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1. (★)(1)一个数$x$的$\frac{1}{3}$与$-4$的差不小于这个数的$2$倍加上$5$所得的和，则可列不等式为【 】
A. $\frac{1}{3}x - 4＞2x + 5$
B. $\frac{1}{3}x + 4＞2x + 5$
C. $\frac{1}{3}x - 4≥2x + 5$
D. $\frac{1}{3}x + 4≥2x + 5$
(2)若代数式$4x - 1$的值不大于$3x + 5$的值，则$x$的最大整数值是【 】
A. $6$
B. $7$
C. $8$
D. $9$
A. $\frac{1}{3}x - 4＞2x + 5$
B. $\frac{1}{3}x + 4＞2x + 5$
C. $\frac{1}{3}x - 4≥2x + 5$
D. $\frac{1}{3}x + 4≥2x + 5$
(2)若代数式$4x - 1$的值不大于$3x + 5$的值，则$x$的最大整数值是【 】
A. $6$
B. $7$
C. $8$
D. $9$
答案
(1)“一个数$x$的$\frac{1}{3}$与$-4$的差”表示为$\frac{1}{3}x - (-4)=\frac{1}{3}x + 4$，“不小于”即“≥”，“这个数的$2$倍加上$5$所得的和”表示为$2x + 5$，所以不等式为$\frac{1}{3}x + 4≥2x + 5$，选D。
(2)由题意得$4x - 1≤3x + 5$，移项得$4x - 3x≤5 + 1$，解得$x≤6$，所以$x$的最大整数值是$6$，选A。
(1)D
(2)A
(2)由题意得$4x - 1≤3x + 5$，移项得$4x - 3x≤5 + 1$，解得$x≤6$，所以$x$的最大整数值是$6$，选A。
(1)D
(2)A
2. (★)三个连续正整数的和小于$39$，这样的正整数中，最大一组的和是【 】
A.$39$
B.$36$
C.$35$
D.$34$
A.$39$
B.$36$
C.$35$
D.$34$
答案
B
解析
设三个连续正整数中间的一个为$x$，则其他两个分别为$x - 1$，$x + 1$。根据题意，得$(x - 1)+x+(x + 1)＜39$，解得$x＜13$，因为$x$为正整数，当$x = 12$时，三个连续正整数为$11$，$12$，$13$，它们的和为$11 + 12+13 = 36$。
3. (★)不等式$\frac{x - 9}{3}+1＜\frac{3x + 4}{2}$的负整数解有【 】
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
C
解析
去分母，得$2(x - 9) + 6 ＜ 3(3x + 4)$；去括号，得$2x - 18 + 6 ＜ 9x + 12$；移项，得$2x - 9x ＜ 12 + 18 - 6$；合并同类项，得$-7x ＜ 24$；系数化为1，得$x ＞ -\frac{24}{7}$。负整数解为$-3, -2, -1$，共3个。
4. (★)已知$x = 3$是方程$\frac{x - a}{2}-2 = x - 1$的解，那么不等式$(2-\frac{a}{5})x＜\frac{1}{3}$的解集是。
答案
因为$x = 3$是方程$\frac{x - a}{2}-2 = x - 1$的解，
所以将$x = 3$代入方程得：$\frac{3 - a}{2}-2 = 3 - 1$，
$\frac{3 - a}{2}-2 = 2$，
$\frac{3 - a}{2}=4$，
$3 - a = 8$，
$-a = 5$，
$a = -5$。
将$a = -5$代入不等式$(2-\frac{a}{5})x＜\frac{1}{3}$得：
$(2 - \frac{-5}{5})x＜\frac{1}{3}$，
$(2 + 1)x＜\frac{1}{3}$，
$3x＜\frac{1}{3}$，
$x＜\frac{1}{9}$。
故答案为$x＜\frac{1}{9}$。
所以将$x = 3$代入方程得：$\frac{3 - a}{2}-2 = 3 - 1$，
$\frac{3 - a}{2}-2 = 2$，
$\frac{3 - a}{2}=4$，
$3 - a = 8$，
$-a = 5$，
$a = -5$。
将$a = -5$代入不等式$(2-\frac{a}{5})x＜\frac{1}{3}$得：
$(2 - \frac{-5}{5})x＜\frac{1}{3}$，
$(2 + 1)x＜\frac{1}{3}$，
$3x＜\frac{1}{3}$，
$x＜\frac{1}{9}$。
故答案为$x＜\frac{1}{9}$。
5. (★)不等式$-3(1 - x)＜15$的正整数解有【 】
A.$5$个
B.$6$个
C.$7$个
D.无数个
A.$5$个
B.$6$个
C.$7$个
D.无数个
答案
A
解析
首先去括号，得$-3 + 3x ＜ 15$，
移项得$3x＜ 15 + 3$，
合并同类项得$ 3x＜ 18$，
系数化为$1$得$x＜ 6$，
满足$x＜ 6$的正整数有$1,2,3,4,5$，共$5$个。
移项得$3x＜ 15 + 3$，
