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2. 求下列各式的值：
(1) $\sqrt[3]{8} · \sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}$；
(2) $-\sqrt[3]{(-2)^3} ÷ \sqrt{2\dfrac{1}{4}} + \sqrt{(-1)^{100}}$。
(1) $\sqrt[3]{8} · \sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}$；
(2) $-\sqrt[3]{(-2)^3} ÷ \sqrt{2\dfrac{1}{4}} + \sqrt{(-1)^{100}}$。
答案
解：
(1) 原式 $=2×(-\dfrac{1}{4})$
$=-\dfrac{1}{2}$
(2) 原式 $=-(-2)÷\sqrt{\dfrac{9}{4}}+\sqrt{1}$
$=2÷\dfrac{3}{2}+1$
$=2×\dfrac{2}{3}+1$
$=\dfrac{4}{3}+1$
$=\dfrac{7}{3}$
(1) 原式 $=2×(-\dfrac{1}{4})$
$=-\dfrac{1}{2}$
(2) 原式 $=-(-2)÷\sqrt{\dfrac{9}{4}}+\sqrt{1}$
$=2÷\dfrac{3}{2}+1$
$=2×\dfrac{2}{3}+1$
$=\dfrac{4}{3}+1$
$=\dfrac{7}{3}$
解析
【分析】
这两道题属于实数运算类题目，解题思路清晰：
(1) 为两个立方根的乘法运算，我们可先根据立方根的性质分别化简两个立方根：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，且$\sqrt[3]{a^3}=a$，化简后再计算乘积即可。
(2) 为包含乘方、开立方、开平方、除法、加法的混合运算，需严格遵循运算优先级：先计算乘方和开方运算，再计算除法，最后计算加法。注意开平方前若被开方数是带分数，要先转化为假分数再开方，同时注意运算过程中的符号处理。
【解析】
(1) 先分别化简两个立方根：
因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；因为$(-\dfrac{1}{4})^3=-\dfrac{1}{64}$，所以$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}=-\dfrac{1}{4}$。
原式$=2×(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 先计算所有乘方、开方部分：
$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$，所以$-\sqrt[3]{(-2)^3}=-(-2)=2$；
将带分数$2\dfrac{1}{4}$化为假分数$\dfrac{9}{4}$，则$\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$；
$(-1)^{100}=1$，所以$\sqrt{(-1)^{100}}=\sqrt{1}=1$。
再按顺序计算：
原式$=2÷\dfrac{3}{2}+1=2×\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{7}{3}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}$；(2) $\dfrac{7}{3}$
【知识点】
立方根的化简，平方根的化简，实数混合运算
【点评】
本题主要考查平方根、立方根的运算性质和实数四则混合运算的规则，解题时要注意开方运算的符号判断，带分数需先化为假分数再进行开方，运算时严格按照“先乘方开方，后乘除，最后加减”的顺序计算，避免因符号或运算顺序失误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于实数运算类题目，解题思路清晰：
(1) 为两个立方根的乘法运算，我们可先根据立方根的性质分别化简两个立方根：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，且$\sqrt[3]{a^3}=a$，化简后再计算乘积即可。
(2) 为包含乘方、开立方、开平方、除法、加法的混合运算，需严格遵循运算优先级：先计算乘方和开方运算，再计算除法，最后计算加法。注意开平方前若被开方数是带分数，要先转化为假分数再开方，同时注意运算过程中的符号处理。
【解析】
(1) 先分别化简两个立方根：
因为$2^3=8$，所以$\sqrt[3]{8}=2$；因为$(-\dfrac{1}{4})^3=-\dfrac{1}{64}$，所以$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{64}}=-\dfrac{1}{4}$。
原式$=2×(-\dfrac{1}{4})=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 先计算所有乘方、开方部分：
$\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$，所以$-\sqrt[3]{(-2)^3}=-(-2)=2$；
将带分数$2\dfrac{1}{4}$化为假分数$\dfrac{9}{4}$，则$\sqrt{2\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$；
$(-1)^{100}=1$，所以$\sqrt{(-1)^{100}}=\sqrt{1}=1$。
再按顺序计算：
原式$=2÷\dfrac{3}{2}+1=2×\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{7}{3}$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}$；(2) $\dfrac{7}{3}$
【知识点】
立方根的化简，平方根的化简，实数混合运算
【点评】
本题主要考查平方根、立方根的运算性质和实数四则混合运算的规则，解题时要注意开方运算的符号判断，带分数需先化为假分数再进行开方，运算时严格按照“先乘方开方，后乘除，最后加减”的顺序计算，避免因符号或运算顺序失误失分。
【难度系数】
0.8
3. 求下列各式中$x$的值:
(1) $(x+2)^3 +1=0$;
(2) $\frac{1}{4}(2x+3)^3=54$.
