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2. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AC = 8$，$BD = 6$，过点 $O$ 作 $OH⊥ AB$，垂足为 $H$，则点 $O$ 到边 $AB$ 的距离 $OH$ 等于(
A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
D
)A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{24}{5}$
D.$\frac{12}{5}$
答案
D
解析
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是菱形，$AC=8$，$BD=6$，
∴ $AC⊥BD$，$AO=\frac{1}{2}AC=4$，$BO=\frac{1}{2}BD=3$。
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ $OH⊥AB$，
∴ $S_{△AOB}=\frac{1}{2}AO·BO=\frac{1}{2}AB·OH$，
即$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×OH$，
解得$OH=\frac{12}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、面积法求高
【点评】
本题考查菱形性质与勾股定理的综合应用，利用面积法求点到直线的距离是解题关键，需熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质。
【难度系数】
0.6
∵ 四边形$ABCD$是菱形，$AC=8$，$BD=6$，
∴ $AC⊥BD$，$AO=\frac{1}{2}AC=4$，$BO=\frac{1}{2}BD=3$。
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ $OH⊥AB$，
∴ $S_{△AOB}=\frac{1}{2}AO·BO=\frac{1}{2}AB·OH$，
即$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×OH$，
解得$OH=\frac{12}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、面积法求高
【点评】
本题考查菱形性质与勾股定理的综合应用，利用面积法求点到直线的距离是解题关键，需熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质。
【难度系数】
0.6
3. 如图，菱形 $ABCD$ 的两条对角线的长分别为 $6$ 和 $8$，$P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点，$M$，$N$ 分别是边 $AB$，$BC$ 的中点，则 $PM + PN$ 的最小值是
5
。答案
5
解析
【解析】
1. 作点M关于AC的对称点M'，由菱形的对称性可知，M'为AD的中点。
2. 连接M'N，根据对称性质得PM=PM'，则PM+PN=PM'+PN，当P为M'N与AC的交点时，PM+PN取得最小值，即M'N的长度。
3. 菱形ABCD中，对角线长分别为6和8，由菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理可求得边长$AB=\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=5$。
4. 因为M'是AD中点，N是BC中点，结合菱形对边平行且相等的性质，可得M'N=AB=5，即PM+PN的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题运用对称法将最短路径问题转化为线段长度问题，结合菱形性质与勾股定理求解，体现了转化思想的重要性，需熟练掌握菱形的性质及最短路径的对称解法。
【难度系数】
0.6
1. 作点M关于AC的对称点M'，由菱形的对称性可知，M'为AD的中点。
2. 连接M'N，根据对称性质得PM=PM'，则PM+PN=PM'+PN，当P为M'N与AC的交点时，PM+PN取得最小值，即M'N的长度。
3. 菱形ABCD中，对角线长分别为6和8，由菱形对角线互相垂直平分，根据勾股定理可求得边长$AB=\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=5$。
4. 因为M'是AD中点，N是BC中点，结合菱形对边平行且相等的性质，可得M'N=AB=5，即PM+PN的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题运用对称法将最短路径问题转化为线段长度问题，结合菱形性质与勾股定理求解，体现了转化思想的重要性，需熟练掌握菱形的性质及最短路径的对称解法。
【难度系数】
0.6
4. 画一个菱形，使它的对角线的长分别为 $2\ cm$、$4\ cm$，并求它的边长。
答案
图略,√5cm
解析
【解析】
1. 菱形的对角线互相垂直且平分，已知对角线长分别为2cm、4cm，则两条对角线的一半分别为1cm、2cm。
2. 菱形的边长与两条对角线的一半构成直角三角形，根据勾股定理，边长$a = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\ cm$。
