2)学校第二季度水电费的支出比第一季度节约了多少元?
(1)求学校第二季度的水费和电费；
(2)学校第二季度水电费的支出比第一季度节约了多少元?
答案
解:
(1)第二季度的电费:m(1-20%)=0.8m(元).第二季度的水费:(2m-40)(1+5%)=(2.1m-42)(元).
(2)(m+2m-40)-(0.8m+2.1m-42)=(0.1m+2)(元),即学校第二季度水电费的支出比第一季度节约了(0.1m+2)元.
(1)第二季度的电费:m(1-20%)=0.8m(元).第二季度的水费:(2m-40)(1+5%)=(2.1m-42)(元).
(2)(m+2m-40)-(0.8m+2.1m-42)=(0.1m+2)(元),即学校第二季度水电费的支出比第一季度节约了(0.1m+2)元.
解析
【分析】
解题思路可分两步梳理：①解决第(1)问：先根据题意写出第一季度水费的表达式，再根据“第二季度电费比第一季度节约20%”，可知第二季度电费是第一季度的(1-20%)，用第一季度电费乘对应比例即可求出第二季度电费；根据“第二季度水费多支出5%”，可知第二季度水费是第一季度水费的(1+5%)，用第一季度水费乘对应比例即可求出第二季度水费。②解决第(2)问：先分别计算第一、第二季度水电费的总支出，用第一季度总支出减去第二季度总支出，通过去括号、合并同类项即可得到节约的费用，注意去括号时要遵循符号变化规则。
【解析】
(1) 计算第二季度的电费：
已知第一季度电费为$m$元，第二季度电费比第一季度节约$20\%$，因此第二季度电费为：
$m×(1-20\%) = 0.8m$（元）
计算第二季度的水费：
由题意得第一季度水费为$(2m-40)$元，第二季度水费多支出$5\%$，因此第二季度水费为：
$(2m-40)×(1+5\%) = (2m-40)×1.05 = 2.1m - 42$（元）
(2) 先计算第一季度水电费总支出：
第一季度总支出 = 电费 + 水费 = $m + (2m - 40) = 3m - 40$（元）
再计算第二季度水电费总支出：
第二季度总支出 = 电费 + 水费 = $0.8m + (2.1m - 42) = 2.9m - 42$（元）
第二季度比第一季度节约的费用 = 第一季度总支出 - 第二季度总支出，即：
$\begin{aligned}&(3m - 40) - (2.9m - 42)\\=&3m - 40 - 2.9m + 42\\=&0.1m + 2\end{aligned}$（元）
【答案】
(1) 第二季度电费为$0.8m$元，水费为$(2.1m-42)$元；
(2) 第二季度水电费支出比第一季度节约了$(0.1m+2)$元。
【知识点】
列代数式、去括号、整式的加减
【点评】
本题结合节约水电的生活场景命题，核心考查代数式的实际应用与整式加减运算能力，解题的关键是准确理解“节约”“多支出”对应的百分比关系，计算时注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
解题思路可分两步梳理：①解决第(1)问：先根据题意写出第一季度水费的表达式，再根据“第二季度电费比第一季度节约20%”，可知第二季度电费是第一季度的(1-20%)，用第一季度电费乘对应比例即可求出第二季度电费；根据“第二季度水费多支出5%”，可知第二季度水费是第一季度水费的(1+5%)，用第一季度水费乘对应比例即可求出第二季度水费。②解决第(2)问：先分别计算第一、第二季度水电费的总支出，用第一季度总支出减去第二季度总支出，通过去括号、合并同类项即可得到节约的费用，注意去括号时要遵循符号变化规则。
【解析】
(1) 计算第二季度的电费：
已知第一季度电费为$m$元，第二季度电费比第一季度节约$20\%$，因此第二季度电费为：
$m×(1-20\%) = 0.8m$（元）
计算第二季度的水费：
由题意得第一季度水费为$(2m-40)$元，第二季度水费多支出$5\%$，因此第二季度水费为：
$(2m-40)×(1+5\%) = (2m-40)×1.05 = 2.1m - 42$（元）
(2) 先计算第一季度水电费总支出：
第一季度总支出 = 电费 + 水费 = $m + (2m - 40) = 3m - 40$（元）
再计算第二季度水电费总支出：
第二季度总支出 = 电费 + 水费 = $0.8m + (2.1m - 42) = 2.9m - 42$（元）
第二季度比第一季度节约的费用 = 第一季度总支出 - 第二季度总支出，即：
$\begin{aligned}&(3m - 40) - (2.9m - 42)\\=&3m - 40 - 2.9m + 42\\=&0.1m + 2\end{aligned}$（元）
【答案】
(1) 第二季度电费为$0.8m$元，水费为$(2.1m-42)$元；
(2) 第二季度水电费支出比第一季度节约了$(0.1m+2)$元。
【知识点】
列代数式、去括号、整式的加减
【点评】
本题结合节约水电的生活场景命题，核心考查代数式的实际应用与整式加减运算能力，解题的关键是准确理解“节约”“多支出”对应的百分比关系，计算时注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.75
1.下列各式中,不能由$a - b + c$通过变形得到的是 ( )
A.$a - (b - c)$
B.$c - (b - a)$
C.$(a - b) + c$
D.$a - (b + c)$
A.$a - (b - c)$
B.$c - (b - a)$
C.$(a - b) + c$
D.$a - (b + c)$
答案
D
解析
【分析】
本题考查去括号与添括号法则的应用，解题思路是：先回忆去括号法则：括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项都要改变符号。我们只需将四个选项中的式子分别去括号化简，再和原式$a - b + c$对比，化简结果与原式不一致的就是正确选项。
