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8. 如图所示,两条直线相交只有1个交点,三条直线相交最多有3个交点,四条直线相交最多有6个交点,五条直线相交最多有10个交点,六条直线相交最多有______个交点,$n$条直线相交最多有______个交点.
答案
15 $\frac{n(n - 1)}{2}$ 解析:三条直线交点最多为1+2=3(个),四条直线交点最多为1+2+3=6(个),五条直线交点最多为1+2+3+4=10(个),六条直线交点最多为1+2+3+4+5=15(个);n条直线交点最多为1+2+3+...+(n - 1)=$\frac{n(n - 1)}{2}$(个).
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确直线相交“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且不存在三条及以上直线交于同一点。接下来我们从简单情况入手找规律：每新增1条直线，要让交点最多，这条新直线就要和之前所有的直线都相交，新增的交点数等于之前直线的数量。我们可以依次推导不同数量直线的最多交点数，再总结出n条直线的一般规律，最后代入n=6计算即可。
【解析】
要得到最多交点，需满足任意两条直线相交，且没有重合的交点：
2条直线相交最多有交点：$1$个；
3条直线相交时，第3条直线和前2条直线各交1个点，新增2个交点，最多共$1+2=3$个；
4条直线相交时，第4条直线和前3条直线各交1个点，新增3个交点，最多共$1+2+3=6$个；
5条直线相交时，第5条直线和前4条直线各交1个点，新增4个交点，最多共$1+2+3+4=10$个；
6条直线相交时，第6条直线和前5条直线各交1个点，新增5个交点，最多共$1+2+3+4+5=15$个；
以此类推，$n$条直线相交最多的交点数为$1+2+3+\dots+(n-1)$，根据求和公式计算得：
$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{[1+(n-1)]×(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】
$15$；$\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
直线相交交点计数、规律探究、列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是理解“最多交点”的成立条件，通过从特殊到一般的归纳方法推导规律，能有效提升逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确直线相交“最多交点”的前提：任意两条直线都相交，且不存在三条及以上直线交于同一点。接下来我们从简单情况入手找规律：每新增1条直线，要让交点最多，这条新直线就要和之前所有的直线都相交，新增的交点数等于之前直线的数量。我们可以依次推导不同数量直线的最多交点数，再总结出n条直线的一般规律，最后代入n=6计算即可。
【解析】
要得到最多交点，需满足任意两条直线相交，且没有重合的交点：
2条直线相交最多有交点：$1$个；
3条直线相交时，第3条直线和前2条直线各交1个点，新增2个交点，最多共$1+2=3$个；
4条直线相交时，第4条直线和前3条直线各交1个点，新增3个交点，最多共$1+2+3=6$个；
5条直线相交时，第5条直线和前4条直线各交1个点，新增4个交点，最多共$1+2+3+4=10$个；
6条直线相交时，第6条直线和前5条直线各交1个点，新增5个交点，最多共$1+2+3+4+5=15$个；
以此类推，$n$条直线相交最多的交点数为$1+2+3+\dots+(n-1)$，根据求和公式计算得：
$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{[1+(n-1)]×(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$。
【答案】
$15$；$\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
直线相交交点计数、规律探究、列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是理解“最多交点”的成立条件，通过从特殊到一般的归纳方法推导规律，能有效提升逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7
9. 已知数轴的原点为$O$,如图所示,点$A$表示3,点$B表示-\frac{3}{2}$.
(1) 数轴是什么图形？
(2) 数轴上原点$O$左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？
(3) 射线$OB$上的点表示什么数？端点表示什么数？
(4) 数轴上表示不小于$-\frac{3}{2}$且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？
(1) 数轴是什么图形？
(2) 数轴上原点$O$左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？
(3) 射线$OB$上的点表示什么数？端点表示什么数？
(4) 数轴上表示不小于$-\frac{3}{2}$且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？
答案
解:
(1)数轴是一条直线.
(2)数轴上原点O左边的部分(包括原点)是一条射线，表示为射线OB.
(3)射线OB上的点表示非正数，端点表示0.
(4)数轴上表示不小于$-\frac{3}{2}$且不大于3的部分是一条线段，表示为线段AB.
(1)数轴是一条直线.