（画图步骤：先画长4cm的线段，作其垂直平分线，在垂直平分线上截取到中点距离为1cm的两点，依次连接四个端点即可得到菱形，图略。）
【答案】
图略，边长为$\sqrt{5}\ cm$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题考查菱形对角线的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将求边长问题转化为解直角三角形问题。
【难度系数】
0.7
1. 菱形的对角线互相垂直且平分，已知对角线长分别为2cm、4cm，则两条对角线的一半分别为1cm、2cm。
2. 菱形的边长与两条对角线的一半构成直角三角形，根据勾股定理，边长$a = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\ cm$。
（画图步骤：先画长4cm的线段，作其垂直平分线，在垂直平分线上截取到中点距离为1cm的两点，依次连接四个端点即可得到菱形，图略。）
【答案】
图略，边长为$\sqrt{5}\ cm$
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题考查菱形对角线的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将求边长问题转化为解直角三角形问题。
【难度系数】
0.7
1. 如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形，延长 $AD$ 到点 $E$，使 $DE = AD$，连接 $EB$，$EC$，$DB$。下列条件中，不能判定四边形 $DBCE$ 为菱形的是(
A.$AB = BE$
B.$BE⊥ DC$
C.$∠ ABE = 90°$
D.$BE$ 平分 $∠ DBC$
A
)A.$AB = BE$
B.$BE⊥ DC$
C.$∠ ABE = 90°$
D.$BE$ 平分 $∠ DBC$
答案
A
解析
【解析】
首先，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
又
∵$DE=AD$，
∴$DE// BC$，$DE=BC$，
∴四边形$DBCE$是平行四边形。
选项A：$AB=BE$，由平行四边形性质知$AB=DC$，故$BE=DC$，这是平行四边形的固有性质，无法推出邻边相等或对角线垂直，不能判定四边形$DBCE$为菱形；
选项B：$BE⊥DC$，平行四边形中对角线互相垂直，可判定为菱形；
选项C：$∠ABE=90°$，在$Rt△ABE$中，$DE=AD$，则$BD$为斜边$AE$的中线，故$BD=DE$，平行四边形$DBCE$中邻边相等，可判定为菱形；
选项D：$BE$平分$∠DBC$，
∵$DE// BC$，
∴$∠DEB=∠EBC$，又$∠DBE=∠EBC$，
∴$∠DEB=∠DBE$，则$BD=DE$，平行四边形$DBCE$中邻边相等，可判定为菱形。
综上，不能判定的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，菱形的判定
【点评】
本题需结合平行四边形的性质，对每个选项逐一分析，利用菱形的判定定理判断，考查对特殊四边形判定定理的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.6
首先，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$。
又
∵$DE=AD$，
∴$DE// BC$，$DE=BC$，
∴四边形$DBCE$是平行四边形。
选项A：$AB=BE$，由平行四边形性质知$AB=DC$，故$BE=DC$，这是平行四边形的固有性质，无法推出邻边相等或对角线垂直，不能判定四边形$DBCE$为菱形；
选项B：$BE⊥DC$，平行四边形中对角线互相垂直，可判定为菱形；
选项C：$∠ABE=90°$，在$Rt△ABE$中，$DE=AD$，则$BD$为斜边$AE$的中线，故$BD=DE$，平行四边形$DBCE$中邻边相等，可判定为菱形；
选项D：$BE$平分$∠DBC$，
∵$DE// BC$，
∴$∠DEB=∠EBC$，又$∠DBE=∠EBC$，
∴$∠DEB=∠DBE$，则$BD=DE$，平行四边形$DBCE$中邻边相等，可判定为菱形。
综上，不能判定的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，菱形的判定
【点评】
本题需结合平行四边形的性质，对每个选项逐一分析，利用菱形的判定定理判断，考查对特殊四边形判定定理的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图，在$△ ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是角平分线，与 $BC$ 交于点 $D$，$E$ 为 $AD$ 延长线上的一点，$CF// BE$，交 $AD$ 于点 $F$，连接 $BF$，$CE$。四边形 $BECF$ 是菱形吗？请说明理由。
答案
是 根据等腰三角形的性质可得AD垂直平分BC,所以BF = CF,BE = CE. 再证△CDF≌△BDE,得到CF = BE,于是BF = CF = CE = BE,可得四边形 BECF 是菱形
解析
【解析】
因为$AB = AC$，$AD$是角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD$垂直平分$BC$，所以$BD=CD$，$∠ BDE=∠ CDF=90°$，且$BF = CF$，$BE = CE$。
