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3.如图，AB为$\odot O$的直径，弦CD交AB于点E，$CA = CE$，若$∠ ACE = 50°$，则$∠ CBD$的大小为（
A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$82.5°$
C
）。A.$65°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$82.5°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，先根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和计算△ACE的两个底角度数；第二步，利用直径所对圆周角是直角的性质，计算∠ABC和∠BCD的度数，再根据同弧所对圆周角相等得到∠BDC的度数；第三步，在△BCD中用三角形内角和即可求出∠CBD的大小。
【解析】
1. 在$△ ACE$中，已知$CA=CE$，$∠ ACE=50°$，根据等腰三角形性质及三角形内角和：
$∠ CAE=∠ CEA=\frac{180°-∠ ACE}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$
2. 因为$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，得$∠ ACB=90°$：
$∠ ABC=90°-∠ CAE=90°-65°=25°$
$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACE=90°-50°=40°$
3. $∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等：
$∠ BDC=∠ BAC=65°$
4. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ CBD=180°-∠ BDC-∠ BCD=180°-65°-40°=75°$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、圆周角定理、三角形内角和
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础综合题，核心是熟练运用圆周角的两个常用结论：直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等，再结合三角形的基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.65
解题可分三步思考：第一步，先根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和计算△ACE的两个底角度数；第二步，利用直径所对圆周角是直角的性质，计算∠ABC和∠BCD的度数，再根据同弧所对圆周角相等得到∠BDC的度数；第三步，在△BCD中用三角形内角和即可求出∠CBD的大小。
【解析】
1. 在$△ ACE$中，已知$CA=CE$，$∠ ACE=50°$，根据等腰三角形性质及三角形内角和：
$∠ CAE=∠ CEA=\frac{180°-∠ ACE}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$
2. 因为$AB$是$\odot O$的直径，根据直径所对圆周角为直角，得$∠ ACB=90°$：
$∠ ABC=90°-∠ CAE=90°-65°=25°$
$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACE=90°-50°=40°$
3. $∠ BDC$和$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等：
$∠ BDC=∠ BAC=65°$
4. 在$△ BCD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ CBD=180°-∠ BDC-∠ BCD=180°-65°-40°=75°$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、圆周角定理、三角形内角和
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础综合题，核心是熟练运用圆周角的两个常用结论：直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等，再结合三角形的基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.65
例3 如图，AB，AC分别是半圆O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P。连接PC并延长与AB的延长线交于点F。
(1)求证:PC是半圆O的切线；
(2)若∠CAB＝30°,AB＝10,求线段BF的长。
思路导引
（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）依据切线的性质定理可知OC⊥PF，然后通过解直角三角形求得OF的长，再减去圆的半径即可。
归纳总结
在解与切线有关的问题时，若已知切线，则常需要连半径得垂直；若要证明一条直线是圆的切线，最常用的思路是连半径证垂直。
跟踪练习
(1)求证:PC是半圆O的切线；
(2)若∠CAB＝30°,AB＝10,求线段BF的长。
思路导引
（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）依据切线的性质定理可知OC⊥PF，然后通过解直角三角形求得OF的长，再减去圆的半径即可。
归纳总结
在解与切线有关的问题时，若已知切线，则常需要连半径得垂直；若要证明一条直线是圆的切线，最常用的思路是连半径证垂直。