【解析】
我们逐个化简选项并和原式对比：
选项A：$a-(b-c)=a - b + c$，和原式一致，不符合题意；
选项B：$c-(b-a)=c - b + a = a - b + c$，和原式一致，不符合题意；
选项C：$(a - b)+c = a - b + c$，和原式一致，不符合题意；
选项D：$a-(b + c)=a - b - c$，和原式$a - b + c$不一致，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则；添括号法则
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查括号前后符号变化的规则，易错点是括号前为负号时，容易出现漏变括号内某一项符号的错误，熟练掌握去括号、添括号的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查去括号与添括号法则的应用，解题思路是：先回忆去括号法则：括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项都要改变符号。我们只需将四个选项中的式子分别去括号化简，再和原式$a - b + c$对比，化简结果与原式不一致的就是正确选项。
【解析】
我们逐个化简选项并和原式对比：
选项A：$a-(b-c)=a - b + c$，和原式一致，不符合题意；
选项B：$c-(b-a)=c - b + a = a - b + c$，和原式一致，不符合题意；
选项C：$(a - b)+c = a - b + c$，和原式一致，不符合题意；
选项D：$a-(b + c)=a - b - c$，和原式$a - b + c$不一致，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则；添括号法则
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查括号前后符号变化的规则，易错点是括号前为负号时，容易出现漏变括号内某一项符号的错误，熟练掌握去括号、添括号的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2.下列各式去括号正确的是 ( )
A.$3x - (2y + z) = 3x - 2y - z$
B.$-(2x + y) = -2x + y$
C.$x - (-y) = x - y$
D.$2(x - y) = 2x - y$
A.$3x - (2y + z) = 3x - 2y - z$
B.$-(2x + y) = -2x + y$
C.$x - (-y) = x - y$
D.$2(x - y) = 2x - y$
答案
A
解析
【分析】
要判断去括号是否正确，需依据去括号法则逐一验证每个选项：首先明确去括号的两个核心规则，一是括号前是负号时，去括号后括号内所有项都要变号；二是括号前有系数时，系数要乘括号内的每一项，不能漏乘。我们对四个选项逐个判断即可得出正确答案。
【解析】
去括号法则：①括号前是“+”，去掉括号和前面的“+”后，括号内各项符号不变；②括号前是“-”，去掉括号和前面的“-”后，括号内各项符号都要改变；③括号前有数字系数时，要将系数乘括号内的每一项，再去括号。
对各选项逐一分析：
A选项：$3x-(2y+z)$，括号前是负号，去括号后$2y$变为$-2y$，$z$变为$-z$，结果为$3x-2y-z$，计算正确。
B选项：$-(2x+y)$，括号前是负号，去括号后应为$-2x-y$，选项结果为$-2x+y$，符号错误。
C选项：$x-(-y)$，去括号后负负得正，结果应为$x+y$，选项结果为$x-y$，符号错误。
D选项：$2(x-y)$，系数2要乘括号内每一项，结果应为$2x-2y$，选项漏乘了$y$的系数，错误。
综上，只有A选项去括号正确。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则，乘法分配律
【点评】
本题是去括号的基础考查题型，解题的易错点在于忽略括号前的负号导致符号错误，或者括号前有系数时漏乘括号内的项，熟练掌握去括号法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断去括号是否正确，需依据去括号法则逐一验证每个选项：首先明确去括号的两个核心规则，一是括号前是负号时，去括号后括号内所有项都要变号；二是括号前有系数时，系数要乘括号内的每一项，不能漏乘。我们对四个选项逐个判断即可得出正确答案。
【解析】
去括号法则：①括号前是“+”，去掉括号和前面的“+”后，括号内各项符号不变；②括号前是“-”，去掉括号和前面的“-”后，括号内各项符号都要改变；③括号前有数字系数时，要将系数乘括号内的每一项，再去括号。
对各选项逐一分析：
A选项：$3x-(2y+z)$，括号前是负号，去括号后$2y$变为$-2y$，$z$变为$-z$，结果为$3x-2y-z$，计算正确。
B选项：$-(2x+y)$，括号前是负号，去括号后应为$-2x-y$，选项结果为$-2x+y$，符号错误。
C选项：$x-(-y)$，去括号后负负得正，结果应为$x+y$，选项结果为$x-y$，符号错误。
D选项：$2(x-y)$，系数2要乘括号内每一项，结果应为$2x-2y$，选项漏乘了$y$的系数，错误。
综上，只有A选项去括号正确。
【答案】
A
【知识点】
去括号法则，乘法分配律
【点评】
本题是去括号的基础考查题型，解题的易错点在于忽略括号前的负号导致符号错误，或者括号前有系数时漏乘括号内的项，熟练掌握去括号法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.已知三角形的周长为$3m - n$,其中两边的和为$m + n$,则此三角形第三边的长为 ( )
A.$4m$
B.$4m - 2n$
C.$2m - 2n$
D.$2m + 2n$
A.$4m$
