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18.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，可将其形状视为一条抛物线。如图所示的是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手到地面的高度都为1 m，并且相距4 m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是(0，1)。身高1.60 m的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1 m时，绳子刚好经过她的头顶。若身高1.75 m的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m m，为确保绳子超过他的头顶，则m的取值范围为
$1.5＜m＜2.5$
。答案
18.$1.5＜m＜2.5$
解析
【分析】
这是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：首先根据题意确定抛物线上的3个已知点坐标；由于已知点中(0,1)和(4,1)纵坐标相同，可判断抛物线对称轴为x=2，因此设顶点式二次函数解析式，用待定系数法求出解析式；最后根据“绳子超过头顶”即函数值y＞1.75，列不等式求解得到x的取值范围，即为m的取值范围。
【解析】
解：由题意可知，抛物线上三个点的坐标分别为：小冬拿绳子的手(0,1)，小雪拿绳子的手(4,1)，小丽头顶位置(1,1.6)。
∵点(0,1)和(4,1)纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+k$，将(0,1)和(1,1.6)代入解析式得：
$\begin{cases}4a +k=1 \\a +k=1.6\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$3a=-0.6$，解得$a=-0.2$，
将$a=-0.2$代入$a+k=1.6$，得$k=1.8$。
∴抛物线解析式为$y=-0.2(x-2)^2 +1.8$。
要使绳子超过小伟头顶，即$y＞1.75$，列不等式：
$-0.2(x-2)^2 +1.8 ＞1.75$
移项得：$-0.2(x-2)^2 ＞ -0.05$
两边同时除以$-0.2$，不等号方向改变：$(x-2)^2 ＜ 0.25$
开方得：$|x-2|＜0.5$，即$-0.5 ＜x-2 ＜0.5$
解得：$1.5＜x＜2.5$。
∵m为小伟距y轴的距离，即x=m，
∴m的取值范围是$1.5＜m＜2.5$。
【答案】
$1.5＜m＜2.5$
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的相关知识，解题的核心是准确求出抛物线的解析式，再结合函数值的要求求解自变量的范围，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：首先根据题意确定抛物线上的3个已知点坐标；由于已知点中(0,1)和(4,1)纵坐标相同，可判断抛物线对称轴为x=2，因此设顶点式二次函数解析式，用待定系数法求出解析式；最后根据“绳子超过头顶”即函数值y＞1.75，列不等式求解得到x的取值范围，即为m的取值范围。
【解析】
解：由题意可知，抛物线上三个点的坐标分别为：小冬拿绳子的手(0,1)，小雪拿绳子的手(4,1)，小丽头顶位置(1,1.6)。
∵点(0,1)和(4,1)纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{0+4}{2}=2$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+k$，将(0,1)和(1,1.6)代入解析式得：
$\begin{cases}4a +k=1 \\a +k=1.6\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$3a=-0.6$，解得$a=-0.2$，
将$a=-0.2$代入$a+k=1.6$，得$k=1.8$。
∴抛物线解析式为$y=-0.2(x-2)^2 +1.8$。
要使绳子超过小伟头顶，即$y＞1.75$，列不等式：
$-0.2(x-2)^2 +1.8 ＞1.75$
移项得：$-0.2(x-2)^2 ＞ -0.05$
两边同时除以$-0.2$，不等号方向改变：$(x-2)^2 ＜ 0.25$
开方得：$|x-2|＜0.5$，即$-0.5 ＜x-2 ＜0.5$
解得：$1.5＜x＜2.5$。
∵m为小伟距y轴的距离，即x=m，
∴m的取值范围是$1.5＜m＜2.5$。
【答案】
$1.5＜m＜2.5$
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的相关知识，解题的核心是准确求出抛物线的解析式，再结合函数值的要求求解自变量的范围，能锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
19.体育课上小明推铅球，若铅球离开手的水平距离为$x$(m)，铅球离地面的高度为$y$(m)，铅球的运行路线为抛物线$y=-0.1(x-3)^2 +2.5$。当铅球下降过程中离地面的高度达到2.4 m时，铅球离开手的水平距离为
$4$
m。答案
19.$4$
解析
【分析】
本题是二次函数在实际场景中的应用，解题思路如下：首先题目给出了铅球高度y与水平距离x的二次函数解析式，要求下降过程中高度为2.4m时的水平距离，第一步我们可以将y=2.4代入函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解出x的两个可能值；第二步结合抛物线的性质判断下降过程对应的x的范围，筛选出符合要求的解即可。
【解析】
将$y=2.4$代入抛物线解析式$y=-0.1(x-3)^2 +2.5$，可得：
$\begin{aligned}2.4&=-0.1(x-3)^2 +2.5\\0.1(x-3)^2&=2.5 - 2.4\\0.1(x-3)^2&=0.1\\(x-3)^2&=1\\x-3&=\pm1\end{aligned}$
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
