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活动一：想一想 说一说
1. 如图 8 - 12，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC = CD = DA$。
(1) 四边形 $ABCD$ 是平行四边形吗？为什么？
(2) 四边形 $ABCD$ 是菱形吗？为什么？
2. 如图 8 - 13，在$□ ABCD$中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$OA = 3$，$OB = 4$，$AB = 5$。
(1) $AC$，$BD$ 互相垂直吗？为什么？
(2) 四边形 $ABCD$ 是菱形吗？为什么？
1. 如图 8 - 12，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC = CD = DA$。
(1) 四边形 $ABCD$ 是平行四边形吗？为什么？
(2) 四边形 $ABCD$ 是菱形吗？为什么？
2. 如图 8 - 13，在$□ ABCD$中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$OA = 3$，$OB = 4$，$AB = 5$。
(1) $AC$，$BD$ 互相垂直吗？为什么？
(2) 四边形 $ABCD$ 是菱形吗？为什么？
答案
活动一:1. (1) 是,两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (2) 是,一组邻边相等的平行四边形是菱形 2. (1) 垂直,由勾股定理可知 $∠ AOB = 90^{\circ}$ (2) 是,可证 $△ AOB$ 与 $△ AOD$ 全等,得 $AB = AD$,再由定义可得
解析
【解析】
1. (1) 四边形$ABCD$是平行四边形。
理由：已知$AB = BC = CD = DA$，则$AB = CD$，$AD = BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABCD$是平行四边形。
(2) 四边形$ABCD$是菱形。
理由：由(1)知四边形$ABCD$是平行四边形，又$AB = BC$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得四边形$ABCD$是菱形。
2. (1) $AC$与$BD$互相垂直。
理由：已知$OA = 3$，$OB = 4$，$AB = 5$，因为$3^2 + 4^2 = 5^2$，即$OA^2 + OB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$∠ AOB = 90°$，所以$AC ⊥ BD$。
(2) 四边形$ABCD$是菱形。
理由：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA=OC$，$OB=OD$，又$AC ⊥ BD$，在$△ AOB$和$△ AOD$中，$\begin{cases}OA=OA\\∠ AOB=∠ AOD\\OB=OD\end{cases}$，所以$△ AOB ≌ △ AOD$（SAS），得$AB=AD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
1. (1) 是，理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(2) 是，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2. (1) 垂直，理由：由勾股定理逆定理得$∠ AOB = 90°$；
(2) 是，理由：可证$△ AOB ≌ △ AOD$得$AB=AD$，一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题考查平行四边形、菱形的判定定理及勾股定理逆定理的应用，需熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，理清判定条件的先后顺序。
【难度系数】
0.6
1. (1) 四边形$ABCD$是平行四边形。
理由：已知$AB = BC = CD = DA$，则$AB = CD$，$AD = BC$，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABCD$是平行四边形。
(2) 四边形$ABCD$是菱形。
理由：由(1)知四边形$ABCD$是平行四边形，又$AB = BC$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得四边形$ABCD$是菱形。
2. (1) $AC$与$BD$互相垂直。
理由：已知$OA = 3$，$OB = 4$，$AB = 5$，因为$3^2 + 4^2 = 5^2$，即$OA^2 + OB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$∠ AOB = 90°$，所以$AC ⊥ BD$。
(2) 四边形$ABCD$是菱形。
理由：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OA=OC$，$OB=OD$，又$AC ⊥ BD$，在$△ AOB$和$△ AOD$中，$\begin{cases}OA=OA\\∠ AOB=∠ AOD\\OB=OD\end{cases}$，所以$△ AOB ≌ △ AOD$（SAS），得$AB=AD$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可得四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
1. (1) 是，理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(2) 是，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2. (1) 垂直，理由：由勾股定理逆定理得$∠ AOB = 90°$；
(2) 是，理由：可证$△ AOB ≌ △ AOD$得$AB=AD$，一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【知识点】
平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题考查平行四边形、菱形的判定定理及勾股定理逆定理的应用，需熟练掌握特殊四边形的判定逻辑，理清判定条件的先后顺序。
【难度系数】
0.6
活动二：填一填 写一写
1. (1) 课本第 80 页例 4 的解答思路是，先说明四边形 $AFCE$ 是
(2) 由 $EF$ 垂直平分 $AC$，你能得到
