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3. 二次函数 $ y = - \dfrac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } - 2 x - 5 $可变形为().
A.$ y = - \dfrac { 1 } { 3 } ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4 $
B.$ y = - \dfrac { 1 } { 3 } ( x + 3 ) ^ { 2 } - 2 $
C.$ y = - \dfrac { 1 } { 3 } ( x + 3 ) ^ { 2 } + 6 $
D.$ y = - \dfrac { 1 } { 3 } ( x - 1 ) ^ { 2 } + 6 $
A.$ y = - \dfrac { 1 } { 3 } ( x - 1 ) ^ { 2 } - 4 $
B.$ y = - \dfrac { 1 } { 3 } ( x + 3 ) ^ { 2 } - 2 $
C.$ y = - \dfrac { 1 } { 3 } ( x + 3 ) ^ { 2 } + 6 $
D.$ y = - \dfrac { 1 } { 3 } ( x - 1 ) ^ { 2 } + 6 $
答案
B
解析
【解析】
利用配方法将二次函数一般式化为顶点式：
$\begin{aligned}y&= - \dfrac{1}{3}x^2 - 2x - 5\\&= - \dfrac{1}{3}(x^2 + 6x) - 5\\&= - \dfrac{1}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) - 5\\&= - \dfrac{1}{3}[(x + 3)^2 - 9] - 5\\&= - \dfrac{1}{3}(x + 3)^2 + 3 - 5\\&= - \dfrac{1}{3}(x + 3)^2 - 2\end{aligned}$
因此原函数可变形为选项B的形式。
【答案】
B
【知识点】
二次函数配方法，二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数一般式与顶点式的转化，核心是掌握配方法的操作步骤，注意提取二次项系数后括号内配方的常数项计算，以及符号的正确处理，避免计算错误。
利用配方法将二次函数一般式化为顶点式：
$\begin{aligned}y&= - \dfrac{1}{3}x^2 - 2x - 5\\&= - \dfrac{1}{3}(x^2 + 6x) - 5\\&= - \dfrac{1}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9) - 5\\&= - \dfrac{1}{3}[(x + 3)^2 - 9] - 5\\&= - \dfrac{1}{3}(x + 3)^2 + 3 - 5\\&= - \dfrac{1}{3}(x + 3)^2 - 2\end{aligned}$
因此原函数可变形为选项B的形式。
【答案】
B
【知识点】
二次函数配方法，二次函数顶点式
【点评】
本题考查二次函数一般式与顶点式的转化，核心是掌握配方法的操作步骤，注意提取二次项系数后括号内配方的常数项计算，以及符号的正确处理，避免计算错误。
4. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 3 x + 2 $图像的顶点坐标是().
A.$ ( \dfrac { 3 } { 2 }, - \dfrac { 1 } { 4 } ) $
B.$ ( - \dfrac { 3 } { 2 }, \dfrac { 1 } { 4 } ) $
C.$ ( \dfrac { 3 } { 2 }, \dfrac { 1 } { 4 } ) $
D.$ ( - \dfrac { 3 } { 2 }, - \dfrac { 1 } { 4 } ) $
A.$ ( \dfrac { 3 } { 2 }, - \dfrac { 1 } { 4 } ) $
B.$ ( - \dfrac { 3 } { 2 }, \dfrac { 1 } { 4 } ) $
C.$ ( \dfrac { 3 } { 2 }, \dfrac { 1 } { 4 } ) $
D.$ ( - \dfrac { 3 } { 2 }, - \dfrac { 1 } { 4 } ) $
答案
A
解析
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。
在$y=x^2-3x+2$中，$a=1$，$b=-3$，$c=2$，
则顶点横坐标$x=-\frac{-3}{2×1}=\frac{3}{2}$，
将$x=\frac{3}{2}$代入函数得：
$y=(\frac{3}{2})^2 - 3×\frac{3}{2}+2=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+2=-\frac{1}{4}$，
所以顶点坐标为$(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题考查二次函数顶点坐标的计算，可利用顶点公式或配方法求解，掌握二次函数的基本性质是解题关键。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$。
在$y=x^2-3x+2$中，$a=1$，$b=-3$，$c=2$，
则顶点横坐标$x=-\frac{-3}{2×1}=\frac{3}{2}$，
将$x=\frac{3}{2}$代入函数得：
$y=(\frac{3}{2})^2 - 3×\frac{3}{2}+2=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+2=-\frac{1}{4}$，
所以顶点坐标为$(\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题考查二次函数顶点坐标的计算，可利用顶点公式或配方法求解，掌握二次函数的基本性质是解题关键。
5. 如图，在边长为 $ 1 $的正方形 $ ABCD $中，点 $ E $、$ F $、$ G $、$ H $分别在边 $ AB $、$ BC $、$ CD $、$ DA $上运动(不与点 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $重合)，且 $ AE = BF = CG = DH $，则四边形 $ EFGH $的面积 $ S $与 $ AE $的长 $ x $之间的函数表达式为().
