1. 观察下列计算过程：$15×15= 225= 1×2×100+25$,$25×25= 625= 2×3×100+25$,$35×35= 1225= 3×4×100+25$,…,请你写出一般规律,并用所学知识证明你的结论.

解：设这个数的十位数字为 $ n $，则 $ (10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25 $。证明如下： $ (10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25 = 100n(n + 1) + 25 $。

(1)若用$\overline {ab}(a＞b$,且$b≠0)$表示一个两位数,其中a表示十位数字,b表示个位数字,则这个两位数$\overline {ab}= $____；该两位数的十位数字和个位数字交换位置后,得到的新数$\overline {ba}= $____.(用含有a,b的式子表示)
(2)通过计算$\overline {ab}-\overline {ba}(a＞b$,且$b≠0)$的值,证明上述猜想的正确性.
(3)试说明$\overline {ab}+\overline {ba}$的值一定能被11整除.

活动1变式 解：(1) $ 10a + b $，$ 10b + a $；(2) $ \because \overline{ab} - \overline{ba} = (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b) $，$ \therefore $ 数学小组的猜想是正确的；(3) $ \because \overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) $，$ \therefore \overline{ab} + \overline{ba} $ 的值一定能被11整除。

2. 将多项式$x^{2}y-4y因式分解为y(x+2)(x-2)$,若取$x= 15$,$y= 12$,则有$x+2= 17$,$x-2= 13$,其中12,17,13分别为因式码,按从小到大的顺序就形成密码121317.已知多项式$16p^{4}-q^{4}$,当$p= 10$,$q= 5$时,用上述方法生成的密码是____.

1525425

(1)根据上述方法,当$x= 16$,$y= 4$时,对于多项式$x^{3}-xy^{2}$分解因式后形成的数字密码是什么？
(2)将多项式$x^{3}+(m-n)x^{2}+nx$因式分解后,利用题目中所示的方法,当$x= 10$时可以得到密码101213,求m,n的值.

活动2变式 解：(1) $ \because x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x + y)(x - y) $，$ \therefore $ 当 $ x = 16 $，$ y = 4 $ 时，$ x + y = 20 $，$ x - y = 12 $，$ \therefore $ 形成的数字密码为121620；(2) $ \because $ 当 $ x = 10 $ 时可以得到密码101213，$ \therefore x^3 + (m - n)x^2 + nx = x(x + 2)(x + 3) $，即 $ x^3 + (m - n)x^2 + nx = x^3 + 5x^2 + 6x $，$ \therefore m - n = 5 $，$ n = 6 $，$ \therefore m = 11 $，$ n = 6 $。