(2)数轴上原点O左边的部分(包括原点)是一条射线，表示为射线OB.
(3)射线OB上的点表示非正数，端点表示0.
(4)数轴上表示不小于$-\frac{3}{2}$且不大于3的部分是一条线段，表示为线段AB.
解析
【分析】
解题时先明确直线、射线、线段的核心特征：直线无端点，可向两端无限延伸；射线有1个端点，可向一端无限延伸；线段有2个端点，长度有限。再结合数轴的定义、数轴上点对应的数的特征逐一分析：
1. 回忆数轴的定义直接判断其所属图形；
2. 原点左边（含原点）的部分只有1个端点O，向左侧无限延伸，符合射线特征，结合延伸方向确定表示方法；
3. 原点及原点左侧的点对应0或负数，即非正数，射线OB的端点为原点，对应数为0；
4. 不小于$-\frac{3}{2}$且不大于3的部分有两个端点A、B，长度有限，符合线段特征。
【解析】
(1) 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，因此数轴属于直线类图形。
(2) 原点O左边的部分（包括原点）仅有一个端点O，可向左侧无限延伸，符合射线的定义，是射线，端点为O，向B的方向延伸，因此表示为射线OB。
(3) 射线OB上的点都位于原点及原点左侧，对应的数都小于等于0，即非正数；射线OB的端点是原点O，表示的数是0。
(4) 表示不小于$-\frac{3}{2}$且不大于3的部分，两个端点分别是点B和点A，长度有限，属于线段，因此表示为线段AB。
【答案】
(1) 数轴是一条直线。
(2) 是一条射线，表示为射线OB。
(3) 表示非正数，端点表示0。
(4) 是一条线段，表示为线段AB。
【知识点】
数轴的概念；射线的定义；线段的定义
【点评】
本题将数轴和几何基础图形的知识点结合考查，核心是区分直线、射线、线段的特征，结合数轴上数的范围判断对应图形，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.85
解题时先明确直线、射线、线段的核心特征：直线无端点，可向两端无限延伸；射线有1个端点，可向一端无限延伸；线段有2个端点，长度有限。再结合数轴的定义、数轴上点对应的数的特征逐一分析：
1. 回忆数轴的定义直接判断其所属图形；
2. 原点左边（含原点）的部分只有1个端点O，向左侧无限延伸，符合射线特征，结合延伸方向确定表示方法；
3. 原点及原点左侧的点对应0或负数，即非正数，射线OB的端点为原点，对应数为0；
4. 不小于$-\frac{3}{2}$且不大于3的部分有两个端点A、B，长度有限，符合线段特征。
【解析】
(1) 数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，因此数轴属于直线类图形。
(2) 原点O左边的部分（包括原点）仅有一个端点O，可向左侧无限延伸，符合射线的定义，是射线，端点为O，向B的方向延伸，因此表示为射线OB。
(3) 射线OB上的点都位于原点及原点左侧，对应的数都小于等于0，即非正数；射线OB的端点是原点O，表示的数是0。
(4) 表示不小于$-\frac{3}{2}$且不大于3的部分，两个端点分别是点B和点A，长度有限，属于线段，因此表示为线段AB。
【答案】
(1) 数轴是一条直线。
(2) 是一条射线，表示为射线OB。
(3) 表示非正数，端点表示0。
(4) 是一条线段，表示为线段AB。
【知识点】
数轴的概念；射线的定义；线段的定义
【点评】
本题将数轴和几何基础图形的知识点结合考查，核心是区分直线、射线、线段的特征，结合数轴上数的范围判断对应图形，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.85
10. 通过阅读所得的启示,回答问题(阅读中的结论可直接用).