该抛物线二次项系数为$-0.1＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=3$，因此当$x＞3$时，y随x的增大而减小，对应铅球的下降过程，因此取$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；二次函数的增减性
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的基础应用，解题时需注意先将已知函数值代入解析式求自变量，再结合实际场景的限制和二次函数的性质对解进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际场景中的应用，解题思路如下：首先题目给出了铅球高度y与水平距离x的二次函数解析式，要求下降过程中高度为2.4m时的水平距离，第一步我们可以将y=2.4代入函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解出x的两个可能值；第二步结合抛物线的性质判断下降过程对应的x的范围，筛选出符合要求的解即可。
【解析】
将$y=2.4$代入抛物线解析式$y=-0.1(x-3)^2 +2.5$，可得：
$\begin{aligned}2.4&=-0.1(x-3)^2 +2.5\\0.1(x-3)^2&=2.5 - 2.4\\0.1(x-3)^2&=0.1\\(x-3)^2&=1\\x-3&=\pm1\end{aligned}$
解得$x_1=4$，$x_2=2$。
该抛物线二次项系数为$-0.1＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=3$，因此当$x＞3$时，y随x的增大而减小，对应铅球的下降过程，因此取$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的应用；解一元二次方程；二次函数的增减性
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的基础应用，解题时需注意先将已知函数值代入解析式求自变量，再结合实际场景的限制和二次函数的性质对解进行筛选，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
20.某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg。经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示。
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润=(销售价格－采购价格)×销售量]
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？[销售利润=(销售价格－采购价格)×销售量]
答案
20.解:(1)当$22≤x≤30$时,设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b$。
将$(22,48),(30,40)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}22k+b=48,\\30k+b=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=70。\end{cases}$
∴$y=-x+70$。
当$30＜x≤45$时,设$y$关于$x$的函数表达式为$y=mx+n$。
将$(30,40),(45,10)$代入$y=mx+n$,得
$\begin{cases}30m+n=40,\\45m+n=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\n=100。\end{cases}$
∴$y=-2x+100$。
综上,$y$关于$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}-x+70(22≤x≤30),\\-2x+100(30＜x≤45)。\end{cases}$
(2)设利润为$w$元。
当$22≤x≤30$时,$w=(x-20)(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$。
∴当$x=30$时,$w$取得最大值,最大值为400。
当$30＜x≤45$时,$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$。
∴当$x=35$时,$w$取得最大值,最大值为450。
∵$450＞400$，
∴当销售价格定为35元/kg时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大,最大销售利润为450元。
将$(22,48),(30,40)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}22k+b=48,\\30k+b=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=70。\end{cases}$
∴$y=-x+70$。
当$30＜x≤45$时,设$y$关于$x$的函数表达式为$y=mx+n$。
将$(30,40),(45,10)$代入$y=mx+n$,得
$\begin{cases}30m+n=40,\\45m+n=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\n=100。\end{cases}$
∴$y=-2x+100$。
综上,$y$关于$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}-x+70(22≤x≤30),\\-2x+100(30＜x≤45)。\end{cases}$
(2)设利润为$w$元。
当$22≤x≤30$时,$w=(x-20)(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$。
∴当$x=30$时,$w$取得最大值,最大值为400。
当$30＜x≤45$时,$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$。