(1) $(x+2)^3 +1=0$;
(2) $\frac{1}{4}(2x+3)^3=54$.
答案
解：
(1) 移项，得
$(x+2)^3 = -1$
两边同时开立方，得
$x+2 = \sqrt[3]{-1} = -1$
解得
$x = -3$
(2) 两边同时乘以4，得
$(2x+3)^3 = 216$
两边同时开立方，得
$2x+3 = \sqrt[3]{216} = 6$
移项整理得 $2x = 3$
解得
$x = \frac{3}{2}$
(1) 移项，得
$(x+2)^3 = -1$
两边同时开立方，得
$x+2 = \sqrt[3]{-1} = -1$
解得
$x = -3$
(2) 两边同时乘以4，得
$(2x+3)^3 = 216$
两边同时开立方，得
$2x+3 = \sqrt[3]{216} = 6$
移项整理得 $2x = 3$
解得
$x = \frac{3}{2}$
解析
【分析】
这两道题都是含三次幂的方程，解题核心是先将含未知数的三次幂项单独整理到等式一侧，转化为“一个整式的立方等于常数”的形式，再利用开立方运算将三次方程降为一元一次方程，最后解一元一次方程即可得到x的值。具体步骤上，第(1)题先移项把常数项移到等号右侧，第(2)题先消去三次项的系数，再统一开立方降次求解。
【解析】
(1) 移项，得
$(x+2)^3 = -1$
两边同时开立方，得
$x+2 = \sqrt[3]{-1} = -1$
解得
$x = -3$
(2) 两边同时乘以4，得
$(2x+3)^3 = 216$
两边同时开立方，得
$2x+3 = \sqrt[3]{216} = 6$
移项整理得 $2x = 3$
解得
$x = \frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x=-3$；(2) $x=\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对立方根性质的掌握，解题关键是将括号内的多项式看作整体，通过开立方将三次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，计算量小，掌握立方根的基本运算即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题都是含三次幂的方程，解题核心是先将含未知数的三次幂项单独整理到等式一侧，转化为“一个整式的立方等于常数”的形式，再利用开立方运算将三次方程降为一元一次方程，最后解一元一次方程即可得到x的值。具体步骤上，第(1)题先移项把常数项移到等号右侧，第(2)题先消去三次项的系数，再统一开立方降次求解。
【解析】
(1) 移项，得
$(x+2)^3 = -1$
两边同时开立方，得
$x+2 = \sqrt[3]{-1} = -1$
解得
$x = -3$
(2) 两边同时乘以4，得
$(2x+3)^3 = 216$
两边同时开立方，得
$2x+3 = \sqrt[3]{216} = 6$
移项整理得 $2x = 3$
解得
$x = \frac{3}{2}$
【答案】
(1) $x=-3$；(2) $x=\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的运算，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查对立方根性质的掌握，解题关键是将括号内的多项式看作整体，通过开立方将三次方程转化为熟悉的一元一次方程求解，计算量小，掌握立方根的基本运算即可得分。
【难度系数】
0.8
在做浮力实验时,小华用一根细线将一正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中,并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为$50.65\ \mathrm{cm}^3$,小华又将铁块从烧杯中提起,量得烧杯中的水位下降了$0.62\ \mathrm{cm}$.
