1. 下列说法中正确的是()

A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D.有三个角是直角的四边形是矩形

D

【解析】
选项A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），故A错误；
选项B：两条对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故B错误；
选项C：两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形（如菱形），故C错误；
选项D：四边形内角和为360°，若有三个角是直角，则第四个角必为直角，四个角都是直角的四边形是矩形，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定
【点评】
本题考查矩形的判定定理，需准确掌握矩形与其他特殊四边形的判定差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在等腰三角形$BED$中，$BC$是底边$DE$上的高，四边形$ABEC$是平行四边形。判断四边形$ABCD$的形状，并说明理由。

矩形，先证AB//CD,且AB=CD,得到四边形ABCD是平行四边形，加上∠BCD=90°,根据定义可得

【解析】
1. 因为四边形$ABEC$是平行四边形，所以$AB// EC$，$AB=EC$。
2. 由于$△ BED$是等腰三角形，$BC$是底边$DE$上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$DC=EC$，且$∠ BCD=90°$。
3. 因此$AB=DC$，又$AB// DC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
4. 又因为$∠ BCD=90°$，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形$ABCD$是矩形。
【答案】
四边形$ABCD$是矩形
【知识点】
平行四边形的判定与性质；等腰三角形三线合一；矩形的判定
【点评】
本题主要考查特殊四边形的判定与性质，需结合平行四边形、等腰三角形的相关性质进行推导，关键是利用等腰三角形三线合一得到线段相等和直角条件，进而证得矩形。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$MN// PQ$，直线$l$分别交$MN$，$PQ$于点$A$，$C$，同旁内角的平分线$AB$，$CB$相交于点$B$，同旁内角的平分线$AD$，$CD$相交于点$D$。试证明四边形$ABCD$是矩形。

∵AB、AD分别为角平分线，∴∠BAC+∠DAC=90°,即∠BAD=90°.同理∠BCD=90°,∵MN//PQ,∴∠MAC+∠ACP=180°.∴∠BCA+∠BAC=90°,即∠ABC=90°,于是得证

【解析】
∵AB、AD分别为同旁内角的平分线，
∴$∠ BAC+∠ DAC=\frac{1}{2}(∠ MAC+∠ NAC)=90°$，即$∠ BAD=90°$。
同理可证$∠ BCD=90°$。
∵$MN// PQ$，根据平行线的性质，同旁内角互补，得$∠ MAC+∠ ACP=180°$。
又
∵AB平分$∠ MAC$，CB平分$∠ ACP$，
∴$∠ BAC+∠ BCA=\frac{1}{2}(∠ MAC+∠ ACP)=90°$，
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-(∠ BAC+∠ BCA)=90°$。
∵四边形$ABCD$中$∠ BAD=∠ ABC=∠ BCD=90°$，
∴四边形$ABCD$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
【答案】
四边形$ABCD$是矩形，证明成立。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，矩形的判定
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、角平分线的定义以及矩形的判定定理，需要将多个知识点结合运用，通过证明四边形的三个内角为直角来判定矩形，对定理的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

1. 平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是()

A.梯形
B.矩形
C.正方形
D.其他

B

【解析】
因为平行四边形的邻角互补，所以相邻两个内角的平分线相交形成的角为90°。同理，该四边形的四个内角均为90°，根据矩形的判定定理，四个角都是直角的四边形是矩形，因此平行四边形的内角平分线能够围成的四边形是矩形。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、矩形判定
【点评】
本题主要考查平行四边形性质与矩形判定定理的综合应用，需结合角平分线性质推导四边形内角的特点，进而判断四边形形状。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在矩形$ABCD$中，$AD = 6$，$AB = 4$，点$E$，$G$，$H$，$F$分别在边$AB$，$BC$，$CD$，$AD$上，且$AF = CG = 2$，$BE = DH = 1$，$P$是直线$EF$，$GH$之间的任意一点，连接$PE$，$PF$，$PG$，$PH$，则$△ PEF$和$△ PGH$的面积和等于。

7

【解析】
1. 计算矩形$ABCD$的面积：$S_{矩形ABCD}=AD×AB=6×4=24$。
2. 计算周围四个三角形的面积：
$AE=AB-BE=4-1=3$，$AF=2$，则$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}×AE×AF=\frac{1}{2}×3×2=3$；
$BG=BC-CG=6-2=4$，$BE=1$，则$S_{△ BEG}=\frac{1}{2}×BE×BG=\frac{1}{2}×1×4=2$；
$CH=CD-DH=4-1=3$，$CG=2$，则$S_{△ CGH}=\frac{1}{2}×CG×CH=\frac{1}{2}×2×3=3$；
$DF=AD-AF=6-2=4$，$DH=1$，则$S_{△ DFH}=\frac{1}{2}×DF×DH=\frac{1}{2}×4×1=2$；
3. 四边形$EFGH$的面积：$S_{四边形EFGH}=S_{矩形ABCD}-(S_{△ AEF}+S_{△ BEG}+S_{△ CGH}+S_{△ DFH})=24-(3+2+3+2)=14$。
4. 因为点$P$是直线$EF$，$GH$之间的任意一点，所以$△ PEF$和$△ PGH$的面积和等于四边形$EFGH$面积的一半，即$\frac{1}{2}×14=7$。
【答案】
7
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题考查矩形的性质及图形面积的计算，通过割补法将不规则四边形面积转化为矩形与周围三角形面积的差，再根据点$P$的位置特征得出两个三角形面积和与四边形面积的关系，需要具备一定的转化思想。
【难度系数】
0.6

3. 如图，$AB = AC$，$AD = AE$，$DE = BC$，且$∠ BAD = ∠ CAE$。
(1) 求证：$△ ABE≌△ ACD$。
(2) 判断四边形$BCDE$的形状，并说明理由。

(1)由∠BAD=∠CAE,得∠BAE=∠CAD,而AB = AC,AE = AD,则△ABE≌△ACD (2)矩形

【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAD = ∠ CAE$，
∴ $∠ BAD - ∠ BAC = ∠ CAE - ∠ BAC$，即$∠ BAE = ∠ CAD$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠ BAE = ∠ CAD \\AE = AD\end{array} $
∴ $△ ABE≌△ ACD$（SAS）。
(2) 四边形$BCDE$是矩形，理由如下：
∵ $△ ABE≌△ ACD$，
∴ $BE = CD$。
又
∵ $DE = BC$，
∴ 四边形$BCDE$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。
由$△ ABE≌△ ACD$得$∠ ABE = ∠ ACD$，
∵ $AB = AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $∠ ABE + ∠ ABC = ∠ ACD + ∠ ACB$，即$∠ EBC = ∠ DCB$。
∵ 四边形$BCDE$是平行四边形，
∴ $∠ EBC + ∠ DCB = 180°$，
∴ $∠ EBC = ∠ DCB = 90°$，
∴ 平行四边形$BCDE$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
【答案】
(1) 证明见上述解析，$\boldsymbol{△ABE≌△ACD}$；
(2) $\boldsymbol{四边形BCDE是矩形}$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（SAS）
2. 矩形的判定
3. 平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查全等三角形的判定与性质、特殊四边形的判定，需通过角的等量代换推导全等条件，再利用全等结论结合边的关系判定平行四边形，进而根据角的特征判定矩形，对基础定理的运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6