4. 在四边形ABCD中，AD//BC，BC⊥CD，AD = 6cm，BC = 10cm，M是BC上一点，且BM = 4cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t s，当t的值为__________时，以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形.

$\frac{4}{3}$或$4$

5. 如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB = 6，BC = 10，点P从点B出发，沿射线BC方向运动；点Q从点D同时出发，沿DA方向运动，到点A为止，运动的时间为t秒.
(1)若点P的运动速度为3个单位长度/秒，点Q的运动速度为1个单位长度/秒，若以P，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形，求t的值；
(2)若点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，若运动中能使以P，C，D，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出m，n的数量关系.

解：（1）①如答图①，当点$P$在$BC$上时，
$DQ = t$，$PC = 10 - 3t$，
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$\therefore DQ// PC$，
若四边形$PCDQ$是平行四边形，则$DQ = PC$，
$\therefore t = 10 - 3t$，$\therefore t = 2.5$；
②如答图②，当点$P$在$BC$的延长线上时，
$PC = 3t - 10$，
若四边形$CPDQ$是平行四边形，
则$DQ = PC$，$\therefore t = 3t - 10$，$\therefore t = 5$。
综上，当$t = 2.5$或$5$时，以$P$，$C$，$D$，$Q$为顶点的四边形为平行四边形。
（2）①如答图①，当点$P$在$BC$上时，
若四边形$PCDQ$是菱形，
则$DQ = PC = CD = AB = 6$，
$\therefore nt = 10 - mt = 6$，$\therefore mt = 4$，
$\therefore \frac{m}{n}=\frac{2}{3}$，$\therefore 3m = 2n$；
②如答图②，当点$P$在$BC$的延长线上时，连接$PQ$，交$CD$于点$E$，
$\because AB\perp AC$，$\therefore \angle BAC = 90^{\circ}$，
$\therefore AC = \sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore CD// AB$，
$\therefore \angle ACD = 90^{\circ}$。
$\because$四边形$PCQD$是菱形，
$\therefore PQ\perp CD$，$CE = DE$，$PE = QE$，
$\therefore PQ// AC$，$\therefore$四边形$ACPQ$是平行四边形，
$\therefore PQ = AC = 8$，$\therefore QE = PE = 4$。
$\because CE = DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB = 3$，
$\therefore DQ = PD = \sqrt{QE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$，
$\therefore nt = mt - 10 = 5$，$\therefore m = 3n$。
综上，当$3m = 2n$或$m = 3n$时，以$P$，$C$，$D$，$Q$为顶点的四边形为菱形。

6. (2023·盱眙县期中)在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E，F相遇时除外）？答：______________；(直接填空，不用说明理由)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值.

（1）平行四边形
（2）解：如答图①，连接$GH$，$AC = \sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 10$，
由（1）得$AG = BH$，$AG// BH$，$\angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$ABHG$是矩形，$\therefore GH = AB = 6$，
①如答图①，当四边形$EGFH$是矩形且点$E$在点$F$左侧时，$\therefore EF = GH = 6$。
$\because AE = CF = t$，$\therefore EF = 10 - 2t = 6$，$\therefore t = 2$；
②如答图②，当四边形$EGFH$是矩形且点$E$在点$F$右侧时，
$\because EF = GH = 6$，$AE = CF = t$，
$\therefore EF = t + t - 10 = 2t - 10 = 6$，$\therefore t = 8$。
综上，当四边形$EGFH$为矩形时，$t = 2$或$t = 8$。


（3）如答图③，$M$为$AD$的中点，连接$AH$，$CG$，$GH$，$AC$与$GH$交于点$O$，
$\because$四边形$EGFH$为菱形，
$\therefore GH\perp EF$，$OG = OH$，$OE = OF$，
$\therefore OA = OC$，$AG = AH$，
$\therefore$四边形$AGCH$为菱形，$\therefore AG = CG$，
设$AG = CG = x$，则$DG = 8 - x$，
由勾股定理可得$CD^{2}+DG^{2}=CG^{2}$，
即$6^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x = \frac{25}{4}$，
$\therefore MG = \frac{25}{4}-4 = \frac{9}{4}$，即$t = \frac{9}{4}$，$\therefore t$的值为$\frac{9}{4}$。