11. 若$\sqrt{x + 3}$的值与$\sqrt{2y - 4}$的值互为相反数,求$(2x - 3y + 10)^2$的平方根.

11. 根据题意，得$\sqrt{x + 3} + \sqrt{2y - 4} = 0. \because \sqrt{x + 3} \geq 0，$$\sqrt{2y - 4} \geq 0，$$\therefore \sqrt{x + 3} = 0，$$\sqrt{2y - 4} = 0，$即$ \begin{cases} x + 3 = 0, \\ 2y - 4 = 0, \end{cases}$解得$ \begin{cases} x = -3, \\ y = 2, \end{cases} \therefore (2x - 3y + 10)^2 = 4. \because4$的平方根为$\pm 2，$$\therefore (2x - 3y + 10)^2$的平方根为$\pm 2$

12. 若实数$a$,$b$满足$|a - b + 1| = -\sqrt{a + 2b + 4}$,求$3a + 3b$的立方根.

12. 根据题意，得$ \vert a - b + 1 \vert + \sqrt{a + 2b + 4} = 0.\because \vert a - b + 1 \vert \geq 0，$$\sqrt{a + 2b + 4} \geq 0，$$\therefore \vert a - b + 1 \vert = 0，$$\sqrt{a + 2b + 4} = 0，$即$ \begin{cases} a - b + 1 = 0, \\ a + 2b + 4 = 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = -2, \\ b = -1, \end{cases} \therefore 3a +3b$的立方根为$\sqrt[3]{3a + 3b} = \sqrt[3]{-9} = -\sqrt[3]{9}$

13. 若实数$x$,$y$,$z$满足$\frac{1}{2}|x - y| + z^2 + \frac{1}{4} - z + \sqrt{2y + z} = 0$,求$x(y + z)$的值.

13. 根据题意，得$\frac{1}{2} \vert x - y \vert + (z - \frac{1}{2})^2 + \sqrt{2y + z} = 0.\because \frac{1}{2} \vert x - y \vert \geq 0，$$(z - \frac{1}{2})^2 \geq 0，$$\sqrt{2y + z} \geq 0，$$\therefore x - y =0，$$z - \frac{1}{2} = 0，$2y + z = 0.联立，解得$ \begin{cases} x = -\frac{1}{4}, \\ y = -\frac{1}{4}, \\ z = \frac{1}{2}. \end{cases} \therefore x(y +z) = -\frac{1}{4} × (-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = -\frac{1}{16}$

14. 当$x = $时,$6 - \sqrt{2x + 3}$有最大值,最大值为.

$14. -\frac{3}{2} 6$

要使$6 - \sqrt{2x + 3}$有最大值，需使$\sqrt{2x + 3}$最小。因为$\sqrt{2x + 3} \geq 0$，当$\sqrt{2x + 3} = 0$时最小，此时$2x + 3 = 0$，解得$x = -\frac{3}{2}$。最大值为$6 - 0 = 6$。
$-\frac{3}{2}$；$6$

15. 若关于$x$的方程$-2x + m\sqrt{17 - x} + 26 = 0$存在整数解,则正整数$m$的值为.

15. 6

设$\sqrt{17 - x} = t$（$t \geq 0$且$t$为整数），则$x = 17 - t^2$。
原方程可化为：$-2(17 - t^2) + mt + 26 = 0$
化简得：$-34 + 2t^2 + mt + 26 = 0$，即$2t^2 + mt - 8 = 0$
解得$m = \frac{8 - 2t^2}{t} = \frac{8}{t} - 2t$
因为$m$为正整数，$t$为非负整数且$t ＞ 0$（$t = 0$时方程无意义），所以$t$为$8$的正因数，即$t = 1, 2, 4, 8$。
当$t = 1$时，$m = 8 - 2 = 6$；
当$t = 2$时，$m = 4 - 4 = 0$（非正整数，舍去）；
当$t = 4$时，$m = 2 - 8 = -6$（负数，舍去）；
当$t = 8$时，$m = 1 - 16 = -15$（负数，舍去）。
综上，正整数$m$的值为$6$。
$6$

16. 若$7m - \sqrt{4 - 2m} = 14$,求$\sqrt{m + 2}$的立方根.

16. 根据题意，得$\sqrt{4 - 2m} = 7m - 14. \because$算术平方根具有双重非负性，$\therefore \begin{cases} 4 - 2m \geq 0, \\ 7m - 14 \geq 0, \end{cases} $解得$ \begin{cases} m \leq 2, \\ m \geq 2, \end{cases}\therefore m = 2，$此时$\sqrt{m + 2} = \sqrt{4} = 2，$$\therefore \sqrt{m + 2}$的立方根为$\sqrt[3]{2}$