5. 一个圆锥的母线长与底面直径相等，写出这个圆锥的侧面积 $ S $ 与母线长 $ l $ 之间的函数表达式.

解：$​S=\frac {πl}{2πl} · πl^2=\frac 12πl^2​$

【解析】
已知圆锥的母线长为$ l $，且母线长与底面直径相等，因此底面半径$ r = \frac{l}{2} $。
圆锥的侧面积公式为$ S = π r l $，将$ r = \frac{l}{2} $代入公式：
$ S = π × \frac{l}{2} × l = \frac{1}{2}π l^2 $。
【答案】
$ S = \frac{1}{2}π l^2 $
【知识点】
圆锥侧面积计算、圆的半径与直径关系
【点评】
本题考查圆锥侧面积公式的实际应用，解题关键是利用母线长与底面直径的关系求出底面半径，再代入侧面积公式计算，属于基础题型。

6. 如图所示，用一段长 20 m 的铝合金型材制作一个宽为 $ x $ m 的矩形窗框，写出这个窗框的面积 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数表达式（不计铝合金型材的宽度）.

解：$​S=x · \frac {20-3x}2=-\frac 32x^2+10x​$

【解析】
已知铝合金型材总长为20m，窗框的宽为$ x $m，由窗框结构可知，共有3条长度为$ x $m的型材，因此剩余用于制作窗框2条长的型材长度为$ 20-3x $m，可得窗框的长为$ \frac{20-3x}{2} $m。根据矩形面积公式$ S=长×宽 $，将宽$ x $和长$ \frac{20-3x}{2} $代入，化简后即可得到面积$ S $与$ x $的函数表达式。
【答案】
$ S=-\frac{3}{2}x^2+10x $（或$ S=x·\frac{20-3x}{2} $）
【知识点】
列二次函数关系式；矩形面积公式
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确分析窗框的型材组成，结合矩形面积公式建立函数关系式，提升数学建模与分析实际问题的能力。

1. 在同一平面直角坐标系中画出下列二次函数的图像.
(1) $ y = \dfrac{1}{4}x^{2} $；
(2) $ y = -\dfrac{1}{4}x^{2} $.

解：如图所示

【解析】
1. 分析函数基本特征：
(1) 对于$y = \dfrac{1}{4}x^{2}$：开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
(2) 对于$y = -\dfrac{1}{4}x^{2}$：开口向下，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴。
2. 列表、描点、连线：
选取$x=-4,-2,0,2,4$，计算对应函数值，在平面直角坐标系中描出对应点，再用平滑曲线依次连接，得到函数图像，如图所示：

【答案】
如图所示（图像见解析中的图片）
【知识点】
二次函数图像画法、二次函数性质
【点评】
这两个二次函数的图像关于$x$轴对称，二次项系数的正负决定开口方向，系数绝对值相同则开口大小一致，二者顶点与对称轴均为原点和$y$轴，体现了二次项系数对函数图像的影响。

2. 已知点 $ A(3,a) $ 在二次函数 $ y = x^{2} $ 的图像上.
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 点 $ (-3,a) $ 在这个函数的图像上吗？

解：​(1)​把​(3，​​a)​代入$​y=x^2$，​得​a=9​
​(2)​把​(-3，​​9)​代入$​y=x^2$，​等式成立
∴点​(-3，​​9)​在这个函数图像上

【解析】
(1) 将点$A(3,a)$代入二次函数$y = x^{2}$的解析式，可得$a=3^2=9$；
(2) 由(1)得$a=9$，则待判断的点为$(-3,9)$，将$x=-3$代入$y = x^{2}$，计算得$y=(-3)^2=9$，与该点纵坐标相等，因此点$(-3,9)$满足函数解析式。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=9}$；
(2) $\boldsymbol{点(-3,a)在这个函数的图像上}$
【知识点】
二次函数图像上点的坐标特征；代入求值
【点评】
本题考查二次函数图像上点的坐标与函数解析式的对应关系，解题关键是利用“函数图像上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，通过代入验证求解和判断，属于基础题型。