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已知等边$\triangle ABC$的边长为6,D为直线BC上一点,$BD = 2$,$DE// AB$交直线AC于点E,则DE的长为____。
【点睛】点D可能在点B的右边,也可能在点B的左边。
【点睛】点D可能在点B的右边,也可能在点B的左边。
答案
4或8
1. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$\angle CBD = 90^{\circ}$,$BD = BC$,则$\angle BAD$的度数为____。
答案
$15^{\circ}$
2. (教材变式)如图,BD是等边$\triangle ABC$的中线,以D为圆心,DB的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,连接DE。若$CD = 3$,则BE的长为____。
答案
9
3. 如图,直线a,b经过等边$\triangle ABC$的顶点A和C,且$a// b$,$\angle 1 = 40^{\circ}$,则$\angle 2$的度数为____。
答案
$100^{\circ}$
4. 如图,在等边$\triangle ABC$中,点D,E分别在边BC,AB上,且$BD = AE$,AD与CE交于点F。
(1)求证：$AD = CE$；
(2)求$\angle AFC$的度数。
(1)求证：$AD = CE$；
(2)求$\angle AFC$的度数。
答案
解：(1) $\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore AB = AC$，$\angle BAC=\angle ABC = 60^{\circ}$。
$\because BD = AE$，
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle CAE$，
$\therefore AD = CE$；
(2) $\because \triangle ABD\cong \triangle CAE$，
$\therefore \angle BAD=\angle ACE$，
$\therefore \angle AFC=\angle AEC+\angle BAD$
$=\angle AEC+\angle ACE$
$=180^{\circ}-\angle BAC$
$=120^{\circ}$。
$\therefore AB = AC$，$\angle BAC=\angle ABC = 60^{\circ}$。
$\because BD = AE$，
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle CAE$，
$\therefore AD = CE$；
(2) $\because \triangle ABD\cong \triangle CAE$，
$\therefore \angle BAD=\angle ACE$，
$\therefore \angle AFC=\angle AEC+\angle BAD$
$=\angle AEC+\angle ACE$
$=180^{\circ}-\angle BAC$
$=120^{\circ}$。
5. 将含$30^{\circ}$角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知$\angle \alpha = 60^{\circ}$,点B,C表示的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为____cm。
答案
2
6. (2024长沙中考改)如图,点C在线段AD上,$AB = AD$,$\angle B = \angle D$,$BC = DE$。若$\angle BAC = 60^{\circ}$,求证：$CE = AE$。
答案
证明：$\because AB = AD$，$\angle B=\angle D$，$BC = DE$，
$\therefore \triangle ABC\cong \triangle ADE$，
$\therefore \angle DAE=\angle BAC = 60^{\circ}$，$AC = AE$，
$\therefore \triangle ACE$ 为等边三角形，
$\therefore CE = AE$。
$\therefore \triangle ABC\cong \triangle ADE$，
$\therefore \angle DAE=\angle BAC = 60^{\circ}$，$AC = AE$，
$\therefore \triangle ACE$ 为等边三角形，
$\therefore CE = AE$。