∴当$x=35$时,$w$取得最大值,最大值为450。
∵$450＞400$，
∴当销售价格定为35元/kg时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大,最大销售利润为450元。
解析
【分析】
(1) 观察图象可知销售量y是销售价格x的分段一次函数，分为$22≤x≤30$和$30＜x≤45$两段，分别取每段上的两个已知点坐标，用待定系数法代入一次函数通式，解二元一次方程组即可求出各段的函数表达式，最后合并为分段函数形式。
(2) 根据销售利润公式，分两段分别列出利润w关于x的二次函数表达式，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围，求出每段内的最大利润，再比较两段最大值，取较大值即为所求的最大利润，对应x就是最优售价。
【解析】
(1) 分两段求解函数表达式：
① 当$22≤ x≤30$时，设$y=kx+b$，将$(22,48)$、$(30,40)$代入得：
$\begin{cases}22k+b=48\\30k+b=40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=70\end{cases}$，
∴此段表达式为$y=-x+70$；
② 当$30＜x≤45$时，设$y=mx+n$，将$(30,40)$、$(45,10)$代入得：
$\begin{cases}30m+n=40\\45m+n=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2\\n=100\end{cases}$，
∴此段表达式为$y=-2x+100$；
综上，$y$关于$x$的函数表达式为：
$y=\begin{cases}-x+70&(22≤ x≤30)\\-2x+100&(30＜x≤45)\end{cases}$。
(2) 设每天销售利润为$w$元，分两段计算：
① 当$22≤ x≤30$时：
$w=(x-20)(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=45$，在$22≤ x≤30$范围内w随x增大而增大，
∴当$x=30$时，$w$取最大值，$w_{\mathrm{max}}=400$；
② 当$30＜x≤45$时：
$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$，
该二次函数开口向下，对称轴$x=35$在取值范围内，
∴当$x=35$时，$w$取最大值，$w_{\mathrm{max}}=450$；
∵$450＞400$，因此售价为35元/kg时利润最大。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}-x+70&(22≤ x≤30)\\-2x+100&(30＜x≤45)\end{cases}$；
(2) 当销售价格定为35元/kg时，最大销售利润为450元。
【知识点】
待定系数法求一次函数，二次函数最值应用，分段函数求解
【点评】
本题是常见的销售类实际应用综合题，需要注意分段函数的自变量取值范围，求二次函数最值时要结合定义域判断，不能直接取对称轴计算，对学生的分类讨论能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图象可知销售量y是销售价格x的分段一次函数，分为$22≤x≤30$和$30＜x≤45$两段，分别取每段上的两个已知点坐标，用待定系数法代入一次函数通式，解二元一次方程组即可求出各段的函数表达式，最后合并为分段函数形式。
(2) 根据销售利润公式，分两段分别列出利润w关于x的二次函数表达式，结合二次函数的开口方向、对称轴以及自变量的取值范围，求出每段内的最大利润，再比较两段最大值，取较大值即为所求的最大利润，对应x就是最优售价。
【解析】
(1) 分两段求解函数表达式：
① 当$22≤ x≤30$时，设$y=kx+b$，将$(22,48)$、$(30,40)$代入得：
$\begin{cases}22k+b=48\\30k+b=40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=70\end{cases}$，
∴此段表达式为$y=-x+70$；
② 当$30＜x≤45$时，设$y=mx+n$，将$(30,40)$、$(45,10)$代入得：
$\begin{cases}30m+n=40\\45m+n=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2\\n=100\end{cases}$，
∴此段表达式为$y=-2x+100$；
综上，$y$关于$x$的函数表达式为：
$y=\begin{cases}-x+70&(22≤ x≤30)\\-2x+100&(30＜x≤45)\end{cases}$。
(2) 设每天销售利润为$w$元，分两段计算：
① 当$22≤ x≤30$时：
$w=(x-20)(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$，
该二次函数开口向下，对称轴为$x=45$，在$22≤ x≤30$范围内w随x增大而增大，
∴当$x=30$时，$w$取最大值，$w_{\mathrm{max}}=400$；
② 当$30＜x≤45$时：
$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$，
该二次函数开口向下，对称轴$x=35$在取值范围内，
∴当$x=35$时，$w$取最大值，$w_{\mathrm{max}}=450$；
∵$450＞400$，因此售价为35元/kg时利润最大。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}-x+70&(22≤ x≤30)\\-2x+100&(30＜x≤45)\end{cases}$；
(2) 当销售价格定为35元/kg时，最大销售利润为450元。
【知识点】
待定系数法求一次函数，二次函数最值应用，分段函数求解
【点评】
本题是常见的销售类实际应用综合题，需要注意分段函数的自变量取值范围，求二次函数最值时要结合定义域判断，不能直接取对称轴计算，对学生的分类讨论能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
