5. 下列命题中的假命题是()

A.在$△ ABC$中，若$∠ A=∠ C-∠ B$，则$△ ABC$是直角三角形
B.在$△ ABC$中，若$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，则$△ ABC$是直角三角形
C.在$△ ABC$中，若$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的度数比是$5\colon 2\colon 3$，则$△ ABC$是直角三角形
D.在$△ ABC$中，若三边长$a\colon b\colon c=2\colon 2\colon 3$，则$△ ABC$是直角三角形

5. D

6. 如图，在四边形$ABCD$中，已知：$AB=1$，$BC=2$，$CD=2$，$AD=3$，且$AB⊥ BC$.试说明$AC⊥ CD$的理由.

6. 证明：因为在 $ △ ABC $ 中 $ AB ⊥ BC $，根据勾股定理：$ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5 $。
$ \because $ 在 $ △ ACD $ 中，$ AC^2 + CD^2 = 5 + 4 = 9 $，$ AD^2 = 9 $，
$ \therefore AC^2 + CD^2 = AD^2 $，
$ \therefore $ 根据勾股定理的逆定理，$ △ ACD $ 为直角三角形，
所以 $ AC ⊥ CD $。

7. 有一块薄铁皮$ABCD$，$∠ B=90^{\circ}$，各边的尺寸如图所示，若对角线$AC$剪开，得到的两块都是“直角三角形”形状吗？为什么？

7. 解：都是直角三角形。理由如下：
连接 $ AC $，
在 $ △ ABC $ 中，$ \because ∠ B = 90° $，
$ \therefore △ ABC $ 为直角三角形，
$ \therefore AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8 $。
又 $ \therefore AD^2 + AC^2 = 1 + 8 = 9 $，而 $ DC^2 = 9 $，
$ \therefore AC^2 + AD^2 = DC^2 $，
$ \therefore △ ACD $ 也为直角三角形。

1. 如图，已知$∠ ADC=90^{\circ}$，$AD=8$，$CD=6$，$AB=26$，$BC=24$.
(1)证明：$△ ABC$是直角三角形.
(2)请求图中阴影部分的面积.

1. (1) 证明：$ \because ∠ ADC = 90° $，$ AD = 8 $，$ CD = 6 $，
$ \therefore $ 由勾股定理可得：
$ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} $
$ = \sqrt{100} = 10 $。
在 $ △ ABC $ 中，
$ \because AC = 10 $，$ BC = 24 $，$ AB = 26 $，
$ AC^2 + BC^2 = 100 + 576 = 676 $，
而 $ AB^2 = 26^2 = 676 $，
$ \therefore AC^2 + BC^2 = AB^2 $。
由勾股定理逆定理可得：
$ △ ABC $ 是直角三角形。
(2) 解：$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{△ ABC} - S_{△ ACD} $
$ = \dfrac{1}{2}AC · BC - \dfrac{1}{2}CD · AD $
$ = \dfrac{1}{2} × 10 × 24 - \dfrac{1}{2} × 6 × 8 = 120 - 24 = 96 $

2. 如图，已知在等腰$△ ABC$中，底边$BC=20\ \mathrm{cm}$，$D$为$AB$上的一点，且$CD=16\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，求$△ ABC$的周长.

2. 解：在 $ △ BCD $ 中，$ BC = 20 \mathrm{ cm} $，$ CD = 16 \mathrm{ cm} $，$ BD = 12 \mathrm{ cm} $，
$ \because BD^2 + DC^2 = BC^2 $，
$ \therefore △ BCD $ 中是直角三角形，$ ∠ BDC = 90° $，$ BD ⊥ DC $，
设 $ AD = x $，则 $ AC = x + 12 $，
在 $ \mathrm{Rt} △ ADC $ 中，$ \because AC^2 = AD^2 + DC^2 $，
$ \therefore x^2 + 16^2 = (x + 12)^2 $，
解得：$ x = \dfrac{14}{3} $。
$ \therefore △ ABC $ 的周长为：
$ (\dfrac{14}{3} + 12) × 2 + 20 = \dfrac{160}{3} \mathrm{ cm} $。

3. 如图，在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ D=90^{\circ}$，$AB=2$，$BC=3$，$CD=1$，$AD=2\sqrt{2}$，$E$是$AD$的中点.求证：$CE⊥ BE$.

3. 证明：$ \because $ 在四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ A = ∠ D = 90° $，
$ \because E $ 是 $ AD $ 中点，
$ \therefore DE = AE = \dfrac{1}{2}AD = \sqrt{2} $。
在 $ \mathrm{Rt} △ ABE $ 和 $ \mathrm{Rt} △ DEC $ 中，
$ EB^2 = AE^2 + AB^2 = 6 $，
$ EC^2 = DE^2 + CD^2 = 3 $，
$ \because EB^2 + EC^2 = 9 = BC^2 $，
$ \therefore ∠ CEB = 90° $，
$ \therefore CE ⊥ BE $。