9. (★★)如图,在 Rt△ABC 中,∠BCA = 90°,AC = 12,AB = 13,D 是 Rt△ABC 外一点,连接 DC,DB,且 CD = 4,BD = 3.
(1)求证:∠D = 90°;
(2)求四边形 ABDC 面积.
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1. （1）证明$∠ D = 90^{\circ}$：
在$Rt△ ABC$中，$∠ BCA = 90^{\circ}$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$。
已知$AC = 12$，$AB = 13$，则$BC=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5$。
在$△ BCD$中，$CD = 4$，$BD = 3$，$BC = 5$。
因为$BD^{2}+CD^{2}=3^{2}+4^{2}=9 + 16=25$，$BC^{2}=5^{2}=25$，所以$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a$、$b$、$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形，其中$c$为斜边，所以$∠ D = 90^{\circ}$。
2. （2）求四边形$ABDC$的面积：
四边形$ABDC$的面积$S = S_{△ ABC}+S_{△ BCD}$。
对于$S_{△ ABC}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），在$Rt△ ABC$中，$a = AC$，$h = BC$，则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC$，已知$AC = 12$，$BC = 5$，所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×12×5 = 30$。
对于$S_{△ BCD}$，在$Rt△ BCD$中，$a = BD$，$h = CD$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，已知$BD = 3$，$CD = 4$，则$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× CD=\frac{1}{2}×3×4 = 6$。
所以$S = S_{△ ABC}+S_{△ BCD}=30 + 6=36$。
综上，（1）已证$∠ D = 90^{\circ}$；（2）四边形$ABDC$的面积为$36$。

10. (★)在△ABC 中,BC:AC:AB = 1:1:√{2},则△ABC 是三角形.

等腰直角

设 $BC = k$，$AC = k$，$AB = \sqrt{2}k$，其中 $k ＞ 0$。
根据勾股定理的逆定理，若 $BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$，则$\bigtriangleup ABC$是直角三角形。
计算可得：
$BC^{2} + AC^{2} = k^{2} + k^{2} = 2k^{2}$，
$AB^{2} = (\sqrt{2}k)^{2} = 2k^{2}$。
因为 $BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$，所以 $\bigtriangleup ABC$ 是直角三角形，又因为 $BC = AC$，所以 $\bigtriangleup ABC$ 是等腰直角三角形。

11. (★)在△ABC 中,AC = 6,BC = a,AB = b,如果 a,b 满足(a + 6)(a - 6) + b² = 0,则△ABC 的形状是三角形.

直角

由(a + 6)(a - 6) + b² = 0，展开得a² - 36 + b² = 0，即a² + b² = 36。因为AC = 6，所以AC² = 36，故a² + b² = AC²。根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。

12. (★★)如图,点 D,E 分别为△ABC 的边 BC,AC 上的点,连接 AD,DE,过点 E 作 EF//BC,连接 CF,若∠ADB = ∠CAD + 30°,AE = 5,DE = 12,AD = 13,则∠DEF 的度数为.
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1. 首先，判断$△ ADE$的形状：
已知$AE = 5$，$DE = 12$，$AD = 13$。
根据勾股定理的逆定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为最长边），对于$△ ADE$，有$AE^{2}+DE^{2}=5^{2}+12^{2}=25 + 144=169$，$AD^{2}=13^{2}=169$。
所以$AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$，则$△ ADE$是直角三角形，$∠ AED = 90^{\circ}$。
2. 然后，利用三角形外角性质：
因为$∠ ADB$是$△ ADC$的外角，根据三角形外角性质$∠ ADB=∠ CAD+∠ ACD$。
又已知$∠ ADB=∠ CAD + 30^{\circ}$，所以$∠ ACD = 30^{\circ}$。
3. 最后，根据平行线的性质求$∠ DEF$的度数：
因为$EF// BC$，根据平行线的性质，$∠ FEC=∠ ACD = 30^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$∠ AED = 90^{\circ}$，$∠ AED+∠ DEF+∠ FEC = 180^{\circ}$（平角的定义）。
所以$∠ DEF=180^{\circ}-∠ AED-∠ FEC$。
把$∠ AED = 90^{\circ}$，$∠ FEC = 30^{\circ}$代入可得：$∠ DEF=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
故答案为$60^{\circ}$。

13. (★★)家长在选择婴儿车时,不仅关注其舒适性、便捷性,更关注婴儿车的安全性.图①是某平台出售的一种品牌婴儿车,图②为其部分结构示意图,经过测量,得到 AB = CD = 6 dm,BC = 3 dm,AD = 9 dm,其中 AB 与 BD 之间由一个固定为 90°的零件连接(即∠ABD = 90°).根据安全标准需满足 BC⊥CD,请判断该婴儿车是否符合安全标准,并说明理由.
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符合安全标准。理由如下：
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=6dm，AD=9dm，由勾股定理得：
BD²=AD²-AB²=9²-6²=81-36=45。
在△BCD中，BC=3dm，CD=6dm，
BC²+CD²=3²+6²=9+36=45。
∵BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD=90°，即BC⊥CD。
故该婴儿车符合安全标准。