(1)求铁块的棱长;(用计算器计算,结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$)
(2)求烧杯内部的底面半径.(用计算器计算,结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$)
(1)求铁块的棱长;(用计算器计算,结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$)
(2)求烧杯内部的底面半径.(用计算器计算,结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$)
答案
解：
(1) 设正方体铁块的棱长为$ a\ \mathrm{cm} $。
由题意可知，正方体铁块的体积等于被排开的水的体积，因此：
$ a^3 = 50.65 $
$ a = \sqrt[3]{50.65} \approx 3.7 $
(2) 设烧杯内部的底面半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
由题意可知，烧杯中水位下降部分的水的体积等于被排开的水的体积，根据圆柱体积公式：
$ π r^2 · 0.62 = 50.65 $
变形得：
$ r^2 = \frac{50.65}{0.62π} $
$ r = \sqrt{\frac{50.65}{0.62π}} \approx 5.1 $
答：铁块的棱长约为3.7 cm，烧杯内部的底面半径约为5.1 cm。
(1) 设正方体铁块的棱长为$ a\ \mathrm{cm} $。
由题意可知，正方体铁块的体积等于被排开的水的体积，因此：
$ a^3 = 50.65 $
$ a = \sqrt[3]{50.65} \approx 3.7 $
(2) 设烧杯内部的底面半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
由题意可知，烧杯中水位下降部分的水的体积等于被排开的水的体积，根据圆柱体积公式：
$ π r^2 · 0.62 = 50.65 $
变形得：
$ r^2 = \frac{50.65}{0.62π} $
$ r = \sqrt{\frac{50.65}{0.62π}} \approx 5.1 $
答：铁块的棱长约为3.7 cm，烧杯内部的底面半径约为5.1 cm。
解析
【分析】
本题可通过等积关系逐一求解两个问题：
(1) 正方体铁块完全浸入水中，排开水的体积与铁块体积相等，正方体体积为棱长的立方，因此对排开的水的体积开立方即可求得铁块棱长；
(2) 取出铁块后，烧杯内水位下降部分的圆柱体积等于排开的水的体积，结合圆柱体积=底面积×高的公式列方程，对半径的平方开平方取正根即可得到烧杯底面半径，计算时注意结果需精确到0.1cm。
【解析】
(1) 设正方体铁块的棱长为$a\ \mathrm{cm}$。
由题意可知，完全浸没时铁块体积等于排开水的体积，因此：
$a^3 = 50.65$
开立方得$a = \sqrt[3]{50.65} \approx 3.7$
(2) 设烧杯内部的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$。
由题意可知，烧杯中水位下降部分的圆柱体积等于排开的水的体积，根据圆柱体积公式可得：
$π r^2 · 0.62 = 50.65$
变形得：
$r^2 = \frac{50.65}{0.62π}$
因为半径为正数，因此$r = \sqrt{\frac{50.65}{0.62π}} \approx 5.1$
【答案】
铁块的棱长约为3.7 cm，烧杯内部的底面半径约为5.1 cm
【知识点】
立方根运算，平方根运算，体积公式应用
【点评】
本题结合浮力实验的实际场景，考查平方根、立方根在实际问题中的应用，解题核心是找准不同形态下的体积等量关系，计算时需注意精确度的要求，需细心运算避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题可通过等积关系逐一求解两个问题：
(1) 正方体铁块完全浸入水中，排开水的体积与铁块体积相等，正方体体积为棱长的立方，因此对排开的水的体积开立方即可求得铁块棱长；
(2) 取出铁块后，烧杯内水位下降部分的圆柱体积等于排开的水的体积，结合圆柱体积=底面积×高的公式列方程，对半径的平方开平方取正根即可得到烧杯底面半径，计算时注意结果需精确到0.1cm。
【解析】
(1) 设正方体铁块的棱长为$a\ \mathrm{cm}$。
由题意可知，完全浸没时铁块体积等于排开水的体积，因此：
$a^3 = 50.65$
开立方得$a = \sqrt[3]{50.65} \approx 3.7$
(2) 设烧杯内部的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$。
由题意可知，烧杯中水位下降部分的圆柱体积等于排开的水的体积，根据圆柱体积公式可得：
$π r^2 · 0.62 = 50.65$
变形得：
$r^2 = \frac{50.65}{0.62π}$
因为半径为正数，因此$r = \sqrt{\frac{50.65}{0.62π}} \approx 5.1$
【答案】
铁块的棱长约为3.7 cm，烧杯内部的底面半径约为5.1 cm
【知识点】
立方根运算，平方根运算，体积公式应用
【点评】
本题结合浮力实验的实际场景，考查平方根、立方根在实际问题中的应用，解题核心是找准不同形态下的体积等量关系，计算时需注意精确度的要求，需细心运算避免计算失误。
【难度系数】
0.7
