5. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$P$ 为对角线 $AC$ 上一点，连接 $PB$，$PD$，延长 $BP$ 交 $AD$ 于点 $E$.
(1) 求证：$PB = PD$；
(2) 若 $∠ BPD = 140^{\circ}$，求 $∠ AEB$ 的度数.

5. 提示：(1) 证$△ ABP ≌ △ ADP$或$△ BPC ≌ △ DPC$. (2) $∠ AEB = ∠ EBC = 65^{\circ}$

(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB = AD$，$∠ BAC=∠ DAC = 45°$。
在$△ ABP$和$△ ADP$中，
$\begin{cases}AB = AD\\∠ BAP=∠ DAP\\AP = AP\end{cases}$，
∴$△ ABP≌△ ADP(\mathrm{SAS})$，
∴$PB = PD$。
(2) 解：
∵$PB = PD$，$∠ BPD = 140°$，
∴$∠ PBD=∠ PDB=\frac{180° - 140°}{2}=20°$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD// BC$，$∠ BCA = 45°$。
∵$∠ PBC=∠ BCA-∠ PDB = 45° - 20°=25°$，
∵$AD// BC$，
∴$∠ AEB=∠ EBC = 25° + 40°=65°$。
故$∠ AEB = 65°$。

6. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $CD$ 的中点，$F$ 为边 $AD$ 上一点，且不与点 $A$、点 $D$ 重合，$∠ BFE = ∠ FBC$，求证：$BC + DF = 2EF$.

6. 证明：如图，延长FE交BC的延长线于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AD // BC$，$∠ D = 90^{\circ}$，
∴$∠ D = ∠ ECH = 90^{\circ}$，$∠ DFE = ∠ H$.
∵E为CD的中点，
∴$DE = CE$. 在$△ DEF$和$△ CEH$中，$∠ D = ∠ ECH = 90^{\circ}$，$∠ DFE = ∠ H$，$DE = CE$，
∴$△ DEF ≌ △ CEH(AAS)$，
∴$DF = CH$，$EF = EH$，
∴$HF = EF + EH = 2EF$，$BH = BC + CH = BC + DF$.
∵$∠ BFE = ∠ FBC$，
∴$BH = HF$，
∴$BC + DF = 2EF$.

7. 如图，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 上（不与点 $A$，$B$ 重合），作点 $D$ 关于直线 $CE$ 的对称点 $D'$. $DD'$ 与 $BC$ 相交于点 $F$，连接 $D'B$ 并延长，交 $CE$ 的延长线于点 $G$.
(1) 求证：$CE = DF$；
(2) 求证：$∠ G = 45^{\circ}$.

7. (1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$BC = CD$，$∠ EBC = ∠ FCD = 90^{\circ}$，
∴$∠ DCH + ∠ BCE = 90^{\circ}$.
∵点D关于直线CE的对称点是$D'$，
∴$CE ⊥ DD'$，
∴$∠ CHD = 90^{\circ}$，
∴$∠ DCH + ∠ CDF = 90^{\circ}$，
∴$∠ BCE = ∠ CDF$. 在$△ BCE$和$△ CDF$中，$\begin{cases} ∠ BCE = ∠ CDF, \\ BC = CD, \\ ∠ EBC = ∠ FCD, \end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ CDF(ASA)$，
∴$CE = DF$. (2) 证明：如图，连接$CD'$，
∵点D关于直线CE的对称点是$D'$，
∴$CE ⊥ DD'$，$CD = CD'$，
∴$∠ D'HG = 90^{\circ}$，$∠ CDF = ∠ CD'D$.
∵四边形ABCD是正方形，
∴$CD = CB$，
∴$CB = CD'$，
∴$∠ CBD' = ∠ CD'B$.
∵$∠ CBD'$是$△ CBG$的一个外角，
∴$∠ CBD' = ∠ G + ∠ BCE$.
∵$∠ CD'B = ∠ HD'G + ∠ CD'D$，$∠ CDF = ∠ CD'D$，
∴$∠ CD'B = ∠ HD'G + ∠ CDF$，由(1)知$∠ BCE = ∠ CDF$，
∴$∠ G = ∠ HD'G$，又$∠ D'HG = 90^{\circ}$，
∴$∠ G = 45^{\circ}$.