16. 定义：关于$x$的方程$ax - b = 0$与方程$bx - a = 0$（$a,b$均为不等于$0$的常数）互为“反对方程”。
例如：方程$2x - 1 = 0$与方程$x - 2 = 0$互为“反对方程”。
(1)若方程$2x - 3 = 0$与方程$3x - c = 0$互为“反对方程”，则$c = $。
(2)若关于$x$的方程$4x + 2m + 1 = 0$与方程$5x - 3n + 2 = 0$互为“反对方程”，求$m,n$的值。解得$m = $，$n = $。
(3)若关于$x$的方程$3x + 2b - 1 = 0$与其“反对方程”的解都是整数，求常数$b$的值。解得$b = $或$b = $。

【解析】：
(1)根据“反对方程”的定义，若方程$2x - 3 = 0$与方程$3x - c = 0$互为“反对方程”，则$c = 2$。
(2)因为方程$4x + 2m + 1 = 0$与方程$5x - 3n + 2 = 0$互为“反对方程”，所以可得$\begin{cases}2m + 1 = 5\\-3n + 2 = 4\end{cases}$。
解第一个方程$2m+1 = 5$，移项可得$2m=5 - 1$，即$2m = 4$，解得$m = 2$。
解第二个方程$-3n + 2 = 4$，移项可得$-3n=4 - 2$，即$-3n = 2$，解得$n=-\frac{2}{3}$。
(3)方程$3x + 2b - 1 = 0$的“反对方程”为$(2b - 1)x - 3 = 0$。
解方程$3x + 2b - 1 = 0$，移项可得$3x=1 - 2b$，解得$x=\frac{1 - 2b}{3}$。
解方程$(2b - 1)x - 3 = 0$，移项可得$(2b - 1)x = 3$，解得$x=\frac{3}{2b - 1}$。
因为两个方程的解都是整数，设$\frac{1 - 2b}{3}=k_1$（$k_1$为整数），则$1 - 2b = 3k_1$，$2b=1 - 3k_1$；设$\frac{3}{2b - 1}=k_2$（$k_2$为整数），则$2b - 1=\frac{3}{k_2}$。
由$2b - 1=\frac{3}{k_2}$可得$2b=\frac{3}{k_2}+1$，所以$1 - 3k_1=\frac{3}{k_2}+1$，即$- 3k_1=\frac{3}{k_2}$，$k_1k_2=-1$。
当$k_2 = 1$时，$2b - 1 = 3$，解得$b = 2$，此时$x=\frac{1 - 2×2}{3}=-1$，$x=\frac{3}{2×2 - 1}=1$；
当$k_2=-1$时，$2b - 1=-3$，解得$b=-1$，此时$x=\frac{1 - 2×(-1)}{3}=1$，$x=\frac{3}{2×(-1)-1}=-1$。
【答案】：(1)$2$；(2)$m = 2$，$n=-\frac{2}{3}$；(3)$b = 2$或$b=-1$

中外方程趣题
古今中外有许多有趣的数学问题,都是通过列方程解决的。如在我国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺,木长几何？”意思是：“用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺。木长多少尺？”(尺寸为10进制长度单位,1米为3尺,1尺等于10寸)你能列方程求解吗？
在国外,《希腊诗文选》(公元500年前后的遗物)中,收录了古希腊数学家丢番图(Dio - phantus,活跃于公元250年前后)的墓志铭,译文如下：
坟中安葬着丢番图,
多么令人惊讶,它忠实地记录了他经历的道路。
童年占六分之一,
又过十二分之一,两颊长出胡须,
再过七分之一,点燃结婚的蜡烛。
五年之后天赐爱子,
可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便葬入冰冷的墓。
悲伤只有用数学研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途。
这段奇特的墓志铭,千余年来一直激发着人们极大的兴趣。根据墓志铭,人们把这位数学家的寿命、人生中发生重要事件的年龄都一一推算出来了。请你也试着算一算。

【解析】：
### 第一题：
设木长为$x$尺。
用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余$4.5$尺，则绳子长为$(x + 4.5)$尺；
将绳子对折再量长木，长木还剩余$1$尺，此时绳子长度的一半为$(x - 1)$尺，那么绳子长为$2(x - 1)$尺。
因为绳子的长度是固定的，所以可列方程：$x + 4.5 = 2(x - 1)$。
解方程如下：
$\begin{aligned}x + 4.5&= 2x - 2\\2x - x&= 4.5 + 2\\x&= 6.5\end{aligned}$
### 第二题：
设丢番图的寿命为$x$岁。
童年占$\frac{1}{6}x$岁；又过$\frac{1}{12}x$岁两颊长出胡须；再过$\frac{1}{7}x$岁点燃结婚的蜡烛；五年之后天赐爱子；儿子享年仅及其父之半，即$\frac{1}{2}x$岁；又过四年，他也走完了人生的旅途。
根据他一生的经历可列方程：$\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x + 5+\frac{1}{2}x+ 4 = x$。
解方程如下：
先通分，$12$、$6$、$7$、$2$的最小公倍数是$84$，方程两边同时乘以$84$得：
$14x + 7x+12x + 5×84 + 42x+4×84 = 84x$
$75x+420 + 336 = 84x$
$84x - 75x = 756$
$9x = 756$
$x = 84$。
童年的年龄为$\frac{1}{6}×84 = 14$（岁）；
长胡须时的年龄为$14+\frac{1}{12}×84 = 14 + 7 = 21$（岁）；
结婚时的年龄为$21+\frac{1}{7}×84 = 21 + 12 = 33$（岁）；
生子时的年龄为$33 + 5 = 38$（岁）；
儿子去世时他的年龄为$38+\frac{1}{2}×84 = 38 + 42 = 80$（岁）。
【答案】：第一题木长$6.5$尺；第二题丢番图寿命$84$岁，童年$14$岁，长胡须$21$岁，结婚$33$岁，生子$38$岁，儿子去世时他$80$岁。