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三、解答题(共52分)
9.(12分)如图，AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB//CD,BO=6 cm,CO=8 cm.
(1)求BC的长；
(2)求⊙O的半径长.
9.(12分)如图，AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB//CD,BO=6 cm,CO=8 cm.
(1)求BC的长；
(2)求⊙O的半径长.
答案
9.解:(1)
∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB.
∵AB//CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠BOC=90°.
∵OB=6 cm,OC=8 cm,
∴BC=$\sqrt{6^2+8^2}$=10(cm).
(2)如答图,连接OF.
∵BC与⊙O相切于点F,
∴OF⊥BC,
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC· OF$,
∴6×8=10OF,解得OF=$\frac{24}{5}$,即⊙O的半径为$\frac{24}{5}$ cm.
解析
【分析】
(1) 求解BC的长度：首先根据切线长定理的推论，可得BO平分∠ABC、CO平分∠DCB；再结合AB//CD的性质，同旁内角互补，可推出∠OBC与∠OCB的和为90°，即△BOC是直角三角形，最后代入OB、OC的长度，用勾股定理即可计算BC的长。
(2) 求解⊙O的半径：BC是⊙O的切线，根据切线的性质，连接切点F和圆心O可得OF⊥BC，OF就是⊙O的半径；此时△BOC的面积可以用两种方法计算：以OB、OC为直角边计算，或以BC为底、OF为高计算，利用等面积法列等式即可求出OF的长度。
【解析】
(1)
∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB.
∵AB//CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴∠BOC=90°.
∵OB=6 cm,OC=8 cm,
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{OB^2+OC^2}$=$\sqrt{6^2+8^2}$=10(cm).
(2) 如答图，连接OF.
∵BC与⊙O相切于点F,
∴OF⊥BC,
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC· OF$,
代入数值得：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×OF$,
解得OF=$\frac{24}{5}$，即⊙O的半径为$\frac{24}{5}$ cm.
【答案】
(1) BC的长为10 cm；
(2) ⊙O的半径长为$\frac{24}{5}$ cm.
【知识点】
切线的性质；勾股定理；等面积法
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是先通过切线性质和平行线性质判断出△BOC为直角三角形，再灵活运用等面积法求解半径，掌握圆的切线相关基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解BC的长度：首先根据切线长定理的推论，可得BO平分∠ABC、CO平分∠DCB；再结合AB//CD的性质，同旁内角互补，可推出∠OBC与∠OCB的和为90°，即△BOC是直角三角形，最后代入OB、OC的长度，用勾股定理即可计算BC的长。
(2) 求解⊙O的半径：BC是⊙O的切线，根据切线的性质，连接切点F和圆心O可得OF⊥BC，OF就是⊙O的半径；此时△BOC的面积可以用两种方法计算：以OB、OC为直角边计算，或以BC为底、OF为高计算，利用等面积法列等式即可求出OF的长度。
【解析】
(1)
∵AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB=$\frac{1}{2}$∠DCB.
∵AB//CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴∠BOC=90°.
∵OB=6 cm,OC=8 cm,
∴在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{OB^2+OC^2}$=$\sqrt{6^2+8^2}$=10(cm).
(2) 如答图，连接OF.
∵BC与⊙O相切于点F,
∴OF⊥BC,
∴$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}BC· OF$,
代入数值得：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×OF$,
解得OF=$\frac{24}{5}$，即⊙O的半径为$\frac{24}{5}$ cm.
【答案】
(1) BC的长为10 cm；
(2) ⊙O的半径长为$\frac{24}{5}$ cm.
【知识点】
切线的性质；勾股定理；等面积法
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是先通过切线性质和平行线性质判断出△BOC为直角三角形，再灵活运用等面积法求解半径，掌握圆的切线相关基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
10.(12分)如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，点E在$\odot O$上，C是$\overset{\frown}{BE}$的中点，$AE⊥ CD$，垂足为D，DC的延长线交AB的延长线于点F.
(1)求证:$CD$是$\odot O$的切线；
(2)若$CD=\sqrt{3}$，$∠ ABC=60°$，求线段AF的长.
