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1. 要从电线杆上离地面6m处向地面拉一根长10m的电缆,则地面上电缆的固定点与电线杆底部之间的距离应为( )
A.7m
B.8m
C.9m
D.10m
A.7m
B.8m
C.9m
D.10m
答案
B
解析
电线杆与地面垂直，形成直角三角形。其中，电线杆上离地面6m处为一直角边，长度为$6m$；电缆长10m为斜边；地面上电缆的固定点与电线杆底部之间的距离为另一直角边，设为$x$。
根据勾股定理：$x^2 + 6^2 = 10^2$
$x^2 + 36 = 100$
$x^2 = 100 - 36 = 64$
$x = \sqrt{64} = 8$
B
根据勾股定理：$x^2 + 6^2 = 10^2$
$x^2 + 36 = 100$
$x^2 = 100 - 36 = 64$
$x = \sqrt{64} = 8$
B
2. 小明要用铁杆制作一个直角三角形天线,要求最短边的长为8cm,最长边的长为17cm,则小明需要铁杆的总长度为( )
A.42cm
B.40cm
C.35cm
D.25cm
A.42cm
B.40cm
C.35cm
D.25cm
答案
B
解析
因为直角三角形中最长边为斜边，所以斜边长度为$17\,cm$，最短边为一条直角边，长度为$8\,cm$。
设另一条直角边的长度为$x\,cm$，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为直角边），可得：
$8^2 + x^2 = 17^2$
$64 + x^2 = 289$
$x^2 = 289 - 64 = 225$
$x = \sqrt{225} = 15$（$x=-15$舍去，边长不能为负）
则三角形的三条边分别为$8\,cm$、$15\,cm$、$17\,cm$，总长度为$8 + 15 + 17 = 40\,cm$。
B
设另一条直角边的长度为$x\,cm$，根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为直角边），可得：
$8^2 + x^2 = 17^2$
$64 + x^2 = 289$
$x^2 = 289 - 64 = 225$
$x = \sqrt{225} = 15$（$x=-15$舍去，边长不能为负）
则三角形的三条边分别为$8\,cm$、$15\,cm$、$17\,cm$，总长度为$8 + 15 + 17 = 40\,cm$。
B
3. (2024·泗阳期中)如图是长为40cm,宽为30cm,高为120cm的长方体纸箱,这个纸箱能容纳的木棒最长为( )
A.110cm
B.120cm
C.130cm
D.140cm
A.110cm
B.120cm
C.130cm
D.140cm
答案
C
解析
长方体纸箱能容纳的最长木棒为其体对角线。
体对角线公式：$l = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$，其中$a=40\,cm$，$b=30\,cm$，$c=120\,cm$。
计算得：$l = \sqrt{40^2 + 30^2 + 120^2} = \sqrt{1600 + 900 + 14400} = \sqrt{16900} = 130\,cm$。
C
体对角线公式：$l = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$，其中$a=40\,cm$，$b=30\,cm$，$c=120\,cm$。
计算得：$l = \sqrt{40^2 + 30^2 + 120^2} = \sqrt{1600 + 900 + 14400} = \sqrt{16900} = 130\,cm$。
C
4. (新考向·数学文化)(2024·吉林)有一首古算诗:波平如镜一湖面,半尺高处生红莲.亭亭多姿湖中立,突遭狂风吹一边.离开原处两尺远,花贴湖面像睡莲.根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图所示,其中AB= AB',AB⊥B'C于点C,BC= 0.5尺,B'C= 2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为______.
答案
$x^{2}+2^{2}=(x+0.5)^{2}$
解析
设AC的长度为$x$尺，因为AB=AB'，AB⊥B'C，BC=0.5尺，B'C=2尺，所以AB=AC+BC=$x + 0.5$尺，AB'=$x + 0.5$尺。在Rt△ACB'中，根据勾股定理可得$AC^{2} + B'C^{2} = AB'^{2}$，即$x^{2} + 2^{2} = (x + 0.5)^{2}$。
$x^{2}+2^{2}=(x+0.5)^{2}$
$x^{2}+2^{2}=(x+0.5)^{2}$
5. (2024·泗洪期中)如图,一棵高为16m的大树被台风刮断,若树在离地面6m处折断,树顶端刚好落在地面上,此时树顶端距离树底部______m.
答案
8
解析
树高16m，在离地面6m处折断，则折断部分长度为$16 - 6 = 10$m。
树底部、折断处、树顶端落地处构成直角三角形，其中树底部到折断处的距离为直角边，长度6m；折断部分为斜边，长度10m；树顶端距离树底部的距离为另一直角边，设为$x$m。
由勾股定理得：$x^2 + 6^2 = 10^2$，即$x^2 + 36 = 100$，$x^2 = 64$，解得$x = 8$（负值舍去）。
8
树底部、折断处、树顶端落地处构成直角三角形，其中树底部到折断处的距离为直角边，长度6m；折断部分为斜边，长度10m；树顶端距离树底部的距离为另一直角边，设为$x$m。
由勾股定理得：$x^2 + 6^2 = 10^2$，即$x^2 + 36 = 100$，$x^2 = 64$，解得$x = 8$（负值舍去）。
8
6. 如图,学校内有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角而走"捷径",在花圃内走出了一条"路",其实他们仅仅少走了______步(假设2步为1m),却踩伤了花草.
答案
4
解析
长方形花圃的长为4m，宽为3m，走拐角的路程为3+4=7m，走“捷径”的路程为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$m，少走的路程为7-5=2m，2m换算为步数是2×2=4步。
4
4
7. (新情境·现实生活)如图,小明从点A出发,先向东走1m,然后向南走4m,再向西走2m,接着向南走4m,最后向东走7m,到达点B,求出发点A到终点B的距离.
答案
如图，过点A作$AC⊥BC$，垂足为C.根据题意，得$AC = 4 + 4 = 8(m)$，$BC = 7 - 2 + 1 = 6(m)$.在$Rt△ACB$中，由勾股定理，得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，$\therefore AB = 10m$，$\therefore$出发点A到终点B的距离为10m
解析
过点A作$AC \perp BC$，垂足为C。根据题意，得$AC = 4 + 4 = 8(m)$，$BC = 7 - 2 + 1 = 6(m)$。在$Rt\triangle ACB$中，由勾股定理，得$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，即$8^{2} + 6^{2} = AB^{2}$，$AB = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10(m)$。出发点A到终点B的距离为$10m$。
