登录
11. 如图，已知正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ \sqrt{2} $，对角线 $ BD $ 上有一动点 $ K $，过点 $ K $ 作 $ PQ // AC $，交正方形 $ ABCD $ 两边于点 $ P $、 $ Q $。设 $ BK = x $， $ S_{△ PBQ} = y $。
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
（2）画出该函数的图像。
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
（2）画出该函数的图像。
答案
解：(1)设AC与BD相交于点O，当点K在OB上时
∵O是AC的中点，K是PQ的中点
∴PQ=2BK=2x
∴$y=\frac 12x · 2x=x^2(0＜x＜1)$
当点K在OD上运动时，KD=2-x
∴PQ=2(2-x)，$y=\frac 12x · 2(2-x)=-x^2+2x(1≤x＜2)$
∴所求的函数表达式为当0＜x＜1时，$y=x^2$；
当1≤x＜2时，$y=-x^2+2x$
(2)函数图像如图所示
解析
【解析】
(1) 先计算正方形对角线$BD$的长度：正方形$ABCD$边长为$\sqrt{2}$，则$BD=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，故$OB=OD=1$。
分两种情况讨论：
① 当点$K$在$OB$上（$0＜x＜1$）时：
因为$PQ// AC$，正方形对角线$AC⊥ BD$，所以$PQ⊥ BD$，且$K$是$PQ$中点，可得$PQ=2BK=2x$。
则$△ PBQ$的面积$y=\frac{1}{2}· BK· PQ=\frac{1}{2}· x· 2x=x^2$。
② 当点$K$在$OD$上（$1≤x＜2$）时：
$KD=BD-BK=2-x$，同理$PQ=2KD=2(2-x)$，
则$△ PBQ$的面积$y=\frac{1}{2}· BK· PQ=\frac{1}{2}· x· 2(2-x)=-x^2+2x$。
综上得到$y$与$x$的函数表达式。
(2) 该函数为分段函数，图像由两部分组成：$0＜x＜1$时，是抛物线$y=x^2$在第一象限的部分；$1≤x＜2$时，是抛物线$y=-x^2+2x$在第一象限的部分。
【答案】
(1) 当$0＜x＜1$时，$\boldsymbol{y=x^2}$；当$1≤x＜2$时，$\boldsymbol{y=-x^2+2x}$；
(2) 函数图像：在$0＜x＜1$时，取抛物线$y=x^2$位于$0＜x＜1$之间的部分；在$1≤x＜2$时，取抛物线$y=-x^2+2x$位于$1≤x＜2$之间的部分（图像可参考给定参考图）。
【知识点】
正方形的性质，分段函数，二次函数表达式
【点评】
本题是动点与二次函数结合的问题，核心是根据动点$K$的位置分类讨论，结合正方形对角线的性质推导线段长度，进而得到面积的函数表达式，需注意严格区分自变量的取值范围。
(1) 先计算正方形对角线$BD$的长度：正方形$ABCD$边长为$\sqrt{2}$，则$BD=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，故$OB=OD=1$。
分两种情况讨论：
① 当点$K$在$OB$上（$0＜x＜1$）时：
因为$PQ// AC$，正方形对角线$AC⊥ BD$，所以$PQ⊥ BD$，且$K$是$PQ$中点，可得$PQ=2BK=2x$。
则$△ PBQ$的面积$y=\frac{1}{2}· BK· PQ=\frac{1}{2}· x· 2x=x^2$。
② 当点$K$在$OD$上（$1≤x＜2$）时：
$KD=BD-BK=2-x$，同理$PQ=2KD=2(2-x)$，
则$△ PBQ$的面积$y=\frac{1}{2}· BK· PQ=\frac{1}{2}· x· 2(2-x)=-x^2+2x$。
综上得到$y$与$x$的函数表达式。
(2) 该函数为分段函数，图像由两部分组成：$0＜x＜1$时，是抛物线$y=x^2$在第一象限的部分；$1≤x＜2$时，是抛物线$y=-x^2+2x$在第一象限的部分。
【答案】
(1) 当$0＜x＜1$时，$\boldsymbol{y=x^2}$；当$1≤x＜2$时，$\boldsymbol{y=-x^2+2x}$；
(2) 函数图像：在$0＜x＜1$时，取抛物线$y=x^2$位于$0＜x＜1$之间的部分；在$1≤x＜2$时，取抛物线$y=-x^2+2x$位于$1≤x＜2$之间的部分（图像可参考给定参考图）。
【知识点】
正方形的性质，分段函数，二次函数表达式
【点评】
本题是动点与二次函数结合的问题，核心是根据动点$K$的位置分类讨论，结合正方形对角线的性质推导线段长度，进而得到面积的函数表达式，需注意严格区分自变量的取值范围。
一、选择题
1. 下列函数中，图像经过原点的是().
