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1. $x^{2} · x^{3}$的计算结果是()
A.$x^{5}$
B.$x^{6}$
C.$x^{8}$
D.$x^{9}$
A.$x^{5}$
B.$x^{6}$
C.$x^{8}$
D.$x^{9}$
答案
A
解析
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘时，底数不变，指数相加。即$x^a · x^b = x^{a+b}$。因此$x^{2} · x^{3} = x^{2+3} = x^{5}$。
2. 下列计算中，正确的是()
A.$2x^{2}y + 3xy^{2} = 5x^{3}y^{3}$
B.$(-x)^{3} · (-x)^{2} = -x^{5}$
C.$(-a^{3})^{2} + (-a^{2})^{3} = 1$
D.$2x^{3} + x^{2} = 3x^{5}$
A.$2x^{2}y + 3xy^{2} = 5x^{3}y^{3}$
B.$(-x)^{3} · (-x)^{2} = -x^{5}$
C.$(-a^{3})^{2} + (-a^{2})^{3} = 1$
D.$2x^{3} + x^{2} = 3x^{5}$
答案
B
解析
选项A：$2x^{2}y$与$3xy^{2}$不是同类项，不能合并，所以A错误；
选项B：根据同底数幂的乘法法则，$(-x)^{3} · (-x)^{2}=(-x)^{3 + 2}=(-x)^{5}=-x^{5}$，所以B正确；
选项C：根据幂的乘方法则，$(-a^{3})^{2}=a^{6}$，$(-a^{2})^{3}=-a^{6}$，则$(-a^{3})^{2}+(-a^{2})^{3}=a^{6}+(-a^{6}) = 0≠1$，所以C错误；
选项D：$2x^{3}$与$x^{2}$不是同类项，不能合并，所以D错误。
选项B：根据同底数幂的乘法法则，$(-x)^{3} · (-x)^{2}=(-x)^{3 + 2}=(-x)^{5}=-x^{5}$，所以B正确；
选项C：根据幂的乘方法则，$(-a^{3})^{2}=a^{6}$，$(-a^{2})^{3}=-a^{6}$，则$(-a^{3})^{2}+(-a^{2})^{3}=a^{6}+(-a^{6}) = 0≠1$，所以C错误；
选项D：$2x^{3}$与$x^{2}$不是同类项，不能合并，所以D错误。
3. 已知$a^{m} = 3$，$a^{n} = 2$($m$，$n$是正整数)，则$a^{m + n}$的值等于()
A.5
B.6
C.8
D.9
A.5
B.6
C.8
D.9
答案
B
解析
根据同底数幂的乘法法则，有$a^{m+n} = a^m · a^n$。
已知$a^m = 3$，$a^n = 2$，代入得$a^{m+n} = 3 × 2 = 6$。
已知$a^m = 3$，$a^n = 2$，代入得$a^{m+n} = 3 × 2 = 6$。
4. 下列计算中，正确的是()
A.$(ab^{2})^{3} = ab^{6}$
B.$(3xy)^{3} = 9x^{3}y^{3}$
C.$(-2a^{2})^{2} = -4a^{4}$
D.$(-2)^{-2} = \frac{1}{4}$
A.$(ab^{2})^{3} = ab^{6}$
B.$(3xy)^{3} = 9x^{3}y^{3}$
C.$(-2a^{2})^{2} = -4a^{4}$
D.$(-2)^{-2} = \frac{1}{4}$
答案
D
解析
选项A：根据幂的乘方运算法则，$(ab^{2})^{3}=a^{3}×(b^{2})^{3}=a^{3}b^{6}≠ ab^{6}$，所以选项A错误。
选项B：根据积的乘方运算法则，$(3xy)^{3}=3^{3}× x^{3}× y^{3}=27x^{3}y^{3}≠ 9x^{3}y^{3}$，所以选项B错误。
选项C：根据积的乘方运算法则，$(-2a^{2})^{2}=(-2)^{2}×(a^{2})^{2}=4a^{4}≠ -4a^{4}$，所以选项C错误。
选项D：根据负整数指数幂的运算法则，$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^{2}}=\frac{1}{4}$，所以选项D正确。
选项B：根据积的乘方运算法则，$(3xy)^{3}=3^{3}× x^{3}× y^{3}=27x^{3}y^{3}≠ 9x^{3}y^{3}$，所以选项B错误。
选项C：根据积的乘方运算法则，$(-2a^{2})^{2}=(-2)^{2}×(a^{2})^{2}=4a^{4}≠ -4a^{4}$，所以选项C错误。
选项D：根据负整数指数幂的运算法则，$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^{2}}=\frac{1}{4}$，所以选项D正确。
