登录
1. (2025·太仓期末)若$\sqrt{x + 2}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是 (
A.$x\lt-2$
B.$x\gt-2$
C.$x\leqslant-2$
D.$x\geqslant-2$
D
)A.$x\lt-2$
B.$x\gt-2$
C.$x\leqslant-2$
D.$x\geqslant-2$
答案
1. D
解析
要使$\sqrt{x + 2}$在实数范围内有意义，被开方数必须是非负数，即$x + 2 \geq 0$，解得$x \geq -2$。
D
D
2. (2023·孝感改编)已知$\sqrt{-10m}$是正整数,则满足条件的最大负整数$m$为 (
A.$-10$
B.$-40$
C.$-90$
D.$-160$
A
)A.$-10$
B.$-40$
C.$-90$
D.$-160$
答案
2. A
解析
要使$\sqrt{-10m}$是正整数，设$\sqrt{-10m}=k$（$k$为正整数），则$-10m = k^2$，即$m=-\dfrac{k^2}{10}$。
因为$m$是负整数，所以$k^2$必须是$10$的倍数，$k$最小取$10$时，$m=-\dfrac{10^2}{10}=-10$；$k=20$时，$m=-\dfrac{20^2}{10}=-40$；$k=30$时，$m=-\dfrac{30^2}{10}=-90$等。
比较这些负整数$-10$，$-40$，$-90$，$-160$，最大的是$-10$。
A
因为$m$是负整数，所以$k^2$必须是$10$的倍数，$k$最小取$10$时，$m=-\dfrac{10^2}{10}=-10$；$k=20$时，$m=-\dfrac{20^2}{10}=-40$；$k=30$时，$m=-\dfrac{30^2}{10}=-90$等。
比较这些负整数$-10$，$-40$，$-90$，$-160$，最大的是$-10$。
A
3. 若$a - 6 = \sqrt{3b - 1} - \sqrt{2 - 6b}$,则$ab$的算术平方根为 (
A.$2$
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$4$
B
)A.$2$
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$4$
答案
3. B
解析
要使$\sqrt{3b - 1}$和$\sqrt{2 - 6b}$有意义，则：
$\begin{cases}3b - 1 \geq 0 \\2 - 6b \geq 0\end{cases}$
解$3b - 1 \geq 0$得$b \geq \frac{1}{3}$；解$2 - 6b \geq 0$得$b \leq \frac{1}{3}$，故$b = \frac{1}{3}$。
将$b = \frac{1}{3}$代入$a - 6 = \sqrt{3b - 1} - \sqrt{2 - 6b}$，得$a - 6 = 0 - 0 = 0$，则$a = 6$。
$ab = 6×\frac{1}{3} = 2$，$ab$的算术平方根为$\sqrt{2}$。
B
$\begin{cases}3b - 1 \geq 0 \\2 - 6b \geq 0\end{cases}$
解$3b - 1 \geq 0$得$b \geq \frac{1}{3}$；解$2 - 6b \geq 0$得$b \leq \frac{1}{3}$，故$b = \frac{1}{3}$。
将$b = \frac{1}{3}$代入$a - 6 = \sqrt{3b - 1} - \sqrt{2 - 6b}$，得$a - 6 = 0 - 0 = 0$，则$a = 6$。
$ab = 6×\frac{1}{3} = 2$，$ab$的算术平方根为$\sqrt{2}$。
B
4. 若$\sqrt{8 - x}$为整数,$x$为正整数,则$x$的值是
4或7或8
.答案
4. 4或7或8 解析:根据题意，得$8 - x \geq 0，$x为正整数，$\therefore 1 \leq x \leq 8，$且x为正整数$. \because \sqrt{8 - x}$为整数，$\therefore x$的值是4或7或8.
