登录
活动一:画一画 说一说
如图8-9,BO是等腰三角形ABC的底边AC的中线,画出△ABC关于点O的中心对称图形(记点B的对称点为D),并回答问题:
(1)所得四边形ABCD的四条边具有怎样的关系?
(2)所得四边形ABCD的对角线有什么特点?
如图8-9,BO是等腰三角形ABC的底边AC的中线,画出△ABC关于点O的中心对称图形(记点B的对称点为D),并回答问题:
(1)所得四边形ABCD的四条边具有怎样的关系?
(2)所得四边形ABCD的对角线有什么特点?
答案
[问题导学] 活动一:(1)四边相等 (2)对角线互相垂直平分
解析
【解析】
1. 作图步骤：连接BO并延长至点D，使OD=BO，连接AD、CD，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△ADC。
2. 问题分析：
(1) 因为△ABC是等腰三角形，所以AB=BC；根据中心对称的性质，AB=CD，BC=AD，因此AB=BC=CD=DA，即四边形ABCD的四条边相等。
(2) 由中心对称的性质可知，O是AC和BD的中点，故对角线AC与BD互相平分；又因为△ABC是等腰三角形，BO是底边AC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，BO⊥AC，即AC⊥BD，所以四边形ABCD的对角线互相垂直平分。
【答案】
(1) 四边形ABCD的四条边相等；
(2) 四边形ABCD的对角线互相垂直平分。
【知识点】
中心对称的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题结合中心对称变换与等腰三角形的性质，考查特殊四边形的边和对角线的特征，需要掌握中心对称的作图方法、中心对称的性质以及等腰三角形的三线合一性质，有助于建立图形变换与特殊四边形的联系。
【难度系数】
0.8
1. 作图步骤：连接BO并延长至点D，使OD=BO，连接AD、CD，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△ADC。
2. 问题分析：
(1) 因为△ABC是等腰三角形，所以AB=BC；根据中心对称的性质，AB=CD，BC=AD，因此AB=BC=CD=DA，即四边形ABCD的四条边相等。
(2) 由中心对称的性质可知，O是AC和BD的中点，故对角线AC与BD互相平分；又因为△ABC是等腰三角形，BO是底边AC的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，BO⊥AC，即AC⊥BD，所以四边形ABCD的对角线互相垂直平分。
【答案】
(1) 四边形ABCD的四条边相等；
(2) 四边形ABCD的对角线互相垂直平分。
【知识点】
中心对称的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题结合中心对称变换与等腰三角形的性质，考查特殊四边形的边和对角线的特征，需要掌握中心对称的作图方法、中心对称的性质以及等腰三角形的三线合一性质，有助于建立图形变换与特殊四边形的联系。
【难度系数】
0.8
活动二:想一想 写一写
1. 如图8-10,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O.
(1)在图8-10中,哪些线段相等?哪些角相等?
(2)菱形的对角线有什么特殊的位置关系?你能说明理由吗?
2. 菱形的特殊性质有哪些?
1. 如图8-10,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O.
(1)在图8-10中,哪些线段相等?哪些角相等?
(2)菱形的对角线有什么特殊的位置关系?你能说明理由吗?
2. 菱形的特殊性质有哪些?
答案
[问题导学] 活动二:1.(1)略 (2)互相垂直平分，由等腰三角形的性质可得
解析
【解析】
1. (1) 相等的线段：$AB=BC=CD=DA$，$AO=OC$，$BO=OD$；
相等的角：$∠ DAB=∠ BCD$，$∠ ABC=∠ CDA$，$∠ DAC=∠ BAC=∠ DCA=∠ BCA$，$∠ ABD=∠ CBD=∠ ADB=∠ CDB$，$∠ AOD=∠ AOB=∠ COD=∠ COB=90°$。
(2) 菱形的对角线互相垂直且平分。
理由：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=AD$，且菱形是平行四边形，对角线互相平分，即$AO$是等腰$△ ABD$的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AO⊥ BD$，即$AC⊥ BD$，同时$AO=OC$，$BO=OD$，故菱形的对角线互相垂直平分。
2. 菱形的特殊性质：
① 四条边都相等；
② 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
③ 是轴对称图形，有2条对称轴（两条对角线所在直线）。
【答案】
1. (1) 相等线段：$AB=BC=CD=DA$，$AO=OC$，$BO=OD$；相等角：$∠ DAB=∠ BCD$，$∠ ABC=∠ CDA$，$∠ DAC=∠ BAC=∠ DCA=∠ BCA$，$∠ ABD=∠ CBD=∠ ADB=∠ CDB$，$∠ AOD=∠ AOB=∠ COD=∠ COB$。
(2) 菱形的对角线互相垂直且平分；理由：菱形是特殊的平行四边形，对角线互相平分，又菱形邻边相等，由等腰三角形三线合一可得对角线互相垂直。
2. 菱形的特殊性质：四条边都相等；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；是轴对称图形。
【知识点】
菱形的性质，等腰三角形三线合一，平行四边形性质
【点评】
本题围绕菱形的性质展开，通过观察图形、结合等腰三角形性质推导，全面考查菱形的线段、角及对角线的特征，是菱形性质的基础入门题型，帮助夯实菱形性质的知识基础。
【难度系数】
0.7
1. (1) 相等的线段：$AB=BC=CD=DA$，$AO=OC$，$BO=OD$；
相等的角：$∠ DAB=∠ BCD$，$∠ ABC=∠ CDA$，$∠ DAC=∠ BAC=∠ DCA=∠ BCA$，$∠ ABD=∠ CBD=∠ ADB=∠ CDB$，$∠ AOD=∠ AOB=∠ COD=∠ COB=90°$。
(2) 菱形的对角线互相垂直且平分。
理由：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=AD$，且菱形是平行四边形，对角线互相平分，即$AO$是等腰$△ ABD$的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AO⊥ BD$，即$AC⊥ BD$，同时$AO=OC$，$BO=OD$，故菱形的对角线互相垂直平分。
2. 菱形的特殊性质：
① 四条边都相等；
② 对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
③ 是轴对称图形，有2条对称轴（两条对角线所在直线）。
【答案】
