登录
1. (2024·济南)如图是一个可以自由转动的转盘,转盘被等分成四个扇形,转动转盘,当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
A
解析
转盘被等分成4个扇形，其中红色区域占1个扇形。因此，指针落在红色区域的概率为红色区域的数量除以总区域的数量，即$\frac{1}{4}$。
2. 如图,在一个大正方形中,有面积分别为$3cm^{2}$和$12cm^{2}$的两个小正方形.若随机向大正方形内投一粒米,则米粒落在涂色部分的概率为()
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{5}{9}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
A
解析
由题意，面积为$12\,cm^2$的小正方形边长$a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\,cm$，面积为$3\,cm^2$的小正方形边长$b=\sqrt{3}\,cm$。大正方形边长为两小正方形边长之和，即$a+b=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}\,cm$，其面积为$(3\sqrt{3})^2=27\,cm^2$。涂色部分面积为大正方形面积减去两小正方形面积，即$27-(12+3)=12\,cm^2$。概率为$\frac{12}{27}=\frac{4}{9}$。
3. (2025·苏州期末)如图,一个游戏转盘有红色、黄色、蓝色三个部分.若红色部分扇形的圆心角度数为$210^{\circ}$,黄色部分扇形的圆心角度数为$90^{\circ}$.转动转盘,停止后指针落在蓝色区域的概率是.
答案
$\frac{1}{6}$
解析
圆的总圆心角为$360^{\circ}$，已知红色部分的圆心角为$210^{\circ}$，黄色部分的圆心角为$90^{\circ}$，所以蓝色部分的圆心角为：
$360^{\circ} - 210^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$。
蓝色部分所占的比例为：
$\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}$。
因此，指针落在蓝色区域的概率为$\frac{1}{6}$。
$360^{\circ} - 210^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$。
蓝色部分所占的比例为：
$\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}$。
因此，指针落在蓝色区域的概率为$\frac{1}{6}$。
4. (2023·攀枝花)如图,在正方形$ABCD$中,分别以四个顶点为圆心,以边长的一半为半径画圆弧,若随机向正方形$ABCD$内投一粒米(米粒大小忽略不计),则米粒落在图中涂色部分的概率为.
答案
$1 - \frac{\pi}{4}$（写分数或约等于小数均可，本题以分数形式给出。）
解析
正方形$ABCD$的面积为边长的平方，设边长为$a$，则面积为$a^2$。
每个圆弧的半径为$\frac{a}{2}$，四个$\frac{1}{4}$圆（即一个整圆）的总面积为$\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$。
正方形内圆弧形成的空白区域面积为整圆的面积，即$\frac{\pi a^2}{4}$，而阴影部分面积为正方形面积减去圆的面积，即：
$a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)$。
米粒落在阴影部分的概率为阴影部分面积与正方形面积的比值，即：
$\frac{a^2 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)}{a^2} = 1 - \frac{\pi}{4}$。
每个圆弧的半径为$\frac{a}{2}$，四个$\frac{1}{4}$圆（即一个整圆）的总面积为$\pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$。
正方形内圆弧形成的空白区域面积为整圆的面积，即$\frac{\pi a^2}{4}$，而阴影部分面积为正方形面积减去圆的面积，即：
$a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = a^2 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)$。
米粒落在阴影部分的概率为阴影部分面积与正方形面积的比值，即：
$\frac{a^2 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)}{a^2} = 1 - \frac{\pi}{4}$。
5. (新情境·现实生活)如图所示为玲玲给她心爱的小猫绣的一个饰物,她是在一块$6cm×6cm$的印有方格的布上用丝线(阴影部分)绣的,小猫抓这个饰物时,抓到丝线的概率有多大?
答案
$\frac{2}{9}$
解析
要计算小猫抓到丝线的概率，需先求出阴影部分面积与整个布的面积之比。
1. 计算总面积：
布为$6\,cm × 6\,cm$的正方形，总面积为：
$6 × 6 = 36\,cm^2$。
2. 计算阴影部分面积：
阴影为“X”形，由4个全等的直角三角形组成。每个三角形的直角边长分别为$2\,cm$和$1\,cm$，面积为：
$\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1\,cm^2$。
4个三角形总面积：$4 × 1 = 4\,cm^2$。
中间重叠部分为边长$2\,cm$的正方形，面积为：$2 × 2 = 4\,cm^2$。
阴影总面积：$4 + 4 = 8\,cm^2$。
3. 计算概率：
概率 = 阴影面积 / 总面积 = $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$。
1. 计算总面积：
布为$6\,cm × 6\,cm$的正方形，总面积为：
$6 × 6 = 36\,cm^2$。
2. 计算阴影部分面积：
阴影为“X”形，由4个全等的直角三角形组成。每个三角形的直角边长分别为$2\,cm$和$1\,cm$，面积为：
$\frac{1}{2} × 2 × 1 = 1\,cm^2$。
4个三角形总面积：$4 × 1 = 4\,cm^2$。
中间重叠部分为边长$2\,cm$的正方形，面积为：$2 × 2 = 4\,cm^2$。
阴影总面积：$4 + 4 = 8\,cm^2$。
3. 计算概率：
概率 = 阴影面积 / 总面积 = $\frac{8}{36} = \frac{2}{9}$。
6. 用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占比时,陆地面积所对应的扇形圆心角是$108^{\circ}$.若宇宙中一块陨石落在地球上,则落在陆地上的概率是()
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{10}$
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{10}$
答案
D
解析
因为扇形统计图中，某部分的概率等于该部分对应的圆心角与周角（$360^{\circ}$）的比值。陆地面积所对应的扇形圆心角是$108^{\circ}$，所以陨石落在陆地上的概率为$\frac{108^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{3}{10}$。
