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6. 如图,四个面积都为3的长方形和一个边长为$\sqrt{3}$的小正方形拼成一个大正方形,求大正方形的边长。
答案
6. $\sqrt{15}$
解析
【分析】
要计算大正方形的边长，可先求出大正方形的面积，再对面积取算术平方根即可得到边长。观察图形可知，大正方形的面积等于4个长方形的面积之和加上中间小正方形的面积，因此我们先分别计算4个长方形的总面积和小正方形的面积，求和得到大正方形的面积后，再求其算术平方根就是大正方形的边长。
【解析】
第一步：计算小正方形的面积
已知小正方形的边长为$\sqrt{3}$，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得：
$S_{\mathrm{小正方形}}=(\sqrt{3})^2=3$
第二步：计算4个长方形的总面积
每个长方形面积为3，因此4个长方形总面积为：
$S_{\mathrm{长方形总和}}=4×3=12$
第三步：计算大正方形的面积
大正方形面积为各部分面积之和：
$S_{\mathrm{大正方形}}=12+3=15$
第四步：求大正方形的边长
设大正方形边长为$x$，则$x^2=15$，因为边长为正数，所以$x=\sqrt{15}$
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础的组合图形计算问题，解题核心是将大正方形的面积转化为各已知图形的面积和，无需单独求解长方形的长宽，简化了计算过程，重点考查对面积公式和算术平方根概念的掌握。
【难度系数】
0.7
要计算大正方形的边长，可先求出大正方形的面积，再对面积取算术平方根即可得到边长。观察图形可知，大正方形的面积等于4个长方形的面积之和加上中间小正方形的面积，因此我们先分别计算4个长方形的总面积和小正方形的面积，求和得到大正方形的面积后，再求其算术平方根就是大正方形的边长。
【解析】
第一步：计算小正方形的面积
已知小正方形的边长为$\sqrt{3}$，根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为边长），可得：
$S_{\mathrm{小正方形}}=(\sqrt{3})^2=3$
第二步：计算4个长方形的总面积
每个长方形面积为3，因此4个长方形总面积为：
$S_{\mathrm{长方形总和}}=4×3=12$
第三步：计算大正方形的面积
大正方形面积为各部分面积之和：
$S_{\mathrm{大正方形}}=12+3=15$
第四步：求大正方形的边长
设大正方形边长为$x$，则$x^2=15$，因为边长为正数，所以$x=\sqrt{15}$
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础的组合图形计算问题，解题核心是将大正方形的面积转化为各已知图形的面积和，无需单独求解长方形的长宽，简化了计算过程，重点考查对面积公式和算术平方根概念的掌握。
【难度系数】
0.7
7. 宇宙中有数目庞大的行星，其中行星A的表面积为74 800 000平方千米。若把行星A看成一个球体，则它的半径是多少千米？（设球体的表面积为S，半径为r，则$r=\sqrt{\frac{S}{12.56}}$，结果精确到1千米）
答案
7. 2 440千米
解析
【分析】
解题时首先明确题目已经给出了球体半径和表面积的计算公式，我们只需要将已知的行星表面积数值代入公式，先计算出根号内的除法结果，再求这个结果的算术平方根，最后按照要求将结果精确到个位即可。
【解析】
解：已知球体表面积$S=74800000$平方千米，半径公式为$r=\sqrt{\frac{S}{12.56}}$。
第一步，代入数值计算根号内的部分：
$\frac{S}{12.56}=\frac{74800000}{12.56}\approx5955414.01$
第二步，求上述结果的算术平方根：
$r=\sqrt{5955414.01}\approx2440$（千米，结果精确到1千米）
【答案】
2440千米
【知识点】
代数式求值；算术平方根运算；近似数确定
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是准确代入公式计算，需要注意计算过程中数值的准确性，以及最终结果要按要求保留近似值。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目已经给出了球体半径和表面积的计算公式，我们只需要将已知的行星表面积数值代入公式，先计算出根号内的除法结果，再求这个结果的算术平方根，最后按照要求将结果精确到个位即可。
【解析】
解：已知球体表面积$S=74800000$平方千米，半径公式为$r=\sqrt{\frac{S}{12.56}}$。
第一步，代入数值计算根号内的部分：
$\frac{S}{12.56}=\frac{74800000}{12.56}\approx5955414.01$
第二步，求上述结果的算术平方根：
$r=\sqrt{5955414.01}\approx2440$（千米，结果精确到1千米）
【答案】
2440千米
【知识点】
代数式求值；算术平方根运算；近似数确定
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是准确代入公式计算，需要注意计算过程中数值的准确性，以及最终结果要按要求保留近似值。
【难度系数】
0.8
8. 计算：
$\sqrt{25}=$
$\sqrt{0.09}=$
观察上面的计算结果，你发现什么规律？填空：
（1）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向
（2）被开方数的小数点每向左移动
$\sqrt{25}=$
5
，$\sqrt{2500}=$50
，$\sqrt{250000}=$500
；$\sqrt{0.09}=$
0.3
，$\sqrt{9}=$3
，$\sqrt{900}=$30
。观察上面的计算结果，你发现什么规律？填空：
（1）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向
右
移动1
位。（2）被开方数的小数点每向左移动
2
位，相应的算术平方根的小数点就向左
移动1位。答案
8. 5,50,500;0.3,3,30。（1）右;1 （2）2;左
解析
【分析】
解题首先要明确算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，则x叫做a的算术平方根。先根据定义分别计算出所有算术平方根的值，再对比每组中被开方数的小数点移动位数和对应算术平方根的小数点移动位数，归纳出通用规律即可。
【解析】
1. 计算各算术平方根：
① 因为$5^2=25$，所以$\sqrt{25}=5$；
② 因为$50^2=2500$，所以$\sqrt{2500}=50$；
③ 因为$500^2=250000$，所以$\sqrt{250000}=500$；