解析
$\because \sqrt{8 - x}$为整数，
$\therefore 8 - x$为非负整数的平方。
设$\sqrt{8 - x} = k$（$k$为整数，且$k \geq 0$），则$8 - x = k^2$，$x = 8 - k^2$。
$\because x$为正整数，
$\therefore 8 - k^2 ＞ 0$，即$k^2 ＜ 8$。
$\therefore k$的值可以为$0$，$1$，$2$。
当$k = 0$时，$x = 8 - 0^2 = 8$；
当$k = 1$时，$x = 8 - 1^2 = 7$；
当$k = 2$时，$x = 8 - 2^2 = 4$。
综上，$x$的值是$4$或$7$或$8$。
$\therefore 8 - x$为非负整数的平方。
设$\sqrt{8 - x} = k$（$k$为整数，且$k \geq 0$），则$8 - x = k^2$，$x = 8 - k^2$。
$\because x$为正整数，
$\therefore 8 - k^2 ＞ 0$，即$k^2 ＜ 8$。
$\therefore k$的值可以为$0$，$1$，$2$。
当$k = 0$时，$x = 8 - 0^2 = 8$；
当$k = 1$时，$x = 8 - 1^2 = 7$；
当$k = 2$时，$x = 8 - 2^2 = 4$。
综上，$x$的值是$4$或$7$或$8$。
5. 若$a$,$b$都是实数,$b = \sqrt{1 - 2a} + \sqrt{2a - 1} - 2$,则$a^b$的值为
4
.答案
5. 4 解析:根据题意，得$ \begin{cases} 1 - 2a \geq 0, \\ 2a - 1 \geq 0, \end{cases} $即$ \begin{cases} a \leq \frac{1}{2}, \\ a \geq \frac{1}{2}, \end{cases}\therefore \frac{1}{2}，$$\therefore b = 0 + 0 - 2 = -2，$$\therefore a^b = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = 4.$
6. 已知实数$m$,$n$满足$n = \frac{\sqrt{m^2 - 4} - \sqrt{4 - m^2}}{m - 2}$,求$\sqrt{mn}$的值.
答案
6. 根据题意，得$m^2 - 4 \geq 0，$$4 - m^2 \geq 0，$即$m^2 \geq 4，$$m^2 \leq 4，$$\therefore m^2 = 4，$解得$m = \pm 2.$根据分母不能为0，得$m - 2 \neq 0，$解得$m \neq 2，$因此m = -2.此时$n = \frac{0}{-2 - 2} = 0，$$\therefore \sqrt{mn} = \sqrt{-2 × 0} = 0$
解析
要使$n = \frac{\sqrt{m^2 - 4} - \sqrt{4 - m^2}}{m - 2}$有意义，则：
$\begin{cases}m^2 - 4 \geq 0 \\4 - m^2 \geq 0 \\m - 2 \neq 0\end{cases}$
由$m^2 - 4 \geq 0$和$4 - m^2 \geq 0$可得$m^2 = 4$，解得$m = \pm 2$。又因为$m - 2 \neq 0$，所以$m \neq 2$，故$m = -2$。
将$m = -2$代入$n$的表达式：$n = \frac{\sqrt{(-2)^2 - 4} - \sqrt{4 - (-2)^2}}{-2 - 2} = \frac{0 - 0}{-4} = 0$。
则$\sqrt{mn} = \sqrt{(-2) × 0} = 0$。
答案：$0$
$\begin{cases}m^2 - 4 \geq 0 \\4 - m^2 \geq 0 \\m - 2 \neq 0\end{cases}$
由$m^2 - 4 \geq 0$和$4 - m^2 \geq 0$可得$m^2 = 4$，解得$m = \pm 2$。又因为$m - 2 \neq 0$，所以$m \neq 2$，故$m = -2$。
将$m = -2$代入$n$的表达式：$n = \frac{\sqrt{(-2)^2 - 4} - \sqrt{4 - (-2)^2}}{-2 - 2} = \frac{0 - 0}{-4} = 0$。
则$\sqrt{mn} = \sqrt{(-2) × 0} = 0$。
答案：$0$
7. 已知$a$为实数,求代数式$\sqrt{a + 1} - \sqrt{3 - 4a} + \sqrt{-3a^2}$的值.
