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17. 如图，用一张如图①的正方形纸片、三张如图②的长方形纸片、两张如图③的正方形纸片拼成一个长方形（图④）.
（1）请用不同的式子表示图④的面积（写出两种即可）；
（2）根据（1）所得的结果，写出一个表示因式分解的等式.
（1）请用不同的式子表示图④的面积（写出两种即可）；
（2）根据（1）所得的结果，写出一个表示因式分解的等式.
答案
17. (1) ① $ S = x^2 + 3xy + 2y^2 $，② $ S = x(x + y) + 2y(x + y) $（答案不唯一） (2) $ x^2 + 3xy + 2y^2 = (x + y)(x + 2y) $
解析
【分析】
（1）要表示图④的面积，有两种思路：一是将组成图④的所有小图形的面积相加，分别计算正方形①、长方形②、正方形③的面积后求和；二是将图④看作整体长方形，确定长和宽后用长×宽计算，也可将其分成部分再求和。
（2）因式分解是把多项式化为整式乘积形式，根据（1）中同一面积的两个等式，将多项式形式转化为乘积形式即可得到因式分解等式。
【解析】
（1）方法一：计算各部分面积之和
图①的面积为$x^2$，三张图②的面积为$3xy$，两张图③的面积为$2y^2$，
因此图④的面积$S = x^2 + 3xy + 2y^2$；
方法二：将图④看作长为$x+2y$、宽为$x+y$的长方形，
根据长方形面积公式，可得面积$S=(x+y)(x+2y)$。
（2）由于（1）中两个式子表示同一图形的面积，故二者相等，由此得到因式分解的等式：
$x^2 + 3xy + 2y^2 = (x+y)(x+2y)$
【答案】
（1）$S=x^2+3xy+2y^2$；$S=(x+y)(x+2y)$（答案不唯一）
（2）$x^2 + 3xy + 2y^2 = (x+y)(x+2y)$
【知识点】
图形面积表示，因式分解，整式乘法
【点评】
本题通过图形拼接，将整式乘法与因式分解的互逆关系直观呈现，考查了图形面积的多种表示方法，以及对因式分解概念的理解与应用。
【难度系数】
0.7
（1）要表示图④的面积，有两种思路：一是将组成图④的所有小图形的面积相加，分别计算正方形①、长方形②、正方形③的面积后求和；二是将图④看作整体长方形，确定长和宽后用长×宽计算，也可将其分成部分再求和。
（2）因式分解是把多项式化为整式乘积形式，根据（1）中同一面积的两个等式，将多项式形式转化为乘积形式即可得到因式分解等式。
【解析】
（1）方法一：计算各部分面积之和
图①的面积为$x^2$，三张图②的面积为$3xy$，两张图③的面积为$2y^2$，
因此图④的面积$S = x^2 + 3xy + 2y^2$；
方法二：将图④看作长为$x+2y$、宽为$x+y$的长方形，
根据长方形面积公式，可得面积$S=(x+y)(x+2y)$。
（2）由于（1）中两个式子表示同一图形的面积，故二者相等，由此得到因式分解的等式：
$x^2 + 3xy + 2y^2 = (x+y)(x+2y)$
【答案】
（1）$S=x^2+3xy+2y^2$；$S=(x+y)(x+2y)$（答案不唯一）
（2）$x^2 + 3xy + 2y^2 = (x+y)(x+2y)$
【知识点】
图形面积表示，因式分解，整式乘法
【点评】
本题通过图形拼接，将整式乘法与因式分解的互逆关系直观呈现，考查了图形面积的多种表示方法，以及对因式分解概念的理解与应用。
【难度系数】
0.7
18. 小明猜想：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是$4$的倍数.请探究他的猜想是否正确.
(1)$(2 + 1)^2 - (2 - 1)^2 =$
(2)设两个正整数为$m$，$n$，证明小明的猜想正确；
(3)已知$(x + y)^2 = 100$，$xy = 24$，求$(x - y)^2$的值.
(1)$(2 + 1)^2 - (2 - 1)^2 =$
8
；(2)设两个正整数为$m$，$n$，证明小明的猜想正确；
(3)已知$(x + y)^2 = 100$，$xy = 24$，求$(x - y)^2$的值.