2. 如图 8 - 14，将矩形纸片 $ABCD$ 的边 $AB$，$CD$ 分别沿 $AF$，$CE$ 折叠，若 $B$，$D$ 两点恰好都落在对角线的交点 $O$ 上，请判断四边形 $AFCE$ 的形状并说明理由。
1. (1) 课本第 80 页例 4 的解答思路是，先说明四边形 $AFCE$ 是
平行
四边形，再加上条件$EF$ 垂直平分 $AC$
，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形
，得到四边形 $AFCE$ 是菱形。(2) 由 $EF$ 垂直平分 $AC$，你能得到
$AE = CE$
，只要再说明四边形 $AFCE$ 是平行四边形，就可以根据一组邻边相等的平行四边形是菱形
，得到四边形 $AFCE$ 是菱形。2. 如图 8 - 14，将矩形纸片 $ABCD$ 的边 $AB$，$CD$ 分别沿 $AF$，$CE$ 折叠，若 $B$，$D$ 两点恰好都落在对角线的交点 $O$ 上，请判断四边形 $AFCE$ 的形状并说明理由。
答案
活动二:1. (1) 平行 $EF$ 垂直平分 $AC$ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 (2) $AE = CE$ 一组邻边相等的平行四边形是菱形 2. 菱形 先证 $AF // CE$,再证四边形 $AFCE$ 是平行四边形,最后证 $AC ⊥ EF$,从而得到四边形 $AFCE$ 是菱形
解析
【解析】
1. (1) 课本例4的解答思路是先说明四边形$AFCE$是平行四边形，再加上条件$EF$垂直平分$AC$，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得到四边形$AFCE$是菱形。
(2) 由$EF$垂直平分$AC$，根据垂直平分线的性质能得到$AE = CE$（或$AO=CO$、$EO⊥ AC$等），只要再说明四边形$AFCE$是平行四边形，就可以根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到四边形$AFCE$是菱形。
2. 四边形$AFCE$是菱形，理由如下：
先证明$AF// CE$，由此可得四边形$AFCE$是平行四边形，再结合折叠的性质证明$AC⊥ EF$，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定四边形$AFCE$是菱形。
【答案】
1. (1) 平行；$EF$垂直平分$AC$；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(2) $AE = CE$（答案不唯一）；一组邻边相等的平行四边形是菱形
2. 四边形$AFCE$是菱形，理由：先证$AF// CE$，得四边形$AFCE$是平行四边形，再证$AC⊥ EF$，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形$AFCE$是菱形。
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、垂直平分线的性质
【点评】
本题考查菱形的判定定理的应用，需结合平行四边形的判定、垂直平分线的性质及矩形的性质进行逻辑推理，侧重对定理掌握程度和推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
1. (1) 课本例4的解答思路是先说明四边形$AFCE$是平行四边形，再加上条件$EF$垂直平分$AC$，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得到四边形$AFCE$是菱形。
(2) 由$EF$垂直平分$AC$，根据垂直平分线的性质能得到$AE = CE$（或$AO=CO$、$EO⊥ AC$等），只要再说明四边形$AFCE$是平行四边形，就可以根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到四边形$AFCE$是菱形。
2. 四边形$AFCE$是菱形，理由如下：
先证明$AF// CE$，由此可得四边形$AFCE$是平行四边形，再结合折叠的性质证明$AC⊥ EF$，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定四边形$AFCE$是菱形。
【答案】
1. (1) 平行；$EF$垂直平分$AC$；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(2) $AE = CE$（答案不唯一）；一组邻边相等的平行四边形是菱形
2. 四边形$AFCE$是菱形，理由：先证$AF// CE$，得四边形$AFCE$是平行四边形，再证$AC⊥ EF$，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形$AFCE$是菱形。
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的判定、垂直平分线的性质
【点评】
本题考查菱形的判定定理的应用，需结合平行四边形的判定、垂直平分线的性质及矩形的性质进行逻辑推理，侧重对定理掌握程度和推理能力的考查。
【难度系数】
0.6
1. 下列条件中，能判定四边形是菱形的是(
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直平分
D
)A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直平分
答案
D
解析
【解析】
根据菱形的判定定理，对各选项逐一分析：
A. 仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如筝形等；
B. 对角线相等的四边形不一定是菱形，如矩形等；
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是菱形；
D. 对角线互相垂直平分，符合菱形的判定定理，能判定该四边形是菱形。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、四边形对角线性质
【点评】
本题考查菱形的判定定理，需准确区分不同四边形的对角线性质，避免混淆判定条件，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
根据菱形的判定定理，对各选项逐一分析：
A. 仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如筝形等；
B. 对角线相等的四边形不一定是菱形，如矩形等；
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是菱形；
D. 对角线互相垂直平分，符合菱形的判定定理，能判定该四边形是菱形。
【答案】
D
【知识点】
菱形的判定、四边形对角线性质
【点评】
本题考查菱形的判定定理，需准确区分不同四边形的对角线性质，避免混淆判定条件，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
