1. 如图，点 $B$，$C$，$E$ 在同一直线上，分别以 $BC$，$CE$ 为边作正方形 $ABCD$ 和正方形 $CEFG$，$BC = 2$，$CE = 4$，$H$ 是 $AF$ 的中点，那么 $CH$ 的长是()

A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{10}$
D.$4\sqrt{2}$

1. B

解：以点$C$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，建立平面直角坐标系。
因为$BC = 2$，正方形$ABCD$，所以$A(-2,2)$，$B(-2,0)$，$C(0,0)$，$D(0,2)$。
因为$CE = 4$，正方形$CEFG$，所以$E(4,0)$，$F(4,4)$，$G(0,4)$。
$H$是$AF$的中点，$A(-2,2)$，$F(4,4)$，则$H$的坐标为$(\dfrac{-2 + 4}{2},\dfrac{2 + 4}{2})=(1,3)$。
$C(0,0)$，$H(1,3)$，所以$CH=\sqrt{(1 - 0)^2+(3 - 0)^2}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$。
答案：B

2. 如图，四边形 $ABCD$，$AEFG$ 是正方形，点 $E$，$G$ 分别在 $AB$，$AD$ 上，连接 $FC$，过点 $E$ 作 $EH // FC$，交 $BC$ 于点 $H$. 若 $AB = 4$，$AE = 1$，则 $BH$ 的长为()

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$3\sqrt{2}$

2. C

解：
∵ 四边形 $ABCD$，$AEFG$ 是正方形，$AB=4$，$AE=1$，
∴ $AG=AE=1$，$AD=AB=4$，$∠ D=∠ B=90°$，
∴ $DG=AD-AG=4-1=3$，$BE=AB-AE=4-1=3$。
延长 $GF$ 交 $BC$ 于点 $M$，则 $GM=AB=4$，$FM=GM-GF=4-1=3$，$CM=DG=3$。
∵ $EH // FC$，且 $EF // BC$（$EF ⊥ AB$，$BC ⊥ AB$），
∴ 四边形 $EFCH$ 是平行四边形，
∴ $EH=FC$，$BH=BC-CH$。
在 $Rt△ FMC$ 中，$FC=\sqrt{FM^2+CM^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
在 $Rt△ EBH$ 中，$EH^2=BE^2+BH^2$，即 $(3\sqrt{2})^2=3^2+BH^2$，
解得 $BH=3$。
答案：C

3. 如图，$F$ 是正方形 $ABCD$ 的边 $CD$ 上的一个动点，$BF$ 的垂直平分线交对角线 $AC$ 于点 $E$，连接 $BE$，$FE$，则 $∠ EBF$ 的度数是()

A.$45^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.不确定

3. A

证明：连接 $ED$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $AB = AD$，$∠ BAC = ∠ DAC = 45°$，$∠ ADC = 90°$。
在$△ ABE$ 和 $△ ADE$ 中，
$\begin{cases}AB = AD \\∠ BAE = ∠ DAE \\AE = AE\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ADE$（SAS），
∴ $BE = DE$，$∠ ABE = ∠ ADE$。
∵ $EM$ 是 $BF$ 的垂直平分线，
∴ $BE = FE$，
∴ $DE = FE$，
∴ $∠ EDF = ∠ EFD$。
设 $∠ EBF = ∠ EFB = x$，$∠ ABE = ∠ ADE = y$，
则 $∠ EBC = 90° - y$，$∠ EFD = ∠ EDF = 90° - y - x$。
∵ $∠ ADE + ∠ EDF = 90°$，
∴ $y + (90° - y - x) = 90°$，
解得 $x = 45°$，
即 $∠ EBF = 45°$。
答案：A

4. 如图，在正方形 $ABCD$ 的外侧，作等边三角形 $ADE$，$AC$，$BE$ 相交于点 $F$，则 $∠ BFC$ 的度数为()

A.$45^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

4. C

证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB=AD$，$∠ BAD=90°$，$∠ BAC=45°$。
∵$△ ADE$是等边三角形，
∴$AD=AE$，$∠ DAE=60°$。
∴$AB=AE$，$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=90°+60°=150°$。
∴$∠ ABE=∠ AEB=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
在$△ AFB$中，$∠ AFB=180°-∠ BAC-∠ ABE=180°-45°-15°=120°$。
∵$∠ AFB+∠ BFC=180°$，
∴$∠ BFC=180°-120°=60°$。
答案：C

5. 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$，点 $H$ 在 $CD$ 的延长线上，四边形 $CEFH$ 为正方形，则 $△ DBF$ 的面积为()

A.$4$
B.$\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2$

5. D

解：设正方形$CEFH$的边长为$a$。
以$B$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$BA$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。
则$B(0,0)$，$D(2,2)$，$F(2+a,a)$。
$\overrightarrow{BD}=(2,2)$，$\overrightarrow{BF}=(2+a,a)$。
$S_{△ DBF}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BD}×\overrightarrow{BF}|=\frac{1}{2}|2× a - 2×(2 + a)|=\frac{1}{2}|2a - 4 - 2a|=\frac{1}{2}×4 = 2$。
答案：D

6. 如图，已知正方形 $ABCD$ 边长为 $1$，$∠ EAF = 45^{\circ}$，$AE = AF$. 有下列结论：
① $∠ 1 = ∠ 2 = 22.5^{\circ}$；② 点 $C$ 到 $EF$ 的距离为 $\sqrt{2} - 1$；③ $△ ECF$ 的周长为 $2$；④ $BE + DF ＞ EF$.
其中正确的结论是.(填序号)

6. ①②③

证明：
①
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$∠ BAD=90°$，$AB=AD$，$AE=AF$，
∴ $△ ABE ≌ △ ADF$（SAS），$∠ 1=∠ 2$，
∵ $∠ EAF=45°$，
∴ $∠ 1+∠ 2=90°-45°=45°$，
∴ $∠ 1=∠ 2=22.5°$，①正确；
② 设 $BE=DF=x$，则 $CE=CF=1-x$，
在 $△ ABE$ 中，$AE^2=AB^2+BE^2=1+x^2$，
$∠ AEB=90°-∠ 1=67.5°$，同理 $∠ AFD=67.5°$，
$∠ FEC=∠ FCE=45°$，$EF=\sqrt{2}(1-x)$，
在 $△ AEF$ 中，$EF^2=2AE^2-2AE^2\cos45°=2(1+x^2)(1-\frac{\sqrt{2}}{2})=(2-\sqrt{2})(1+x^2)$，
又 $EF^2=2(1-x)^2$，解得 $x=\sqrt{2}-1$，
点 $C$ 到 $EF$ 距离 $h=\frac{CE · CF}{EF}=\frac{(1-x)^2}{\sqrt{2}(1-x)}=\frac{1-x}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，②正确；
③ $△ ECF$ 周长 $=CE+CF+EF=2(1-x)+\sqrt{2}(1-x)=2(1-x)(1+\frac{\sqrt{2}}{2})$，
将 $x=\sqrt{2}-1$ 代入得周长 $=2$，③正确；
④ $BE+DF=2x=2(\sqrt{2}-1)$，$EF=\sqrt{2}(1-x)=\sqrt{2}(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2$，
$BE+DF=EF$，④错误。
综上，正确结论是①②③。
①②③