跟踪练习
答案
(1)略
(2)$BF=5$。
(2)$BF=5$。
解析
【分析】
（1）要证明PC是半圆O的切线，根据切线判定定理，需证明OC⊥PC。首先连接OC，由OD⊥AC结合垂径定理可得OD垂直平分AC，进而得到PA=PC，结合OA=OC、OP为公共边，可证△OAP≌△OCP，利用PA是切线得∠OAP=90°，由全等得∠OCP=90°即可得证。
（2）已知AB=10可得半圆半径为5，由∠CAB=30°可先求出∠COP的度数，再在Rt△OCF中利用30°角的直角三角形性质求出OF的长度，用OF减去OB的长度即可得到BF的长。
【解析】
(1) 证明：连接OC，
∵ OD⊥AC，OD过圆心O，
∴ AD=DC，即OP是AC的垂直平分线，
∴ PA=PC，
在△OAP和△OCP中：
$\{\begin{array}{l} OA=OC\\ PA=PC\\ OP=OP\end{array} $
∴ △OAP≌△OCP（SSS），
∵ AP是半圆O的切线，
∴ AP⊥OA，即∠OAP=90°，
∴ ∠OCP=∠OAP=90°，即OC⊥PC，
又
∵ OC是半圆O的半径，
∴ PC是半圆O的切线。
(2) 解：
∵ AB是半圆O的直径，AB=10，
∴ OA=OB=OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵ ∠CAB=30°，OA=OC，
∴ ∠ACO=∠CAB=30°，
∴ ∠AOC=180°-30°×2=120°，
由(1)中△OAP≌△OCP得：$∠ AOP=∠ COP=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$，
∵ PC是半圆O的切线，
∴ OC⊥PF，即∠OCF=90°，
在Rt△OCF中，∠F=90°-∠COP=30°，
∴ OF=2OC=2×5=10，
∴ BF=OF-OB=10-5=5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{BF=5}$
【知识点】
切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，考查了切线证明的常用思路和直角三角形的相关计算，熟练掌握“连半径证垂直”的切线证明方法，结合全等、直角三角形性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明PC是半圆O的切线，根据切线判定定理，需证明OC⊥PC。首先连接OC，由OD⊥AC结合垂径定理可得OD垂直平分AC，进而得到PA=PC，结合OA=OC、OP为公共边，可证△OAP≌△OCP，利用PA是切线得∠OAP=90°，由全等得∠OCP=90°即可得证。
（2）已知AB=10可得半圆半径为5，由∠CAB=30°可先求出∠COP的度数，再在Rt△OCF中利用30°角的直角三角形性质求出OF的长度，用OF减去OB的长度即可得到BF的长。
【解析】
(1) 证明：连接OC，
∵ OD⊥AC，OD过圆心O，
∴ AD=DC，即OP是AC的垂直平分线，
∴ PA=PC，
在△OAP和△OCP中：
$\{\begin{array}{l} OA=OC\\ PA=PC\\ OP=OP\end{array} $
∴ △OAP≌△OCP（SSS），
∵ AP是半圆O的切线，
∴ AP⊥OA，即∠OAP=90°，
∴ ∠OCP=∠OAP=90°，即OC⊥PC，
又
∵ OC是半圆O的半径，
∴ PC是半圆O的切线。
(2) 解：
∵ AB是半圆O的直径，AB=10，
∴ OA=OB=OC=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵ ∠CAB=30°，OA=OC，
∴ ∠ACO=∠CAB=30°，
∴ ∠AOC=180°-30°×2=120°，
由(1)中△OAP≌△OCP得：$∠ AOP=∠ COP=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$，
∵ PC是半圆O的切线，
∴ OC⊥PF，即∠OCF=90°，
在Rt△OCF中，∠F=90°-∠COP=30°，
∴ OF=2OC=2×5=10，
∴ BF=OF-OB=10-5=5。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{BF=5}$
【知识点】
切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，考查了切线证明的常用思路和直角三角形的相关计算，熟练掌握“连半径证垂直”的切线证明方法，结合全等、直角三角形性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB为$\odot O$的直径，点D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接AD，过点D作$DE⊥ AC$，交AC的延长线于点E。
(1)求证：DE是$\odot O$的切线；
(2)延长ED交AB的延长线于点F，若$BF=4$，$DF=6$，求直径AB的长。
(1)求证：DE是$\odot O$的切线；
(2)延长ED交AB的延长线于点F，若$BF=4$，$DF=6$，求直径AB的长。
答案
(1)证明:连接OD,如图①，
因为D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$。
所以$∠CAD=∠BAD$。
因为$OA=OD$，
所以$∠OAD=∠ODA$。
所以$∠CAD=∠ODA$。
所以$OD// AC$。
因为$DE⊥ AC$，
所以$OD⊥ DE$。
因为OD为$\odot O$的半径，
所以DE是$\odot O$的切线。
(2)解:如图②，
设$\odot O$的半径为r,则$OD=r$,$OF=r+4$，
因为$OD⊥ DE$，
所以$OD^2+DF^2=OF^2$。
所以$r^2+6^2=(r+4)^2$。
解得$r=\frac{5}{2}$。
所以$AB=5$。
解析
【分析】
