1. 已知:如图,$DE// AB$,$\frac{OA}{OD}=\frac{OC}{OF}$.
求证:$EF// BC$.

​​证明： 因为DE//AB​​
​​所以$\frac {OA}{OD}=\frac {OB}{OE}​​$
​​因为$\frac {OA}{OD}=\frac {OC}{OF}​​$
​​所以$\frac {OB}{OE}=\frac {OC}{OF}​​$
​​因为∠BOC=∠EOF​​
​​所以△BOC∽△EOF​​
​​所以∠OBC=∠OEF​​
​​所以EF//BC​​

2. 已知:如图,在$\triangle ABC$中,$DE// BC$,$EF// AB$.
求证:$\frac{AD}{DB}=\frac{BF}{FC}$.

​​证明：因为DE∥BC​​
​​所以$\frac {AD}{DB}=\frac {AE}{EC}​​$
​​因为EF∥AB​​
​​所以$\frac {BF}{FC}=\frac {AE}{EC}​​$
​​所以$\frac {AD}{DB}=\frac {BF}{FC}​​$

3. 如图,$\angle ABC=\angle CDB=90^{\circ}$,$AC=a$,$BC=b$.问:BD与a、b之间满足怎样的关系时,$\triangle ABC\backsim\triangle CDB$?

​​解：当△ABC∽△CDB时，有$\frac {AC}{BC}=\frac {BC}{BD}​​$
​​因为AC=a，BC=b​​
​​所以$\frac {a}{b}=\frac {b}{BD}​​$
​​所以$BD=\frac {b²}{a}​​$
​​所以当$BD=\frac {b²}{a}$时，△ABC∽△CDB​​

4. 已知:如图,在$□ ABCD$中,E是边AB的延长线上的一点,DE分别交AC、BC于点G、F.
求证:DG是GE、GF的比例中项.

5. 如图,正方形ABCD的边长为4,M、N分别是边BC、CD上的动点,始终保持$MN⊥ AM$.
(1) 求证:$\triangle ABM\backsim\triangle MCN$.
(2) 设$BM=x$,当x为何值时,$\triangle ABM\backsim\triangle AMN$?

​​证明：因为四边形ABCD是平行四边形​​
​​所以AD//BC ， AB//CD​​
​​所以$\frac {DG}{GF}=\frac {AG}{CG}，$$\frac {GE}{DG}=\frac {AG}{CG}​​$
​​所以$\frac {DG}{GF}=\frac {GE}{DG}​​$
​​所以DG²=GE×GF ，​​
​​即DG是GE、GF的比例中项​
​
​​证明： (1)因为MN⊥AM​​
​​所以∠AMB= 90°-∠NMC=∠MNC，​​
​​又∠B=∠C = 90°​​
​​所以△ABM∽△MCN​​
​​(2)由△ABM∽△MCN得​​
$​​\frac {AM}{MN}=\frac {AB}{MC}=\frac {4}{4-x}​​$
​​因为∠ABM=∠AMN=90°​​
​​当$\frac {AB}{BM}=\frac {AM}{MN}$时，△ABM∽△AMN​​
​​即$\frac {4}{x}=\frac {4}{4-x} ，$ ​​
​​解得x=2​​