5. 有下列计算：①$(-x)^{3n} ÷ (-x)^{n} = (-x)^{3}$($n$是正整数)；②$(\frac{1}{3})^{-3} = \frac{1}{3^{3}} = \frac{1}{27}$；③$m^{5} ÷ m^{5} = m^{5 - 5} = 0$；④$(-bc)^{4} ÷ (-bc)^{2} = -b^{2}c^{2}$。其中正确的有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
A
解析
①$(-x)^{3n} ÷ (-x)^n = (-x)^{3n-n} = (-x)^{2n}$，不等于$(-x)^3$，错误；
②$(\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$，原式错误；
③$m^5 ÷ m^5 = m^{5-5} = m^0 = 1$，原式错误；
④$(-bc)^4 ÷ (-bc)^2 = (-bc)^{4-2} = (-bc)^2 = b^2c^2$，原式应为正，错误；
均错误，正确个数为 0。
②$(\frac{1}{3})^{-3} = 3^3 = 27$，原式错误；
③$m^5 ÷ m^5 = m^{5-5} = m^0 = 1$，原式错误；
④$(-bc)^4 ÷ (-bc)^2 = (-bc)^{4-2} = (-bc)^2 = b^2c^2$，原式应为正，错误；
均错误，正确个数为 0。
6. 已知$a ≠ 0$，$p$是正整数，下列各式中，错误的是()
A.$a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}$
B.$a^{-p} = (\frac{1}{a})^{p}$
C.$a^{-p} = -a^{p}$
D.$a^{-p} = (a^{p})^{-1}$
A.$a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}$
B.$a^{-p} = (\frac{1}{a})^{p}$
C.$a^{-p} = -a^{p}$
D.$a^{-p} = (a^{p})^{-1}$
答案
C
解析
根据负整数指数幂的定义：$a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}$（$a≠0$，$p$是正整数）。
A选项：$a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}$，正确；
B选项：$(\frac{1}{a})^{p} = \frac{1^{p}}{a^{p}} = \frac{1}{a^{p}} = a^{-p}$，正确；
C选项：$a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}$，而$-a^{p}$是$a^{p}$的相反数，两者不相等，错误；
D选项：$(a^{p})^{-1} = a^{-p}$，正确。
A选项：$a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}$，正确；
B选项：$(\frac{1}{a})^{p} = \frac{1^{p}}{a^{p}} = \frac{1}{a^{p}} = a^{-p}$，正确；
C选项：$a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}$，而$-a^{p}$是$a^{p}$的相反数，两者不相等，错误；
D选项：$(a^{p})^{-1} = a^{-p}$，正确。
7. $(-0.5)^{100} × 2^{101} =$，$4^{2} ×$()$^{6} = 4^{5}$。
答案
2；±2
解析
第一空
$\begin{aligned}(-0.5)^{100} × 2^{101}&=(-0.5)^{100} × 2^{100} × 2\\&=(-0.5 × 2)^{100} × 2\\&=(-1)^{100} × 2\\&=1 × 2\\&=2\end{aligned}$
第二空
设括号内的数为$x$，则：
$\begin{aligned}4^{2} × x^{6} &= 4^{5}\\x^{6} &= 4^{5} ÷ 4^{2}\\x^{6} &= 4^{3}\\x^{6} &= (2^{2})^{3}\\x^{6} &= 2^{6}\\x &= \pm 2\end{aligned}$
$\begin{aligned}(-0.5)^{100} × 2^{101}&=(-0.5)^{100} × 2^{100} × 2\\&=(-0.5 × 2)^{100} × 2\\&=(-1)^{100} × 2\\&=1 × 2\\&=2\end{aligned}$
