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19. 阅读材料.
如果一个正整数能表示成$a^2 - b^2$($a$，$b$是正整数)的形式，那么称这个正整数为“方差数”.小明采用举例的方式列出了一些“方差数”，想从中寻找规律：
$2^2 - 1^2 = 3$，
$3^2 - 1^2 = 8$，$3^2 - 2^2 = 5$，
$4^2 - 1^2 = 15$，$4^2 - 2^2 = 12$，$4^2 - 3^2 = 7$，
…
小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征：
设$m$为正整数且$m ≥ 1$，因为$(m + 1)^2 - m^2 = m^2 + 2m + 1 - m^2 = 2m + 1$，所以$2m + 1$这样的数都是“方差数”，即所有奇数($1$除外)都是“方差数”.
请你根据以上材料解决问题.
(1)填空：
① $16$
② 因为$2025 = ( )$
(2)已知$M = x^2 - y^2 + 8x - 6y + k$($x$，$y$是正整数且$x ≥ y$，$k$是常数)，请写出$k$的值，使得无论$x$，$y$取何值，$M$都是“方差数”，并说明理由.
(3)你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由.
(4)请写出$40$到$50$之间的所有“方差数”(不包含$40$和$50$).
如果一个正整数能表示成$a^2 - b^2$($a$，$b$是正整数)的形式，那么称这个正整数为“方差数”.小明采用举例的方式列出了一些“方差数”，想从中寻找规律：
$2^2 - 1^2 = 3$，
$3^2 - 1^2 = 8$，$3^2 - 2^2 = 5$，
$4^2 - 1^2 = 15$，$4^2 - 2^2 = 12$，$4^2 - 3^2 = 7$，
…
小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征：
设$m$为正整数且$m ≥ 1$，因为$(m + 1)^2 - m^2 = m^2 + 2m + 1 - m^2 = 2m + 1$，所以$2m + 1$这样的数都是“方差数”，即所有奇数($1$除外)都是“方差数”.
请你根据以上材料解决问题.
(1)填空：
① $16$
是
“方差数”(填“是”或“不是”)；② 因为$2025 = ( )$
1 013
$$)^2 - ( )1 012
$)^2$，所以$2025$是“方差数”.(2)已知$M = x^2 - y^2 + 8x - 6y + k$($x$，$y$是正整数且$x ≥ y$，$k$是常数)，请写出$k$的值，使得无论$x$，$y$取何值，$M$都是“方差数”，并说明理由.
(3)你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由.
(4)请写出$40$到$50$之间的所有“方差数”(不包含$40$和$50$).
答案
19. (1) ① 是；② 1 013，1 012 (2) 当 $ k = 7 $ 时，不论 $ x $，$ y $ 取何值，$ M $ 都是 “方差数”，理由如下：$ \because x $，$ y $ 是正整数且 $ x ≥ y $，$ \therefore x + 4 $ 和 $ y + 3 $ 都是正整数，且 $ x + 4 ＞ y + 3 $. $ \because M = x^2 - y^2 + 8x - 6y + k = (x^2 + 8x + 16) - (y^2 + 6y + 9) + k - 16 + 9 = (x + 4)^2 - (y + 3)^2 + k - 7 $，若无论 $ x $，$ y $ 取何值，$ M $ 都是 “方差数”，则 $ k - 7 = 0 $，即 $ k = 7 $. 此时，$ M = (x + 4)^2 - (y + 3)^2 $ 满足 “方差数” 的定义，$ \therefore $ 当 $ k = 7 $ 时，无论 $ x $，$ y $ 取何值，$ M $ 都是 “方差数” (3) 能. 设 $ m $ 为正整数且 $ m ≥ 1 $，则 $ (m + 2)^2 - m^2 = m^2 + 4m + 4 - m^2 = 4m + 4 = 4(m + 1) $，所以 $ 4(m + 1) $ 这样的数都是 “方差数”，即所有 4 的倍数（4 除外）都是 “方差数” (4) 由题意和 (3) 可知，所有奇数（1 除外）都是 “方差数”，所有 4 的倍数（4 除外）都是 “方差数”，所以 40 到 50 之间（不包含 40 和 50）的所有 “方差数” 是 41，43，44，45，47，48，49
解析
【分析】
1. 对于(1)①，根据“方差数”定义，需判断16能否表示为两个正整数的平方差，利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，将16分解为合适的正整数乘积，即可找到对应的$a$、$b$；
(1)②，2025是奇数，结合小杰的方法，奇数可表示为$(m+1)^2 - m^2=2m+1$，代入2025求解$m$，就能得到对应的$a$、$b$；
2. 对于(2)，需通过配方法将$M$转化为平方差形式，对$x^2+8x$和$y^2+6y$分别配方后整理，要使$M$恒为“方差数”，需消除常数项，进而确定$k$的值；
3. 对于(3)，模仿小杰的思路，设正整数$m$，构造两个含$m$的整式的平方差，化简后得到一类数的表达式，即可确定这类“方差数”的特征；
