8. 如图,在正方形$ABCD$中,$BE = 3CE$,$CF = DF$.
求证:(1)$AE^{2} = AF^{2} + EF^{2}$;(2)$\triangle AEF \backsim \triangle AFD$.

证明​​：(1)​​设正方形边长为​​4x ，​​
则​​CF= DF= 2x，​​​​BE= 3x， CE= x​​
​​AE²=AB²+BE²=16x²+ 9x²= 25x²​​
​​AF²+ EF²= AD²+DF²+FC²+EC²=16x²+4x²+4x²+x²= 25x²​​
所以​​AE²= AF²+ EF²​​
​​(2)​​由​​(1)AE= 5x，$ AF= 2\sqrt{5}x ，$$ EF=\sqrt{5}x​​$
​​AD= 4x，​​​​DF= 2x​​
所以$​​\frac {AE}{AF}=\frac {AF}{AD}=\frac {EF}{DF}=\frac {\sqrt{5}}{2}​​$
所以​​△AEF∽△AFD​​

例1 已知:如图6.4.8,$DE// BC$,$EF// DC$.
求证:$AD^{2}=AF· AB$.

​​证明：因为DE//BC​​
​​所以$\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}​​$
​​因为EF//DC​​
​​所以$\frac {AF}{AD}=\frac {AE}{AC}​​$
​​所以$\frac {AD}{AB}=\frac {AF}{AD}​​$
​​所以AD²= AF×AB​
​

例2 如图6.4.9,已知E是边长为4的正方形ABCD内一点,且$DE=3$,$DF⊥ DE$,垂足为D.在射线DF上是否存在这样的点M,使得以C、D、M为顶点的三角形与$\triangle ADE$相似?若存在,请求出满足条件的DM的长;若不存在,请说明理由.

​​解：存在​​
​​因为正方形ABCD的边长为$4\ \mathrm {cm}​​$
​​所以$AD=CD=4\ \mathrm {cm}，$∠ADC= 90°​​
​​因为DF⊥DE​​
​​所以∠EDF=90°​​
​​所以∠ADE=∠CDF​​
​​①当$\frac {AD}{CD}=\frac {DE}{DM}$时， △ADE∽△CDM​​
​​因为$AD=CD=4\ \mathrm {cm}，$$DE=3\ \mathrm {cm}​​$
​​所以$\frac {4}{4}=\frac {3}{DM}​​$
​​所以$DM= 3\ \mathrm {cm}​​$
​​②当$\frac {AD}{DM}=\frac {DE}{CD}$时，△ADE∽△CDM​​
​​因为$AD=CD=4\ \mathrm {cm}，$$DE= 3\ \mathrm {cm}​​$
​​所以$\frac {4}{DM}=\frac {3}{4}​​$
​​所以$DM =\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}​​$
​​综上所述，存在点M使得以C、D、M为顶点的三角形与△ADE​​
​​相似，此时DM的长为$3\ \mathrm {cm}$或$\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}​​.$