(A) $ y = - x ^ { 2 } - 1 $ (B) $ y = - ( x - 1 ) ^ { 2 } $
(C) $ y = 3 x ^ { 2 } - 2 x $ (D) $ y = x ^ { 2 } - 3 x + 2 $
1. 下列函数中，图像经过原点的是().
(A) $ y = - x ^ { 2 } - 1 $ (B) $ y = - ( x - 1 ) ^ { 2 } $
(C) $ y = 3 x ^ { 2 } - 2 x $ (D) $ y = x ^ { 2 } - 3 x + 2 $
答案
C
解析
【解析】
判断函数图像是否经过原点，只需将$x=0$代入函数解析式，若$y=0$，则图像经过原点，否则不经过。
选项A：当$x=0$时，$y=-0^2 -1=-1≠0$，图像不经过原点；
选项B：当$x=0$时，$y=-(0-1)^2=-1≠0$，图像不经过原点；
选项C：当$x=0$时，$y=3×0^2 -2×0=0$，图像经过原点；
选项D：当$x=0$时，$y=0^2 -3×0 +2=2≠0$，图像不经过原点。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
函数过原点的判定、二次函数求值
【点评】
本题主要考查函数图像过原点的判定方法，通过代入$x=0$计算函数值即可判断，属于基础题，熟练掌握代入求值法是解题关键。
判断函数图像是否经过原点，只需将$x=0$代入函数解析式，若$y=0$，则图像经过原点，否则不经过。
选项A：当$x=0$时，$y=-0^2 -1=-1≠0$，图像不经过原点；
选项B：当$x=0$时，$y=-(0-1)^2=-1≠0$，图像不经过原点；
选项C：当$x=0$时，$y=3×0^2 -2×0=0$，图像经过原点；
选项D：当$x=0$时，$y=0^2 -3×0 +2=2≠0$，图像不经过原点。
综上，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
函数过原点的判定、二次函数求值
【点评】
本题主要考查函数图像过原点的判定方法，通过代入$x=0$计算函数值即可判断，属于基础题，熟练掌握代入求值法是解题关键。
2. 已知函数：① $ y = 2 x $；② $ y = - \dfrac { 2 } { x } ( x ＜ 0 ) $；③ $ y = 3 - 2 x $；④ $ y = 2 x ^ { 2 } + x ( x ≥ 0 ) $.其中，$ y $随$ x $增大而增大的函数有().
A.$ 1 $个
B.$ 2 $个
C.$ 3 $个
D.$ 4 $个
A.$ 1 $个
B.$ 2 $个
C.$ 3 $个
D.$ 4 $个
答案
C
解析
【解析】
逐个分析各函数的增减性：
1. 对于①$y=2x$，正比例函数，比例系数$k=2＞0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大；
2. 对于②$y=-\dfrac{2}{x}(x＜0)$，反比例函数，比例系数$k=-2＜0$，在$x＜0$的范围内（第三象限），$y$随$x$的增大而增大；
3. 对于③$y=3-2x$，一次函数，比例系数$k=-2＜0$，$y$随$x$的增大而减小；
4. 对于④$y=2x^2+x(x≥0)$，二次函数，开口向上，对称轴为$x=-\dfrac{1}{4}$，当$x≥0$时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大。
综上，$y$随$x$增大而增大的函数有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数增减性、反比例函数增减性、二次函数增减性
【点评】
本题考查不同类型函数的增减性，需结合函数定义域及各函数增减性的适用范围判断，避免因忽略定义域导致错误。
逐个分析各函数的增减性：
1. 对于①$y=2x$，正比例函数，比例系数$k=2＞0$，在全体实数范围内$y$随$x$的增大而增大；
2. 对于②$y=-\dfrac{2}{x}(x＜0)$，反比例函数，比例系数$k=-2＜0$，在$x＜0$的范围内（第三象限），$y$随$x$的增大而增大；
3. 对于③$y=3-2x$，一次函数，比例系数$k=-2＜0$，$y$随$x$的增大而减小；
4. 对于④$y=2x^2+x(x≥0)$，二次函数，开口向上，对称轴为$x=-\dfrac{1}{4}$，当$x≥0$时，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大。
综上，$y$随$x$增大而增大的函数有①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数增减性、反比例函数增减性、二次函数增减性
【点评】
本题考查不同类型函数的增减性，需结合函数定义域及各函数增减性的适用范围判断，避免因忽略定义域导致错误。