(1)求证:$CD$是$\odot O$的切线；
(2)若$CD=\sqrt{3}$，$∠ ABC=60°$，求线段AF的长.
答案
10.(1)证明:如答图,连接OC.
∵C是$\overset{\frown}{BE}$的中点,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$,
∴∠BAC=∠CAE.
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠OCA=∠CAD,
∴OC//AD.
∵AE⊥CD,
∴OC⊥DF.
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°,
∴∠CAD=∠BAC=30°.
∵AD⊥CD,
∴∠D=90°.
∵CD=$\sqrt{3}$,
∴AC=$2\sqrt{3}$,$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=3$.
∵∠F=180°-∠D-∠BAD=30°,
∴AF=2AD=6.
解析
【分析】
(1) 证明切线的核心思路是“连半径，证垂直”，因此首先连接OC。由C是弧BE中点可得等弧对应的圆周角相等，即∠BAC=∠CAE；再结合OC=OA得到等腰三角形两底角相等，可推出OC与AD平行，结合AD⊥CD的条件即可得到OC⊥CD，满足切线的判定条件。
(2) 求AF长度先利用直径的性质：直径所对圆周角为直角，得到Rt△ACB，结合已知∠ABC=60°可推得∠BAC=∠CAD=30°；在Rt△ADC中利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质算出AC、AD的长，再推导∠F为30°，最后在Rt△ADF中利用30°角的性质求出AF。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接OC。
∵C是$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠BAC=∠CAE。
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC//AD。
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF。
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
(2) 解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠BAC=30°。
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°。
∵CD=$\sqrt{3}$，
∴AC=$2\sqrt{3}$，$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=3$。
∵∠F=180°-∠D-∠BAD=30°，
∴AF=2AD=6。
【答案】
(1) CD是⊙O的切线，证明见上述过程；(2) $\boldsymbol{AF=6}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题时要牢记切线判定的常用辅助线作法，同时熟练掌握圆的相关性质和特殊直角三角形的边角关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 证明切线的核心思路是“连半径，证垂直”，因此首先连接OC。由C是弧BE中点可得等弧对应的圆周角相等，即∠BAC=∠CAE；再结合OC=OA得到等腰三角形两底角相等，可推出OC与AD平行，结合AD⊥CD的条件即可得到OC⊥CD，满足切线的判定条件。
(2) 求AF长度先利用直径的性质：直径所对圆周角为直角，得到Rt△ACB，结合已知∠ABC=60°可推得∠BAC=∠CAD=30°；在Rt△ADC中利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质算出AC、AD的长，再推导∠F为30°，最后在Rt△ADF中利用30°角的性质求出AF。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接OC。
∵C是$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CE}$，
∴∠BAC=∠CAE。
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC//AD。
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF。
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
(2) 解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠CAD=∠BAC=30°。
∵AD⊥CD，
∴∠D=90°。
∵CD=$\sqrt{3}$，
∴AC=$2\sqrt{3}$，$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=3$。
∵∠F=180°-∠D-∠BAD=30°，
∴AF=2AD=6。
【答案】
(1) CD是⊙O的切线，证明见上述过程；(2) $\boldsymbol{AF=6}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题时要牢记切线判定的常用辅助线作法，同时熟练掌握圆的相关性质和特殊直角三角形的边角关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11.(14分)如图,直线MN与⊙O相离,过圆心O作OA⊥MN于点A,OA交⊙O于点B,点C在⊙O上,连接CB并延长交直线MN于点D,连接AC,AC=AD.判断AC与⊙O的位置关系,并说明理由.
答案
11.解:AC与⊙O相切,理由如下:
连接OC,如答图.
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC.
又
∵OA⊥MN,
∴∠OAD=90°,
∴∠ADC+∠ABD=90°.
∵∠ABD=∠OBC,
∴∠OCB+∠ACD=90°,
即OC⊥AC.
∵OC是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线.