B.$4m - 2n$
C.$2m - 2n$
D.$2m + 2n$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先根据三角形周长的定义明确数量关系：三角形第三边的长 = 三角形的周长 - 另外两边的和。先代入对应代数式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项就能得到结果，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项都要变号。
【解析】
解：
∵三角形的周长等于三边长之和，
∴第三边的长 = 周长 - 已知两边的和，
代入对应式子得：
$\begin{split}&(3m - n) - (m + n)\\=&3m - n - m - n \quad \mathrm{（去括号法则：括号前是负号，括号内各项变号）}\\=&2m - 2n \quad \mathrm{（合并同类项）}\end{split}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形周长定义，整式的加减运算，去括号法则
【点评】
本题属于基础运算应用题，核心是通过几何周长公式转化为整式加减运算，易错点是去括号时容易出现符号错误，掌握去括号和合并同类项的运算规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据三角形周长的定义明确数量关系：三角形第三边的长 = 三角形的周长 - 另外两边的和。先代入对应代数式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项就能得到结果，注意去括号时如果括号前是负号，括号内各项都要变号。
【解析】
解：
∵三角形的周长等于三边长之和，
∴第三边的长 = 周长 - 已知两边的和，
代入对应式子得：
$\begin{split}&(3m - n) - (m + n)\\=&3m - n - m - n \quad \mathrm{（去括号法则：括号前是负号，括号内各项变号）}\\=&2m - 2n \quad \mathrm{（合并同类项）}\end{split}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形周长定义，整式的加减运算，去括号法则
【点评】
本题属于基础运算应用题，核心是通过几何周长公式转化为整式加减运算，易错点是去括号时容易出现符号错误，掌握去括号和合并同类项的运算规则就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4.某轮船顺水航行了$4 h$,逆水航行了$2 h$.已知轮船在静水中速度为每小时$a km$,水流速度为每小时$b km$,则轮船共航行了\underline{ } $km$.
答案
(6a+2b)
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确顺水、逆水行驶时的速度和静水速度、水流速度的关系，再根据“路程=速度×时间”分别算出顺水、逆水的航行路程，最后将两段路程相加，通过去括号、合并同类项化简得到总路程即可。
【解析】
1. 计算顺水航行路程：
顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 = $(a+b)\ \mathrm{km/h}$，顺水航行了4h，
因此顺水路程 = 速度×时间 = $4(a+b)\ \mathrm{km}$。
2. 计算逆水航行路程：
逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 = $(a-b)\ \mathrm{km/h}$，逆水航行了2h，
因此逆水路程 = 速度×时间 = $2(a-b)\ \mathrm{km}$。
3. 计算总航行路程：
总路程 = 顺水路程 + 逆水路程 = $4(a+b)+2(a-b)$
去括号得：原式$=4a+4b+2a-2b$
合并同类项得：原式$=6a+2b$
【答案】
$(6a+2b)$
【知识点】
1. 顺水逆水速度公式
2. 整式加减运算
3. 去括号法则
【点评】
本题结合行程场景考查整式的化简运算，核心是理清不同行驶状态下的速度关系，再按照整式运算规则化简即可，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确顺水、逆水行驶时的速度和静水速度、水流速度的关系，再根据“路程=速度×时间”分别算出顺水、逆水的航行路程，最后将两段路程相加，通过去括号、合并同类项化简得到总路程即可。
【解析】
1. 计算顺水航行路程：
顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 = $(a+b)\ \mathrm{km/h}$，顺水航行了4h，
因此顺水路程 = 速度×时间 = $4(a+b)\ \mathrm{km}$。
2. 计算逆水航行路程：
逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 = $(a-b)\ \mathrm{km/h}$，逆水航行了2h，
因此逆水路程 = 速度×时间 = $2(a-b)\ \mathrm{km}$。
3. 计算总航行路程：
总路程 = 顺水路程 + 逆水路程 = $4(a+b)+2(a-b)$
去括号得：原式$=4a+4b+2a-2b$
合并同类项得：原式$=6a+2b$
【答案】
$(6a+2b)$
【知识点】
1. 顺水逆水速度公式
2. 整式加减运算
3. 去括号法则
【点评】
本题结合行程场景考查整式的化简运算，核心是理清不同行驶状态下的速度关系，再按照整式运算规则化简即可，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