合并同类项得$ 3x＜ 18$，
系数化为$1$得$x＜ 6$，
满足$x＜ 6$的正整数有$1,2,3,4,5$，共$5$个。
6. (★★)如果不等式$3x - m≤0$没有正整数解，那么$m$的取值范围是。
答案
首先解不等式 3x - m ≤ 0，得到：
$x ≤ \frac{m}{3}$，
由于不等式没有正整数解，那么$ \frac{m}{3} $必须小于或等于 1 的前一个正整数（即小于等于 0 的下一个数（考虑到 x 为正整数，所以实际应小于等于 0
（当$\frac{m}{3}=1$时，x可以取1，与题意不符），但正整数最小为1，所以$\frac{m}{3}$必须小于 1）），但考虑到 x 取不到 0（正整数解不包括0），且当$\frac{m}{3}$在(0,1]范围内时，x可以取到1，所以为了保证没有正整数解，我们需要有：
$x ≤ \frac{m}{3}$，
由于不等式没有正整数解，那么$ \frac{m}{3} $必须小于或等于 1 的前一个正整数（即小于等于 0 的下一个数（考虑到 x 为正整数，所以实际应小于等于 0
（当$\frac{m}{3}=1$时，x可以取1，与题意不符），但正整数最小为1，所以$\frac{m}{3}$必须小于 1）），但考虑到 x 取不到 0（正整数解不包括0），且当$\frac{m}{3}$在(0,1]范围内时，x可以取到1，所以为了保证没有正整数解，我们需要有：
7. (★★)某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失$10\%$，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得$20\%$的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高【 】
A.$40\%$
B.$33.4\%$
C.$33.3\%$
D.$30\%$
A.$40\%$
B.$33.4\%$
C.$33.3\%$
D.$30\%$
答案
C
解析
设购进水果质量为$m$千克，进价为每千克$a$元，总成本为$ma$元。运输后质量为$0.9m$千克，设售价提高$x$，则售价为$a(1+x)$元/千克。要获得至少20%利润，总售价需满足$0.9m · a(1+x) ≥ 1.2ma$。两边约去$ma$得$0.9(1+x) ≥ 1.2$，解得$1+x ≥ \frac{4}{3}$，$x ≥ \frac{1}{3} \approx 33.3\%$。
8. (★★)某航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过$115cm$。某厂家生产符合该规定的行李箱。已知行李箱的宽为$20cm$，长与高的比为$8:11$，则符合此规定的行李箱的高的最大值为$cm$。
答案
设行李箱的长为$8x\, \mathrm{cm}$，高为$11x\, \mathrm{cm}$（由于长与高的比为$8:11$）。
根据航空公司的规定，行李箱的长、宽、高之和不超过$115\, \mathrm{cm}$，即：
$8x + 20 + 11x ≤ 115$，
合并同类项，得到：
$19x + 20 ≤ 115$，
移项并化简，得到：
$19x ≤ 95$，
除以19，得到：
$x ≤ 5$，
由于高为$11x$，将$x ≤ 5$代入，得到高的最大值为：
$11x ≤ 55$。
故符合此规定的行李箱的高的最大值为$55\, \mathrm{cm}$。
根据航空公司的规定，行李箱的长、宽、高之和不超过$115\, \mathrm{cm}$，即：
$8x + 20 + 11x ≤ 115$，
合并同类项，得到：
$19x + 20 ≤ 115$，
移项并化简，得到：
$19x ≤ 95$，
除以19，得到：
$x ≤ 5$，
由于高为$11x$，将$x ≤ 5$代入，得到高的最大值为：
$11x ≤ 55$。
故符合此规定的行李箱的高的最大值为$55\, \mathrm{cm}$。
9. (★★)在某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得$3$分，负一场得$1$分。如果某班要在第一轮的$28$场比赛中至少得$43$分，那么这个班至少要胜多少场？
答案
设这个班胜$x$场，则负$(28 - x)$场。
根据得分规则，胜场得$3x$分，负场得$(28 - x)$分。
根据题意，总得分至少为$43$分，可以列出不等式：
$3x + (28 - x) ≥ 43$
$3x + 28 - x ≥ 43$
$2x ≥ 15$
$x ≥ 7.5$
由于$x$必须是整数（因为场次不能是小数），且要满足$x ≥ 7.5$，所以$x$的最小整数值为$8$。
答：这个班至少要胜$8$场。
根据得分规则，胜场得$3x$分，负场得$(28 - x)$分。
根据题意，总得分至少为$43$分，可以列出不等式：
$3x + (28 - x) ≥ 43$
$3x + 28 - x ≥ 43$
$2x ≥ 15$
$x ≥ 7.5$
由于$x$必须是整数（因为场次不能是小数），且要满足$x ≥ 7.5$，所以$x$的最小整数值为$8$。
答：这个班至少要胜$8$场。