A.$ S = - 2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 ( 0 ＜ x ＜ 1 ) $
B.$ S = 2 x ^ { 2 } - 2 x + 1 ( 0 ＜ x ＜ 1 ) $
C.$ S = - 2 x ^ { 2 } + 2 x - 1 ( 0 ＜ x ＜ 1 ) $
D.$ S = 2 x ^ { 2 } + 2 x - 1 ( 0 ＜ x ＜ 1 ) $
A.$ S = - 2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 ( 0 ＜ x ＜ 1 ) $
B.$ S = 2 x ^ { 2 } - 2 x + 1 ( 0 ＜ x ＜ 1 ) $
C.$ S = - 2 x ^ { 2 } + 2 x - 1 ( 0 ＜ x ＜ 1 ) $
D.$ S = 2 x ^ { 2 } + 2 x - 1 ( 0 ＜ x ＜ 1 ) $
答案
B
解析
【解析】
设 $ AE = x $（$ 0＜x＜1 $），
因为正方形 $ ABCD $ 边长为1，所以 $ AB=BC=CD=DA=1 $，$ ∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90° $，
由 $ AE = BF = CG = DH = x $，得 $ BE=CF=DG=AH=1-x $。
每个三角形的面积为 $ \frac{1}{2}x(1-x) $，四个三角形的总面积为 $ 4×\frac{1}{2}x(1-x)=2x(1-x) $。
正方形 $ ABCD $ 的面积为 $ 1×1=1 $，
因此四边形 $ EFGH $ 的面积 $ S = 1 - 2x(1-x) $，
展开得 $ S=2x^2 - 2x + 1 $（$ 0＜x＜1 $）。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；二次函数表达式
【点评】
本题通过割补法将不规则四边形面积转化为正方形与四个全等三角形的面积差，关键是证明四个三角形全等，进而建立面积与线段长度的函数关系，考查了对图形面积转化思想的运用。
设 $ AE = x $（$ 0＜x＜1 $），
因为正方形 $ ABCD $ 边长为1，所以 $ AB=BC=CD=DA=1 $，$ ∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90° $，
由 $ AE = BF = CG = DH = x $，得 $ BE=CF=DG=AH=1-x $。
每个三角形的面积为 $ \frac{1}{2}x(1-x) $，四个三角形的总面积为 $ 4×\frac{1}{2}x(1-x)=2x(1-x) $。
正方形 $ ABCD $ 的面积为 $ 1×1=1 $，
因此四边形 $ EFGH $ 的面积 $ S = 1 - 2x(1-x) $，
展开得 $ S=2x^2 - 2x + 1 $（$ 0＜x＜1 $）。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；二次函数表达式
【点评】
本题通过割补法将不规则四边形面积转化为正方形与四个全等三角形的面积差，关键是证明四个三角形全等，进而建立面积与线段长度的函数关系，考查了对图形面积转化思想的运用。
6. 已知$ ( 3, n ) $、$ ( 5, n ) $是二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $图像上的两点，那么该图像的对称轴平行于 $ y $轴且过点().
A.$ ( - 4, 0 ) $
B.$ ( \dfrac { 5 } { 3 }, 0 ) $
C.$ ( - \dfrac { 5 } { 3 }, 0 ) $
D.$ ( 4, 0 ) $
A.$ ( - 4, 0 ) $
B.$ ( \dfrac { 5 } { 3 }, 0 ) $
C.$ ( - \dfrac { 5 } { 3 }, 0 ) $
D.$ ( 4, 0 ) $
答案
D
解析
【解析】
因为二次函数图像上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，所以该二次函数图像的对称轴的横坐标为这两点横坐标的平均值，即$\frac{3+5}{2}=4$，所以对称轴平行于$y$轴且过点$(4,0)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的对称性，掌握“二次函数图像上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴横坐标为两点横坐标的平均值”是解题关键。
因为二次函数图像上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，所以该二次函数图像的对称轴的横坐标为这两点横坐标的平均值，即$\frac{3+5}{2}=4$，所以对称轴平行于$y$轴且过点$(4,0)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的对称性，掌握“二次函数图像上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴横坐标为两点横坐标的平均值”是解题关键。