解析
【分析】
要判断AC与⊙O的位置关系，已知点C在圆上，根据切线的判定定理，只需证明AC与过点C的半径OC垂直即可，因此第一步先作辅助线连接OC。接下来利用等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠ACD=∠ADC、∠OCB=∠OBC；再结合OA⊥MN得到的直角中两锐角互余，以及对顶角∠ABD=∠OBC，进行角的等量代换，最终可推出∠OCA=90°，即可得到OC⊥AC，完成证明。
【解析】
解：AC与⊙O相切，理由如下：
连接OC，如答图。
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC。
∵ OC=OB（同圆的半径相等），
∴ ∠OCB=∠OBC。
∵ OA⊥MN，
∴ ∠OAD=90°，
∴ ∠ADC+∠ABD=90°。
又
∵ ∠ABD=∠OBC（对顶角相等），
将∠ADC替换为∠ACD，∠OBC替换为∠OCB，代入得：
∠OCB + ∠ACD = 90°，即∠OCA=90°，
∴ OC⊥AC。
∵ OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线，即AC与⊙O相切。
【答案】
AC与⊙O相切,理由如下:
连接OC,如答图.
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC.
又
∵OA⊥MN,
∴∠OAD=90°,
∴∠ADC+∠ABD=90°.
∵∠ABD=∠OBC,
∴∠OCB+∠ACD=90°,
即OC⊥AC.
∵OC是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线.
【知识点】
1.切线的判定
2.等腰三角形的性质
3.直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的切线判定的基础典型题，重点考查“有切点、连半径、证垂直”的辅助线作法，解题关键是利用等腰三角形、对顶角等性质完成角的等量代换，推导得到垂直关系，是圆章节的核心考点题型。
【难度系数】
0.7
要判断AC与⊙O的位置关系，已知点C在圆上，根据切线的判定定理，只需证明AC与过点C的半径OC垂直即可，因此第一步先作辅助线连接OC。接下来利用等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠ACD=∠ADC、∠OCB=∠OBC；再结合OA⊥MN得到的直角中两锐角互余，以及对顶角∠ABD=∠OBC，进行角的等量代换，最终可推出∠OCA=90°，即可得到OC⊥AC，完成证明。
【解析】
解：AC与⊙O相切，理由如下：
连接OC，如答图。
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC。
∵ OC=OB（同圆的半径相等），
∴ ∠OCB=∠OBC。
∵ OA⊥MN，
∴ ∠OAD=90°，
∴ ∠ADC+∠ABD=90°。
又
∵ ∠ABD=∠OBC（对顶角相等），
将∠ADC替换为∠ACD，∠OBC替换为∠OCB，代入得：
∠OCB + ∠ACD = 90°，即∠OCA=90°，
∴ OC⊥AC。
∵ OC是⊙O的半径，
∴ AC是⊙O的切线，即AC与⊙O相切。
【答案】
AC与⊙O相切,理由如下:
连接OC,如答图.
∵AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC.
又
∵OA⊥MN,
∴∠OAD=90°,
∴∠ADC+∠ABD=90°.
∵∠ABD=∠OBC,
∴∠OCB+∠ACD=90°,
即OC⊥AC.
∵OC是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线.
【知识点】
1.切线的判定
2.等腰三角形的性质
3.直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的切线判定的基础典型题，重点考查“有切点、连半径、证垂直”的辅助线作法，解题关键是利用等腰三角形、对顶角等性质完成角的等量代换，推导得到垂直关系，是圆章节的核心考点题型。
【难度系数】
0.7
12.(14分)(2025·湖北)如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ BAC=45°$.过点$O$作$DF ⊥ AB$，垂足为$E$，交$AC$于点$D$，交$\odot O$于点$F$.过点$F$作$\odot O$的切线，交$CA$的延长线于点$G$.
(1)求证:$FD=FG$；
(2)若$AB=12$，$FG=10$，求$\odot O$的半径.
(1)求证:$FD=FG$；
(2)若$AB=12$，$FG=10$，求$\odot O$的半径.