④ 因为$0.3^2=0.09$，所以$\sqrt{0.09}=0.3$；
⑤ 因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$；
⑥ 因为$30^2=900$，所以$\sqrt{900}=30$。
2. 归纳规律：
观察第一组数据：被开方数25的小数点向右移动2位得到2500，对应算术平方根5的小数点向右移动1位得到50；2500小数点再右移2位得到250000，对应算术平方根50小数点右移1位得到500，因此可得规律（1）：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位。
观察第二组数据：被开方数900的小数点向左移动2位得到9，对应算术平方根30的小数点向左移动1位得到3；9小数点再左移2位得到0.09，对应算术平方根3小数点左移1位得到0.3，因此可得规律（2）：被开方数的小数点每向左移动2位，相应的算术平方根的小数点就向左移动1位。
【答案】
5，50，500；0.3，3，30。（1）右；1 （2）2；左
【知识点】
算术平方根计算，算术平方根变化规律
【点评】
本题考查算术平方根的基础运算和归纳推理能力，总结得到的小数点移动规律可用于快速估算算术平方根的大小，是开方运算的常用基础结论，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即$x^2=a$，则x叫做a的算术平方根。先根据定义分别计算出所有算术平方根的值，再对比每组中被开方数的小数点移动位数和对应算术平方根的小数点移动位数，归纳出通用规律即可。
【解析】
1. 计算各算术平方根：
① 因为$5^2=25$，所以$\sqrt{25}=5$；
② 因为$50^2=2500$，所以$\sqrt{2500}=50$；
③ 因为$500^2=250000$，所以$\sqrt{250000}=500$；
④ 因为$0.3^2=0.09$，所以$\sqrt{0.09}=0.3$；
⑤ 因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$；
⑥ 因为$30^2=900$，所以$\sqrt{900}=30$。
2. 归纳规律：
观察第一组数据：被开方数25的小数点向右移动2位得到2500，对应算术平方根5的小数点向右移动1位得到50；2500小数点再右移2位得到250000，对应算术平方根50小数点右移1位得到500，因此可得规律（1）：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位。
观察第二组数据：被开方数900的小数点向左移动2位得到9，对应算术平方根30的小数点向左移动1位得到3；9小数点再左移2位得到0.09，对应算术平方根3小数点左移1位得到0.3，因此可得规律（2）：被开方数的小数点每向左移动2位，相应的算术平方根的小数点就向左移动1位。
【答案】
5，50，500；0.3，3，30。（1）右；1 （2）2；左
【知识点】
算术平方根计算，算术平方根变化规律
【点评】
本题考查算术平方根的基础运算和归纳推理能力，总结得到的小数点移动规律可用于快速估算算术平方根的大小，是开方运算的常用基础结论，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
9. 数轴上点A表示的数是1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等。若点B表示的数是$\sqrt{2}$，则点C表示的数是（
A.$-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-2$
C
）。A.$-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$2-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-2$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时先抓住题干核心条件：点B、C在点A两侧且到A的距离相等，说明点A是线段BC的中点，A到B的距离与A到C的距离相等。第一步先计算AB的距离，再根据C在A的左侧，用A表示的数减去这个距离就能得到C表示的数，也可以通过中点的等量关系列方程求解。
【解析】
方法1（距离法）：
已知点A表示的数是1，点B表示的数是$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$，所以AB的距离为：$\sqrt{2} - 1$。
因为点B、C到点A的距离相等，且C在A的左侧，所以点C表示的数为：$1 - (\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2}$。
方法2（中点法）：
设点C表示的数为$x$，因为点A是B、C的中点，根据数轴上中点的性质，中点表示的数等于两端点表示数的平均数，可得：
$\frac{\sqrt{2} + x}{2} = 1$
两边同乘2得：$\sqrt{2} + x = 2$
解得：$x = 2 - \sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
数轴上两点的距离、中点的性质
【点评】
本题是数轴与实数计算结合的基础题，解题的关键是理解“数轴上到同一点距离相等、且分居该点两侧的两个点，以该点为中点”，结合数的大小位置关系计算即可。
【难度系数】
0.75
解题时先抓住题干核心条件：点B、C在点A两侧且到A的距离相等，说明点A是线段BC的中点，A到B的距离与A到C的距离相等。第一步先计算AB的距离，再根据C在A的左侧，用A表示的数减去这个距离就能得到C表示的数，也可以通过中点的等量关系列方程求解。
【解析】
方法1（距离法）：
已知点A表示的数是1，点B表示的数是$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$，所以AB的距离为：$\sqrt{2} - 1$。
因为点B、C到点A的距离相等，且C在A的左侧，所以点C表示的数为：$1 - (\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 - \sqrt{2}$。
方法2（中点法）：
设点C表示的数为$x$，因为点A是B、C的中点，根据数轴上中点的性质，中点表示的数等于两端点表示数的平均数，可得：
$\frac{\sqrt{2} + x}{2} = 1$
两边同乘2得：$\sqrt{2} + x = 2$
解得：$x = 2 - \sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
数轴上两点的距离、中点的性质
【点评】
本题是数轴与实数计算结合的基础题，解题的关键是理解“数轴上到同一点距离相等、且分居该点两侧的两个点，以该点为中点”，结合数的大小位置关系计算即可。
【难度系数】
0.75
