5. 如图6-2-12，在 $ \Box ABCD $中，对角线AC，BD相交于点O， $ OA=5 $ cm，E，F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在 $ \Box ABCD $外），且 $ DE=\frac{1}{2} OD $ ， $ BF=\frac{1}{2} OB $ ，连接AE，CE，CF，AF。
(1) 求证：四边形 AFCE为平行四边形。
(2) 若 $ D E=\frac{1}{3} O D $ ， $ B F=\frac{1}{3} O B $ ，上述结论还成立吗？若 $ D E=\frac{1}{n} O D $ ， $ B F=\frac{1}{n} O B $呢？
(3) 若 CA 平分 $ ∠ B C D $ $ ∠ A E C=6 0° $ ，求四边形 AECF的周长。

5. (1)证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore OA=OC$，$OB=OD$。
$\because DE=\frac{1}{2}OD$，$BF=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore DE=BF$。$\therefore OE=OF$。
$\therefore$四边形$AFCE$为平行四边形。
(2)解：$\because DE=\frac{1}{3}OD$，$BF=\frac{1}{3}OB$，
$\therefore DE=BF$。$\therefore OE=OF$。
$\therefore$四边形$AFCE$为平行四边形。
$\therefore$上述结论成立。
同理，若$DE=\frac{1}{n}OD$，$BF=\frac{1}{n}OB$，则四边形$AFCE$为平行四边形。
(3)解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$OA=OC$。$\therefore ∠ DAC=∠ BCA$。
$\because CA$平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCA=∠ DCA$。$\therefore ∠ DCA=∠ DAC$。
$\therefore AD=CD$。
$\because OA=OC$，$\therefore OE⊥ AC$。
$\therefore OE$垂直平分$AC$。$\therefore AE=CE$。
$\because ∠ AEC=60°$，$\therefore △ ACE$是等边三角形。
$\therefore AE=CE=AC=2OA=10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore C_{\mathrm{四边形}AECF}=2(AE + CE)=2×(10 + 10)=40(\mathrm{cm})$。

1. 如图6-2-13，在 $ \Box A B C D $中，将 $ △ A B E $和 $ △ C D F $分别沿着BE， DF折叠得到 $ △ G B E $和 $ △ H D F $，点G，H恰好落在对角线BD上，且 $ \frac{S_{△ E G H}}{S_{△ E B G}}=\frac{1}{3} $，连接 EH。若 EH $ \bot $ BD，则 $ \frac{A B}{B C}= $ ___。

1. $\frac{3\sqrt{5}}{10}$

2. 在 Rt $ △ A B C $中， $ ∠ A C B=9 0° $ $ ∠ A=3 0° $ $ A B=2 0 $ D是线段
AB上的动点，DE//BC交AC于点E，DF $ \bot $ AB分别交射线BC，射线AC于点F，G连接EF。
(1) 如图6-2-14 $ \textcircled{1} $ ，连接CD，若点G恰好平分DF，判断四边形DEFC的形状并证明；

(2) 如图6-2-14 $ \textcircled{2} $ ，设 AD的长为 x ， $ △ DEF $的面积为 y，求出 y关于 x的函数表达式；
(3) 当 EF=DB时，求 AD的长。

2. 解：(1)四边形$DEFC$是平行四边形。
证明：$\because$点$G$恰好平分$DF$，
$\therefore DG=FG$。
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ CFG=∠ EDG$。
在$△ CFG$和$△ EDG$中，
$\because ∠ CFG=∠ EDG$，$FG=DG$，$∠ CGF=∠ EGD$，
$\therefore △ CFG≌△ EDG(\mathrm{ASA})$。$\therefore EG=CG$。
$\therefore$四边形$DEFC$是平行四边形。
(2)$\because ∠ ACB=90°$，$DE// BC$，
$\therefore ∠ AED=∠ ACB=90°$。
$\because ∠ A=30°$，
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10$，$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{20^{2}-10^{2}}=10\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理，得$AE=\sqrt{AD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{x^{2}-(\frac{1}{2}x)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
$\therefore CE=AC - AE=10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
$\therefore y=S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE· CE=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x×(10\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)=-\frac{\sqrt{3}}{8}x^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}x(0＜x＜20)$。
(3)①当点$F$在线段$BC$的延长线上时，$EF=DB$，梯形$DBFE$为等腰梯形，如答图6 - 2 - 4①所示。

$\because ∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$。$\therefore ∠ BFE=∠ B=60°$。
$\because DF⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDF=90°$。$\therefore ∠ BFD=90°-∠ B=30°$。
$\therefore ∠ DFE=∠ BFE-∠ BFD=60°-30°=30°$。
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ EDF=∠ BFD=30°$。
$\therefore ∠ EDF=∠ DFE=30°$。
$\therefore DE=EF$。$\therefore DE=DB$。
由(2)可知，当$AD=x$时，$DE=\frac{1}{2}x$，$BD=20 - x$，
$\therefore \frac{1}{2}x=20 - x$，解得$x=\frac{40}{3}$，
$\therefore AD$的长为$\frac{40}{3}$。
②当点$F$在线段$BC$上时，过点$D$作$DH⊥ BC$于点$H$，如答图6 - 2 - 4②所示。
$\because DE// BC$，$DH⊥ BC$，$AC⊥ BC$，
$\therefore DH=CE$。
$\because EF=DB$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDH≌\mathrm{Rt}△ FEC(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ B=∠ EFC$。$\therefore BD// EF$。
$\therefore$四边形$BDEF$为平行四边形。
由(2)知$BF=DE=\frac{1}{2}x$。
$\because DF⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDF=90°$。
$\therefore ∠ BFD=90°-∠ B=30°$。
$\therefore BD=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x$。
$\therefore \frac{1}{4}x=20 - x$，解得$x=16$。
$\therefore AD$的长为$16$。
综上所述，$AD$的长为$\frac{40}{3}$或$16$。