答案
12.(1)证明:
∵DF⊥AB,GF是⊙O的切线,即DF⊥GF,
∴AB//GF,
∴∠BAC=∠G=45°,
∴∠FDG=90°-45°=45°,即△DFG是等腰直角三角形,
∴FD=FG.
(2)解:
∵DF⊥AB,
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6.
∵∠BAC=45°,
∴∠ADE=90°-45°=45°,即△ADE是等腰直角三角形,
∴EA=ED=6.
由(1)得FD=FG=10,
∴EF=DF-DE=10-6=4.
如答图所示,连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA,
∴在Rt△AOE中,$OA^2=AE^2+OE^2$,
∴$(x+4)^2=6^2+x^2$,解得$x=\frac{5}{2}$.
∴OA=$x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$,
∴⊙O的半径为$\frac{13}{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明FD=FG，可通过证明△DFG为等腰直角三角形实现：首先根据切线的性质可得GF⊥DF，结合已知DF⊥AB，可推出AB//GF，进而得到∠G=∠BAC=45°，即可得到∠G=∠FDG，从而得出FD=FG。
(2) 求⊙O的半径，可利用勾股定理构造方程求解：首先根据垂径定理得到AE的长度，再由∠BAC=45°推出△ADE为等腰直角三角形，得到DE的长度，结合FD=FG=10算出EF的长度；连接OA，设OE为x，用含x的式子表示半径OA，再在Rt△AOE中根据勾股定理列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明:
∵DF⊥AB,GF是⊙O的切线,即DF⊥GF,
∴AB//GF,
∴∠BAC=∠G=45°,
∴∠FDG=90°-45°=45°,即△DFG是等腰直角三角形,
∴FD=FG。
(2) 解:
∵DF⊥AB,
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6。
∵∠BAC=45°,
∴∠ADE=90°-45°=45°,即△ADE是等腰直角三角形,
∴EA=ED=6。
由(1)得FD=FG=10,
∴EF=DF-DE=10-6=4。
如答图所示,连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA,
∴在Rt△AOE中,$OA^2=AE^2+OE^2$,
∴$(x+4)^2=6^2+x^2$,解得$x=\frac{5}{2}$。
∴OA=$x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$,
∴⊙O的半径为$\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) FD=FG得证；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{2}$。
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与等腰直角三角形的判定及性质，解题时注意辅助线的构造，通过勾股定理列方程是求解圆半径的常用方法，属于圆类题型的常规考法。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明FD=FG，可通过证明△DFG为等腰直角三角形实现：首先根据切线的性质可得GF⊥DF，结合已知DF⊥AB，可推出AB//GF，进而得到∠G=∠BAC=45°，即可得到∠G=∠FDG，从而得出FD=FG。
(2) 求⊙O的半径，可利用勾股定理构造方程求解：首先根据垂径定理得到AE的长度，再由∠BAC=45°推出△ADE为等腰直角三角形，得到DE的长度，结合FD=FG=10算出EF的长度；连接OA，设OE为x，用含x的式子表示半径OA，再在Rt△AOE中根据勾股定理列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明:
∵DF⊥AB,GF是⊙O的切线,即DF⊥GF,
∴AB//GF,
∴∠BAC=∠G=45°,
∴∠FDG=90°-45°=45°,即△DFG是等腰直角三角形,
∴FD=FG。
(2) 解:
∵DF⊥AB,
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6。
∵∠BAC=45°,
∴∠ADE=90°-45°=45°,即△ADE是等腰直角三角形,
∴EA=ED=6。
由(1)得FD=FG=10,
∴EF=DF-DE=10-6=4。
如答图所示,连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA,
∴在Rt△AOE中,$OA^2=AE^2+OE^2$,
∴$(x+4)^2=6^2+x^2$,解得$x=\frac{5}{2}$。
∴OA=$x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$,
∴⊙O的半径为$\frac{13}{2}$。
【答案】
(1) FD=FG得证；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{2}$。
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题综合考查了圆的相关性质与等腰直角三角形的判定及性质，解题时注意辅助线的构造，通过勾股定理列方程是求解圆半径的常用方法，属于圆类题型的常规考法。
【难度系数】
0.6