阅读：在直线上有$n$个不同的点,则此图中共有多少条线段？
分析：通过画图尝试,得表格：
|图形|直线上点的个数|线段条数|两者关系|
||2|1|1 = 0 + 1|
||3|3|3 = 0 + 1 + 2|
||4|6|6 = 0 + 1 + 2 + 3|
||5|10|10 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4|
|...|...|...|...|
||$n$|$\frac{n(n - 1)}{2}$|$\frac{n(n - 1)}{2}= 0 + 1 + 2 + … + (n - 1)$|
问题：(1) 某学校九年级共有8个班进行辩论赛,规定进行单循环赛(每两班之间赛一场),那么该校九年级的辩论赛共有多少场次？
(2) 有一辆客车,往返两地,中途停靠3个车站,有多少种不同的票价？要准备多少种车票？
阅读：在直线上有$n$个不同的点,则此图中共有多少条线段？
分析：通过画图尝试,得表格：
|图形|直线上点的个数|线段条数|两者关系|
||2|1|1 = 0 + 1|
||3|3|3 = 0 + 1 + 2|
||4|6|6 = 0 + 1 + 2 + 3|
||5|10|10 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4|
|...|...|...|...|
||$n$|$\frac{n(n - 1)}{2}$|$\frac{n(n - 1)}{2}= 0 + 1 + 2 + … + (n - 1)$|
问题：(1) 某学校九年级共有8个班进行辩论赛,规定进行单循环赛(每两班之间赛一场),那么该校九年级的辩论赛共有多少场次？
(2) 有一辆客车,往返两地,中途停靠3个车站,有多少种不同的票价？要准备多少种车票？
答案
解:
(1)取n=8,比赛场次为$\frac{8×(8 - 1)}{2}=28$(场).
(2)5个站点共有$\frac{5×(5 - 1)}{2}=10$(种)不同票价，每两站之间要准备往返两种车票，所以需要准备20种不同的车票
(1)取n=8,比赛场次为$\frac{8×(8 - 1)}{2}=28$(场).
(2)5个站点共有$\frac{5×(5 - 1)}{2}=10$(种)不同票价，每两站之间要准备往返两种车票，所以需要准备20种不同的车票
解析
【分析】
解题时可将实际问题转化为直线上数线段的模型：①单循环赛中，每个班级对应直线上的1个点，两班赛一场对应两点间的1条线段，比赛总场次等于n个点的线段总条数，可直接套用题干给出的线段计数公式计算；②车站问题中，总站点数为中途停靠站加起点、终点，不同票价只与两站间的距离有关，往返票价相同，对应线段总条数；车票需考虑往返方向，因此总种数是线段总条数的2倍。
【解析】
(1) 九年级共8个班进行单循环赛，即$n=8$，代入线段总条数公式：
$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{8×(8-1)}{2}=28$（场）
(2) 中途停靠3个车站，总站点数为$3+2=5$，即$n=5$：
不同票价对应线段总条数：$\frac{5×(5-1)}{2}=10$（种）
车票需区分往返方向，总种数为$10×2=20$（种）
【答案】
(1) 辩论赛共有28场次；(2) 有10种不同的票价，要准备20种车票。
【知识点】
线段计数规律，规律应用，实际问题转化
【点评】
本题将线段计数的探究规律应用到实际问题中，解题关键是找准实际场景和线段计数模型的对应关系，同时要注意区分是否需要考虑方向：票价不考虑往返方向，车票需要考虑方向，避免因忽略该差异导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时可将实际问题转化为直线上数线段的模型：①单循环赛中，每个班级对应直线上的1个点，两班赛一场对应两点间的1条线段，比赛总场次等于n个点的线段总条数，可直接套用题干给出的线段计数公式计算；②车站问题中，总站点数为中途停靠站加起点、终点，不同票价只与两站间的距离有关，往返票价相同，对应线段总条数；车票需考虑往返方向，因此总种数是线段总条数的2倍。
【解析】
(1) 九年级共8个班进行单循环赛，即$n=8$，代入线段总条数公式：
$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{8×(8-1)}{2}=28$（场）
(2) 中途停靠3个车站，总站点数为$3+2=5$，即$n=5$：
不同票价对应线段总条数：$\frac{5×(5-1)}{2}=10$（种）
车票需区分往返方向，总种数为$10×2=20$（种）
【答案】
(1) 辩论赛共有28场次；(2) 有10种不同的票价，要准备20种车票。
【知识点】
线段计数规律，规律应用，实际问题转化
【点评】
本题将线段计数的探究规律应用到实际问题中，解题关键是找准实际场景和线段计数模型的对应关系，同时要注意区分是否需要考虑方向：票价不考虑往返方向，车票需要考虑方向，避免因忽略该差异导致计算错误。
【难度系数】
0.7