因为$CF// BE$，所以$∠ FCD=∠ EBD$。
在$△ CDF$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}∠ FCD=∠ EBD \\CD=BD \\∠ CDF=∠ BDE\end{cases}$
所以$△ CDF≌△ BDE$（ASA），则$CF = BE$。
因此$BF = CF = CE = BE$，根据四条边相等的四边形是菱形，可得四边形$BECF$是菱形。
【答案】
四边形$BECF$是菱形，理由见上述解析。
【知识点】
等腰三角形三线合一，全等三角形的判定与性质，菱形的判定
【点评】
本题考查等腰三角形性质、全等三角形判定与性质及菱形判定定理的综合运用，需要熟练掌握相关定理，通过逐步推导得出结论，培养逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
因为$AB = AC$，$AD$是角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD$垂直平分$BC$，所以$BD=CD$，$∠ BDE=∠ CDF=90°$，且$BF = CF$，$BE = CE$。
因为$CF// BE$，所以$∠ FCD=∠ EBD$。
在$△ CDF$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}∠ FCD=∠ EBD \\CD=BD \\∠ CDF=∠ BDE\end{cases}$
所以$△ CDF≌△ BDE$（ASA），则$CF = BE$。
因此$BF = CF = CE = BE$，根据四条边相等的四边形是菱形，可得四边形$BECF$是菱形。
【答案】
四边形$BECF$是菱形，理由见上述解析。
【知识点】
等腰三角形三线合一，全等三角形的判定与性质，菱形的判定
【点评】
本题考查等腰三角形性质、全等三角形判定与性质及菱形判定定理的综合运用，需要熟练掌握相关定理，通过逐步推导得出结论，培养逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
3. 如图，把矩形纸片 $ABCD$ 沿 $EF$ 折叠后，点 $D$ 落在点 $H$ 处，点 $C$ 恰好落在边 $AD$ 上的点 $G$ 处，连接 $CF$。
(1) 判断四边形 $GECF$ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $CD = 4$，$GD = 8$，求四边形 $GECF$ 的面积。
(1) 判断四边形 $GECF$ 的形状，并说明理由；
(2) 若 $CD = 4$，$GD = 8$，求四边形 $GECF$ 的面积。
答案
3. (1) 四边形 $GECF$ 是菱形,证明略 (2) 20
解析
【解析】
(1) 四边形$GECF$是菱形，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ GFE=∠ FEC$。
由折叠的性质得：$∠ GEF=∠ FEC$，$GF=CF$，$EC=EG$，
∴ $∠ GFE=∠ GEF$，
∴ $GF=GE$，
∴ $GE=EC=CF=FG$，
∴ 四边形$GECF$是菱形。
(2) 设$GF=x$，则$CF=x$，$FD=GD-GF=8-x$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ FDC$中，由勾股定理得：
$CF^2=FD^2+CD^2$，即$x^2=(8-x)^2+4^2$，
解得$x=5$，即$GF=5$。
∵ 四边形$GECF$是菱形，且$CD⊥ AD$，
∴ 四边形$GECF$的面积$=GF× CD=5×4=20$。
【答案】
(1) 四边形$GECF$是菱形；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；菱形的判定与性质
【点评】
本题考查矩形、折叠的性质及菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，利用勾股定理建立方程求解是解题关键。
【难度系数】
0.6
(1) 四边形$GECF$是菱形，理由如下：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ GFE=∠ FEC$。
由折叠的性质得：$∠ GEF=∠ FEC$，$GF=CF$，$EC=EG$，
∴ $∠ GFE=∠ GEF$，
∴ $GF=GE$，
∴ $GE=EC=CF=FG$，
∴ 四边形$GECF$是菱形。
(2) 设$GF=x$，则$CF=x$，$FD=GD-GF=8-x$。
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ D=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ FDC$中，由勾股定理得：
$CF^2=FD^2+CD^2$，即$x^2=(8-x)^2+4^2$，
解得$x=5$，即$GF=5$。
∵ 四边形$GECF$是菱形，且$CD⊥ AD$，
∴ 四边形$GECF$的面积$=GF× CD=5×4=20$。
【答案】
(1) 四边形$GECF$是菱形；(2) $\boldsymbol{20}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；菱形的判定与性质
【点评】
本题考查矩形、折叠的性质及菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，利用勾股定理建立方程求解是解题关键。
【难度系数】
0.6