(1)要证明DE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于过切点的半径，因此先连接OD。已知D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，由等弧所对圆周角相等可得$∠CAD=∠BAD$，再结合$OA=OD$推出$∠BAD=∠ODA$，等量代换后得到$∠CAD=∠ODA$，即可推出$OD// AC$，最后结合$DE⊥ AC$得到$OD⊥ DE$，完成切线证明。
(2)求直径AB的长，可设$\odot O$半径为r，由(1)可知$OD⊥ EF$，即$△ ODF$为直角三角形，其三边可分别用含r的式子表示，代入勾股定理列方程求解r，再乘2即可得到直径AB的长度。
【解析】
(1)证明：连接OD，如图①，
因为D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠CAD=∠BAD$。
因为$OA=OD$（同圆的半径相等），
所以$∠OAD=∠ODA$（等腰三角形两底角相等）。
所以$∠CAD=∠ODA$（等量代换），
所以$OD// AC$（内错角相等，两直线平行）。
因为$DE⊥ AC$，
所以$OD⊥ DE$（平行线的性质）。
又因为OD为$\odot O$的半径，
所以DE是$\odot O$的切线（切线的判定定理）。
(2)解：如图②，
设$\odot O$的半径为r，则$OD=r$，$OF=OB+BF=r+4$，
由(1)知$OD⊥ DE$，即$∠ ODF=90°$，
在$Rt△ ODF$中，根据勾股定理可得：$OD^2+DF^2=OF^2$，
代入数值：$r^2+6^2=(r+4)^2$，
展开化简：$r^2+36=r^2+8r+16$，
解得$r=\frac{5}{2}$，
所以直径$AB=2r=2×\frac{5}{2}=5$。
【答案】
(1)证明:连接OD,如图①，
因为D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$。
所以$∠CAD=∠BAD$。
因为$OA=OD$，
所以$∠OAD=∠ODA$。
所以$∠CAD=∠ODA$。
所以$OD// AC$。
因为$DE⊥ AC$，
所以$OD⊥ DE$。
因为OD为$\odot O$的半径，
所以DE是$\odot O$的切线。
(2)解:如图②，
设$\odot O$的半径为r,则$OD=r$,$OF=r+4$，
因为$OD⊥ DE$，
所以$OD^2+DF^2=OF^2$。
所以$r^2+6^2=(r+4)^2$。
解得$r=\frac{5}{2}$。
所以$AB=5$。
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定方法和勾股定理的应用，解题关键是正确添加辅助线，利用弧中点的性质推导角的关系，构造直角三角形列方程求解，是圆相关知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
(1)要证明DE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于过切点的半径，因此先连接OD。已知D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，由等弧所对圆周角相等可得$∠CAD=∠BAD$，再结合$OA=OD$推出$∠BAD=∠ODA$，等量代换后得到$∠CAD=∠ODA$，即可推出$OD// AC$，最后结合$DE⊥ AC$得到$OD⊥ DE$，完成切线证明。
(2)求直径AB的长，可设$\odot O$半径为r，由(1)可知$OD⊥ EF$，即$△ ODF$为直角三角形，其三边可分别用含r的式子表示，代入勾股定理列方程求解r，再乘2即可得到直径AB的长度。
【解析】
(1)证明：连接OD，如图①，
因为D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠CAD=∠BAD$。
因为$OA=OD$（同圆的半径相等），
所以$∠OAD=∠ODA$（等腰三角形两底角相等）。
所以$∠CAD=∠ODA$（等量代换），
所以$OD// AC$（内错角相等，两直线平行）。
因为$DE⊥ AC$，
所以$OD⊥ DE$（平行线的性质）。
又因为OD为$\odot O$的半径，
所以DE是$\odot O$的切线（切线的判定定理）。
(2)解：如图②，
设$\odot O$的半径为r，则$OD=r$，$OF=OB+BF=r+4$，
由(1)知$OD⊥ DE$，即$∠ ODF=90°$，
在$Rt△ ODF$中，根据勾股定理可得：$OD^2+DF^2=OF^2$，
代入数值：$r^2+6^2=(r+4)^2$，
展开化简：$r^2+36=r^2+8r+16$，
解得$r=\frac{5}{2}$，
所以直径$AB=2r=2×\frac{5}{2}=5$。
【答案】
(1)证明:连接OD,如图①，
因为D为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$。
所以$∠CAD=∠BAD$。
因为$OA=OD$，
所以$∠OAD=∠ODA$。
所以$∠CAD=∠ODA$。
所以$OD// AC$。
因为$DE⊥ AC$，
所以$OD⊥ DE$。
因为OD为$\odot O$的半径，
所以DE是$\odot O$的切线。
(2)解:如图②，
设$\odot O$的半径为r,则$OD=r$,$OF=r+4$，
因为$OD⊥ DE$，
所以$OD^2+DF^2=OF^2$。
所以$r^2+6^2=(r+4)^2$。
解得$r=\frac{5}{2}$。
所以$AB=5$。
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定方法和勾股定理的应用，解题关键是正确添加辅助线，利用弧中点的性质推导角的关系，构造直角三角形列方程求解，是圆相关知识的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