答案
7. 根据$\sqrt{-3a^2}$的被开方数是非负数，得$-3a^2 \geq 0，$即$3a^2 \leq 0，$$a^2 \leq 0. \because$对于任意实数a，都有$a^2 \geq 0，$$\therefore a^2 = 0，$即a = 0.此时$\sqrt{a + 1} - \sqrt{3 - 4a} + \sqrt{-3a^2} = 1 - \sqrt{3} + 0 = 1 - \sqrt{3}$
解析
要使代数式有意义，需满足被开方数非负：
对于$\sqrt{-3a^2}$，有$-3a^2 \geq 0$，即$3a^2 \leq 0$，因为$a^2 \geq 0$，所以$a^2 = 0$，解得$a = 0$。
当$a = 0$时，$\sqrt{a + 1} = \sqrt{0 + 1} = 1$，$\sqrt{3 - 4a} = \sqrt{3 - 0} = \sqrt{3}$，$\sqrt{-3a^2} = \sqrt{0} = 0$。
则原式$= 1 - \sqrt{3} + 0 = 1 - \sqrt{3}$。
答案：$1 - \sqrt{3}$
对于$\sqrt{-3a^2}$，有$-3a^2 \geq 0$，即$3a^2 \leq 0$，因为$a^2 \geq 0$，所以$a^2 = 0$，解得$a = 0$。
当$a = 0$时，$\sqrt{a + 1} = \sqrt{0 + 1} = 1$，$\sqrt{3 - 4a} = \sqrt{3 - 0} = \sqrt{3}$，$\sqrt{-3a^2} = \sqrt{0} = 0$。
则原式$= 1 - \sqrt{3} + 0 = 1 - \sqrt{3}$。
答案：$1 - \sqrt{3}$
8. (2023·湘潭改编)实数$a$,$b$满足$\sqrt{a + 1} + 4a^2 + 4ab + b^2 = 0$,则$b^a$的值为 (
A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$-\frac{1}{2}$
B
)A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-2$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
8. B
解析
$\sqrt{a + 1} + 4a^2 + 4ab + b^2 = 0$可变形为$\sqrt{a + 1} + (2a + b)^2 = 0$。
因为$\sqrt{a + 1} \geq 0$，$(2a + b)^2 \geq 0$，所以$\begin{cases}a + 1 = 0 \\ 2a + b = 0\end{cases}$。
解得$a = -1$，将$a = -1$代入$2a + b = 0$，得$2×(-1) + b = 0$，$b = 2$。
则$b^a = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。
B
因为$\sqrt{a + 1} \geq 0$，$(2a + b)^2 \geq 0$，所以$\begin{cases}a + 1 = 0 \\ 2a + b = 0\end{cases}$。
解得$a = -1$，将$a = -1$代入$2a + b = 0$，得$2×(-1) + b = 0$，$b = 2$。
则$b^a = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。
B
9. 已知实数$a$,$b$,$c$满足$(a - \sqrt{17})^2 + \sqrt{5 - b} + |c - 3×\sqrt{2}| = 0$,则实数$a$,$b$,$c$的大小关系为
a ＜ c ＜ b
(用“$＜$”连接).答案
9. a ＜ c ＜ b
解析
解：因为$(a - \sqrt{17})^2 \geq 0$，$\sqrt{5 - b} \geq 0$，$|c - 3\sqrt{2}| \geq 0$，且$(a - \sqrt{17})^2 + \sqrt{5 - b} + |c - 3\sqrt{2}| = 0$，所以$a - \sqrt{17} = 0$，$5 - b = 0$，$c - 3\sqrt{2} = 0$，解得$a = \sqrt{17}$，$b = 5$，$c = 3\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{17} \approx 4.123$，$3\sqrt{2} \approx 4.242$，$5 ＞ 4.242 ＞ 4.123$，所以$a ＜ c ＜ b$。
$a ＜ c ＜ b$
因为$\sqrt{17} \approx 4.123$，$3\sqrt{2} \approx 4.242$，$5 ＞ 4.242 ＞ 4.123$，所以$a ＜ c ＜ b$。
$a ＜ c ＜ b$
10. (2023·内江改编)在$\triangle ABC$中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$的对边长分别为$a$,$b$,$c$,且满足$a^2 + |c - 10| + \sqrt{b - 8} = 12a - 36$,比较大小:$c^2 - a^2$
=
$b^2$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).答案
10. =
解析
由题意得，$a^2 - 12a + 36 + |c - 10| + \sqrt{b - 8} = 0$，即$(a - 6)^2 + |c - 10| + \sqrt{b - 8} = 0$。
因为$(a - 6)^2 \geq 0$，$|c - 10| \geq 0$，$\sqrt{b - 8} \geq 0$，所以$a - 6 = 0$，$c - 10 = 0$，$b - 8 = 0$，解得$a = 6$，$c = 10$，$b = 8$。
$c^2 - a^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$，$b^2 = 8^2 = 64$，所以$c^2 - a^2 = b^2$。
=
因为$(a - 6)^2 \geq 0$，$|c - 10| \geq 0$，$\sqrt{b - 8} \geq 0$，所以$a - 6 = 0$，$c - 10 = 0$，$b - 8 = 0$，解得$a = 6$，$c = 10$，$b = 8$。
$c^2 - a^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$，$b^2 = 8^2 = 64$，所以$c^2 - a^2 = b^2$。
=