答案
18. (1) 8 (2) $ \because (m + n)^2 - (m - n)^2 = [(m + n) + (m - n)] · [(m + n) - (m - n)] = 2m × 2n = 4mn $，$ \because m $，$ n $ 是正整数，$ \therefore (m + n)^2 - (m - n)^2 $ 是 4 的倍数. 即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是 4 的倍数 (3) 根据 (2) 得 $ (x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy $. $ \because (x + y)^2 = 100 $，$ xy = 24 $，$ \therefore 100 - (x - y)^2 = 4 × 24 $. $ \therefore (x - y)^2 = 100 - 4 × 24 = 4 $
解析
【分析】
1. 第(1)问：直接按照有理数运算顺序，先计算括号内的加减法，再计算平方，最后做减法即可得到结果。
2. 第(2)问：要证明猜想，可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$(m+n)^2-(m-n)^2$展开化简，观察化简结果是否为4的倍数，结合m、n是正整数的条件即可完成证明。
3. 第(3)问：利用第(2)问得出的结论$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$，将已知的$(x+y)^2=100$和$xy=24$代入式子，通过简单代数运算即可求出$(x-y)^2$的值。
【解析】
(1) 计算如下：
$\begin{aligned}(2 + 1)^2 - (2 - 1)^2&=3^2 - 1^2\\&=9 - 1\\&=8\end{aligned}$
(2) 证明：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=m+n$，$b=m-n$，则：
$\begin{aligned}(m + n)^2 - (m - n)^2&=[(m + n) + (m - n)]·[(m + n) - (m - n)]\\&=(2m)·(2n)\\&=4mn\end{aligned}$
因为$m$，$n$是正整数，所以$mn$是正整数，$4mn$是4的倍数，即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数，小明的猜想正确。
(3) 由(2)的结论可知：
$(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$
将$(x + y)^2 = 100$，$xy = 24$代入上式得：
$100 - (x - y)^2 = 4×24$
计算得：
$100 - (x - y)^2 = 96$
移项可得：
$(x - y)^2 = 100 - 96 = 4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；
(2) 证明见上述解析；
(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
平方差公式、代数式求值、整式乘法
【点评】
本题从具体数值计算到一般化证明，再到公式的实际应用，层层递进，着重考查了平方差公式的理解与灵活运用，同时也考查了代数式求值的基本运算能力，引导学生建立从特殊到一般的数学思维方式。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：直接按照有理数运算顺序，先计算括号内的加减法，再计算平方，最后做减法即可得到结果。
2. 第(2)问：要证明猜想，可利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，将$(m+n)^2-(m-n)^2$展开化简，观察化简结果是否为4的倍数，结合m、n是正整数的条件即可完成证明。
3. 第(3)问：利用第(2)问得出的结论$(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$，将已知的$(x+y)^2=100$和$xy=24$代入式子，通过简单代数运算即可求出$(x-y)^2$的值。
【解析】
(1) 计算如下：
$\begin{aligned}(2 + 1)^2 - (2 - 1)^2&=3^2 - 1^2\\&=9 - 1\\&=8\end{aligned}$
(2) 证明：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=m+n$，$b=m-n$，则：
$\begin{aligned}(m + n)^2 - (m - n)^2&=[(m + n) + (m - n)]·[(m + n) - (m - n)]\\&=(2m)·(2n)\\&=4mn\end{aligned}$
因为$m$，$n$是正整数，所以$mn$是正整数，$4mn$是4的倍数，即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数，小明的猜想正确。
(3) 由(2)的结论可知：
$(x + y)^2 - (x - y)^2 = 4xy$
将$(x + y)^2 = 100$，$xy = 24$代入上式得：
$100 - (x - y)^2 = 4×24$
计算得：
$100 - (x - y)^2 = 96$
移项可得：
$(x - y)^2 = 100 - 96 = 4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；
(2) 证明见上述解析；
(3) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
平方差公式、代数式求值、整式乘法
【点评】
本题从具体数值计算到一般化证明，再到公式的实际应用，层层递进，着重考查了平方差公式的理解与灵活运用，同时也考查了代数式求值的基本运算能力，引导学生建立从特殊到一般的数学思维方式。
【难度系数】
0.7
