三、解答题(共52分)
9.(12分)如图，AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB//CD,BO=6 cm,CO=8 cm.
(1)求BC的长；
(2)求⊙O的半径长.

9.解:(1)
∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB.
∵AB//CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠BOC=90°.
∵OB=6 cm,OC=8 cm,
∴BC=$\sqrt{6^2+8^2}$=10(cm).
(2)如答图,连接OF.
∵BC与⊙O相切于点F,
∴OF⊥BC,
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC· OF$,
∴6×8=10OF,解得OF=$\frac{24}{5}$,即⊙O的半径为$\frac{24}{5}$ cm.

10.(12分)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，点E在$\odot O$上，C是$\overset{\frown}{BE}$的中点，$AE⊥ CD$，垂足为D，DC的延长线交AB的延长线于点F.
(1)求证:$CD$是$\odot O$的切线；
(2)若$CD=\sqrt{3}$，$∠ ABC=60°$，求线段AF的长.

10.(1)证明:如答图,连接OC.
∵C是$\overset{\frown}{BE}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$,
∴∠BAC=∠CAE.
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠OCA=∠CAD,
∴OC//AD.
∵AE⊥CD,
∴OC⊥DF.
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.

(2)解:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°,
∴∠CAD=∠BAC=30°.
∵AD⊥CD,
∴∠D=90°.
∵CD=$\sqrt{3}$,
∴AC=$2\sqrt{3}$,$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=3$.
∵∠F=180°-∠D-∠BAD=30°,
∴AF=2AD=6.

11.(14分)如图,直线MN与⊙O相离,过圆心O作OA⊥MN于点A,OA交⊙O于点B,点C在⊙O上,连接CB并延长交直线MN于点D,连接AC,AC=AD.判断AC与⊙O的位置关系,并说明理由.

11.解:AC与⊙O相切,理由如下:
连接OC,如答图.
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC.
又
∵OA⊥MN,
∴∠OAD=90°,
∴∠ADC+∠ABD=90°.
∵∠ABD=∠OBC,
∴∠OCB+∠ACD=90°,
即OC⊥AC.
∵OC是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线.

12.(14分)(2025·湖北)如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ BAC=45°$.过点$O$作$DF ⊥ AB$，垂足为$E$，交$AC$于点$D$，交$\odot O$于点$F$.过点$F$作$\odot O$的切线，交$CA$的延长线于点$G$.
(1)求证:$FD=FG$；
(2)若$AB=12$，$FG=10$，求$\odot O$的半径.

12.(1)证明:
∵DF⊥AB,GF是⊙O的切线,即DF⊥GF,
∴AB//GF,
∴∠BAC=∠G=45°,
∴∠FDG=90°-45°=45°,即△DFG是等腰直角三角形,
∴FD=FG.
(2)解:
∵DF⊥AB,
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6.
∵∠BAC=45°,
∴∠ADE=90°-45°=45°,即△ADE是等腰直角三角形,
∴EA=ED=6.
由(1)得FD=FG=10,
∴EF=DF-DE=10-6=4.
如答图所示,连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA,

∴在Rt△AOE中,$OA^2=AE^2+OE^2$,
∴$(x+4)^2=6^2+x^2$,解得$x=\frac{5}{2}$.
∴OA=$x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$,
∴⊙O的半径为$\frac{13}{2}$.