15. (★★★)有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得图①,将A,B并列放置后构造新的正方形得图②。若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B的面积之和为。

15. 13

16. (★★★)图①是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形。

(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积。
方法1:
;
方法2:
。
(2)观察图②,请写出代数式$(m+n)^{2},$$(m-n)^{2},mn$之间的等量关系:
。
(3)解决以下问题:
①已知$a-b=5,ab=-6$,求$(a+b)^{2}$的值;
②已知$a+\frac{1}{a}=3$,求$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$的值。

16. (1)$(m-n)^{2}$ $(m+n)^{2}-4mn$
(2)$(m-n)^{2}=(m+n)^{2}-4mn$
(3)①因为$a-b=5$,$ab=-6$,
所以$(a+b)^{2}=(a-b)^{2}+4ab=5^{2}+4×(-6)=25-24=1$。
②因为$a+\frac{1}{a}=3$,
所以$(a+\frac{1}{a})^{2}=a^{2}+2· a· \frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}=a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=9$。
所以$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7$。