1. (1) 相等线段：$AB=BC=CD=DA$，$AO=OC$，$BO=OD$；相等角：$∠ DAB=∠ BCD$，$∠ ABC=∠ CDA$，$∠ DAC=∠ BAC=∠ DCA=∠ BCA$，$∠ ABD=∠ CBD=∠ ADB=∠ CDB$，$∠ AOD=∠ AOB=∠ COD=∠ COB$。
(2) 菱形的对角线互相垂直且平分；理由：菱形是特殊的平行四边形，对角线互相平分，又菱形邻边相等，由等腰三角形三线合一可得对角线互相垂直。
2. 菱形的特殊性质：四条边都相等；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；是轴对称图形。
【知识点】
菱形的性质，等腰三角形三线合一，平行四边形性质
【点评】
本题围绕菱形的性质展开，通过观察图形、结合等腰三角形性质推导，全面考查菱形的线段、角及对角线的特征，是菱形性质的基础入门题型，帮助夯实菱形性质的知识基础。
【难度系数】
0.7
活动三:算一算 想一想
1. 如图8-10,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O.
(1)菱形ABCD被两条对角线分成几个直角三角形?你能求出这些直角三角形的面积吗?
(2)如何求菱形ABCD的面积?
2. 如图8-11,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,且AC=a,BD=b,求四边形ABCD的面积.由此你能得到怎样的结论?
1. 如图8-10,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O.
(1)菱形ABCD被两条对角线分成几个直角三角形?你能求出这些直角三角形的面积吗?
(2)如何求菱形ABCD的面积?
2. 如图8-11,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,且AC=a,BD=b,求四边形ABCD的面积.由此你能得到怎样的结论?
答案
1. (1) 4 个 (2) $ S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}AC · BD $ 2. $ S_{四边形ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = \frac{1}{2}AO · BD + \frac{1}{2}OC · BD = \frac{1}{2}(AO + OC) · BD = \frac{1}{2}AC · BD $,对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半
解析
【解析】
1. (1) 因为菱形的对角线互相垂直，所以$AC⊥BD$，菱形$ABCD$被两条对角线分成4个直角三角形，分别是$Rt△AOD$、$Rt△COD$、$Rt△BOC$、$Rt△AOB$。若已知$AO$、$BO$、$CO$、$DO$的长度，每个直角三角形的面积可按直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×直角边×直角边$计算，如$S_{△AOD}=\frac{1}{2}AO·DO$，其余同理。
(2) 菱形$ABCD$的面积等于4个直角三角形的面积之和，即$S_{菱形ABCD}=S_{△AOD}+S_{△COD}+S_{△BOC}+S_{△AOB}$，代入面积公式整理可得$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD$。
2. 四边形$ABCD$的面积可拆分为$△ ABD$和$△ BCD$的面积之和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}AO·BD+\frac{1}{2}OC·BD=\frac{1}{2}(AO+OC)·BD=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}ab$。
结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半。
【答案】
1. (1) 4个，若已知对角线被分后的线段长度，可利用直角三角形面积公式求出每个直角三角形的面积；(2) $S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD$
2. $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}ab$，结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半
【知识点】
菱形的性质、四边形面积计算、对角线垂直的四边形面积公式
【点评】
本题通过菱形和一般对角线垂直的四边形，推导对角线垂直的四边形面积公式，体现了割补法求面积的思想，帮助理解特殊与一般图形面积计算的联系。
【难度系数】
0.6
1. (1) 因为菱形的对角线互相垂直，所以$AC⊥BD$，菱形$ABCD$被两条对角线分成4个直角三角形，分别是$Rt△AOD$、$Rt△COD$、$Rt△BOC$、$Rt△AOB$。若已知$AO$、$BO$、$CO$、$DO$的长度，每个直角三角形的面积可按直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×直角边×直角边$计算，如$S_{△AOD}=\frac{1}{2}AO·DO$，其余同理。
(2) 菱形$ABCD$的面积等于4个直角三角形的面积之和，即$S_{菱形ABCD}=S_{△AOD}+S_{△COD}+S_{△BOC}+S_{△AOB}$，代入面积公式整理可得$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD$。
2. 四边形$ABCD$的面积可拆分为$△ ABD$和$△ BCD$的面积之和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}AO·BD+\frac{1}{2}OC·BD=\frac{1}{2}(AO+OC)·BD=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}ab$。
结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半。
【答案】
1. (1) 4个，若已知对角线被分后的线段长度，可利用直角三角形面积公式求出每个直角三角形的面积；(2) $S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD$
2. $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}ab$，结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半
【知识点】
菱形的性质、四边形面积计算、对角线垂直的四边形面积公式
【点评】
本题通过菱形和一般对角线垂直的四边形，推导对角线垂直的四边形面积公式，体现了割补法求面积的思想，帮助理解特殊与一般图形面积计算的联系。
【难度系数】
0.6