4. 对于(4)，结合前面得出的“奇数（1除外）、4的倍数（4除外）都是方差数”的结论，筛选出40到50之间符合条件的数即可。
【解析】
(1) ① 因为$5^2 - 3^2=25-9=16$，所以16是“方差数”；
② 设$2025=(m+1)^2 - m^2$，展开得$2m+1=2025$，解得$m=1012$，则$m+1=1013$，所以$2025=1013^2 - 1012^2$；
(2) 对$M=x^2 - y^2 + 8x - 6y + k$进行配方：
$M=(x^2 + 8x + 16) - (y^2 + 6y + 9) + k - 16 + 9=(x+4)^2 - (y+3)^2 + k - 7$，
因为$x$，$y$是正整数且$x≥y$，所以$x+4$和$y+3$都是正整数，且$x+4＞y+3$，
要使无论$x$，$y$取何值，$M$都是“方差数”，则需$k - 7=0$，即$k=7$，
此时$M=(x+4)^2 - (y+3)^2$，满足“方差数”的定义；
(3) 能。设$m$为正整数且$m≥1$，
因为$(m+2)^2 - m^2=m^2+4m+4 - m^2=4m+4=4(m+1)$，
所以$4(m+1)$这样的数都是“方差数”，即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”；
(4) 根据前面的结论：所有奇数（1除外）都是“方差数”，所有4的倍数（4除外）都是“方差数”，
在40到50之间（不包含40和50）的数中，
奇数有41，43，45，47，49；4的倍数有44，48，
所以这些“方差数”是41，43，44，45，47，48，49。
【答案】
(1) ① 是；② $1013$，$1012$
(2) $k=7$，理由见解析
(3) 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”，理由见解析
(4) 41，43，44，45，47，48，49
【知识点】
平方差公式应用、配方法、数的特征归纳
【点评】
本题属于新定义题型，重点考查对“方差数”定义的理解与应用，需要结合平方差公式、配方法进行代数变形，同时要求学生具备从材料中提炼规律、归纳总结的能力，综合性较强，有助于提升学生的代数思维和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
1. 对于(1)①，根据“方差数”定义，需判断16能否表示为两个正整数的平方差，利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，将16分解为合适的正整数乘积，即可找到对应的$a$、$b$；
(1)②，2025是奇数，结合小杰的方法，奇数可表示为$(m+1)^2 - m^2=2m+1$，代入2025求解$m$，就能得到对应的$a$、$b$；
2. 对于(2)，需通过配方法将$M$转化为平方差形式，对$x^2+8x$和$y^2+6y$分别配方后整理，要使$M$恒为“方差数”，需消除常数项，进而确定$k$的值；
3. 对于(3)，模仿小杰的思路，设正整数$m$，构造两个含$m$的整式的平方差，化简后得到一类数的表达式，即可确定这类“方差数”的特征；
4. 对于(4)，结合前面得出的“奇数（1除外）、4的倍数（4除外）都是方差数”的结论，筛选出40到50之间符合条件的数即可。
【解析】
(1) ① 因为$5^2 - 3^2=25-9=16$，所以16是“方差数”；
② 设$2025=(m+1)^2 - m^2$，展开得$2m+1=2025$，解得$m=1012$，则$m+1=1013$，所以$2025=1013^2 - 1012^2$；
(2) 对$M=x^2 - y^2 + 8x - 6y + k$进行配方：
$M=(x^2 + 8x + 16) - (y^2 + 6y + 9) + k - 16 + 9=(x+4)^2 - (y+3)^2 + k - 7$，
因为$x$，$y$是正整数且$x≥y$，所以$x+4$和$y+3$都是正整数，且$x+4＞y+3$，
要使无论$x$，$y$取何值，$M$都是“方差数”，则需$k - 7=0$，即$k=7$，
此时$M=(x+4)^2 - (y+3)^2$，满足“方差数”的定义；
(3) 能。设$m$为正整数且$m≥1$，
因为$(m+2)^2 - m^2=m^2+4m+4 - m^2=4m+4=4(m+1)$，
所以$4(m+1)$这样的数都是“方差数”，即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”；
(4) 根据前面的结论：所有奇数（1除外）都是“方差数”，所有4的倍数（4除外）都是“方差数”，
在40到50之间（不包含40和50）的数中，
奇数有41，43，45，47，49；4的倍数有44，48，
所以这些“方差数”是41，43，44，45，47，48，49。
【答案】
(1) ① 是；② $1013$，$1012$
(2) $k=7$，理由见解析
(3) 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”，理由见解析
(4) 41，43，44，45，47，48，49
【知识点】
平方差公式应用、配方法、数的特征归纳
【点评】
本题属于新定义题型，重点考查对“方差数”定义的理解与应用，需要结合平方差公式、配方法进行代数变形，同时要求学生具备从材料中提炼规律、归纳总结的能力，综合性较强，有助于提升学生的代数思维和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