第二空
设括号内的数为$x$，则：
$\begin{aligned}4^{2} × x^{6} &= 4^{5}\\x^{6} &= 4^{5} ÷ 4^{2}\\x^{6} &= 4^{3}\\x^{6} &= (2^{2})^{3}\\x^{6} &= 2^{6}\\x &= \pm 2\end{aligned}$
8. $(-\frac{1}{2}ab)^{2} =$。
答案
$(-\frac{1}{2}ab)^{2}$
$=(-\frac{1}{2})^{2} × a^{2} × b^{2}$
$=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}$
故答案为：$\frac{1}{4}a^{2}b^{2}$。
$=(-\frac{1}{2})^{2} × a^{2} × b^{2}$
$=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}$
故答案为：$\frac{1}{4}a^{2}b^{2}$。
9. $(-a^{3})^{2} · (-a^{2})^{3} =$。
答案
根据幂的乘方运算法则，有：
$(-a^{3})^{2} = ((-1) · a^{3})^{2} = (-1)^{2} · (a^{3})^{2} = 1 · a^{6} = a^{6}$
同样地，对于$(-a^{2})^{3}$，有：
$(-a^{2})^{3} = ((-1) · a^{2})^{3} = (-1)^{3} · (a^{2})^{3} = -1 · a^{6} = -a^{6}$
最后，将两部分相乘，得到：
$(-a^{3})^{2} · (-a^{2})^{3} = a^{6} · (-a^{6}) = -a^{6+6} = -a^{12}$
故答案为：$-a^{12}$。
$(-a^{3})^{2} = ((-1) · a^{3})^{2} = (-1)^{2} · (a^{3})^{2} = 1 · a^{6} = a^{6}$
同样地，对于$(-a^{2})^{3}$，有：
$(-a^{2})^{3} = ((-1) · a^{2})^{3} = (-1)^{3} · (a^{2})^{3} = -1 · a^{6} = -a^{6}$
最后，将两部分相乘，得到：
$(-a^{3})^{2} · (-a^{2})^{3} = a^{6} · (-a^{6}) = -a^{6+6} = -a^{12}$
故答案为：$-a^{12}$。
10. $(-10)^{2} + (-10)^{0} + 10^{-2} × (-10)^{2}$的计算结果是。
答案
$\begin{aligned}&(-10)^{2} + (-10)^{0} + 10^{-2} × (-10)^{2}\\=&100 + 1 + \frac{1}{10^{2}}×100\\=&100 + 1 + \frac{1}{100}×100\\=&100 + 1 + 1\\=&102\end{aligned}$
102
102
11. $(-m^{2})^{3} · (-m^{2}) =$。
答案
$(-m^{2})^{3} = (-1)^{3} · (m^{2})^{3} = -1 · m^{6} = -m^{6}$。
$(-m^{6}) · (-m^{2}) = (-1 · m^{6}) · (-1 · m^{2}) = 1 · m^{6+2} = m^{ 8}$。
故答案为$m^{8}$。
$(-m^{6}) · (-m^{2}) = (-1 · m^{6}) · (-1 · m^{2}) = 1 · m^{6+2} = m^{ 8}$。
故答案为$m^{8}$。
12. $(2x + 3y)^{5} ÷ (2x + 3y)^{2} =$。
答案
根据同底数幂的除法法则，有：
$(a^{m}) ÷ (a^{n}) = a^{m-n}$
应用上述法则到题目中给定的表达式，得：
$(2x + 3y)^{5} ÷ (2x + 3y)^{2} = (2x + 3y)^{5-2} = (2x + 3y)^{3}$
故答案为：$(2x + 3y)^{3}$。
$(a^{m}) ÷ (a^{n}) = a^{m-n}$
应用上述法则到题目中给定的表达式，得：
$(2x + 3y)^{5} ÷ (2x + 3y)^{2} = (2x + 3y)^{5-2} = (2x + 3y)^{3}$
故答案为：$(2x + 3y)^{3}$。
13. 已知$1\ nm = 0.000\ 000\ 001\ m$，则$2.5\ nm$用科学记数法表示为$m$。
答案
$2.5×10^{-9}$
解析
$2.5\ nm = 2.5×0.000000001\ m = 2.5×10^{-9}\ m$
