9 [2025广东]在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量$y(\mathrm{W·h})$与骑行里程$x(\mathrm{km})$之间的关系如图所示。当电池剩余能量小于$100\ \mathrm{W·h}$时，摩托车将自动报警。根据图象，下列结论正确的是（）

A.电池能量最多可充$400\ \mathrm{W·h}$
B.该电动摩托车每行驶$10\ \mathrm{km}$消耗能量$300\ \mathrm{W·h}$
C.一次性充满电后，该电动摩托车最多行驶$25\ \mathrm{km}$
D.该电动摩托车充满电后，行驶$18\ \mathrm{km}$将自动报警

9. C

【分析】
本题是一次函数在实际生活中的应用题，解题思路如下：首先观察函数图像，获取两个关键坐标点：骑行里程为0（满电状态）时剩余能量为500W·h，剩余能量为0（电量耗尽）时骑行里程为25km；接下来用待定系数法求出剩余能量y与骑行里程x的函数关系式，再结合每个选项的描述逐一验证，判断正误即可。
【解析】
设剩余能量$y$与骑行里程$x$的函数解析式为$y = kx + b(k≠0)$。
由图像可知，函数过点$(0,500)$和$(25,0)$，将两点代入解析式：
1. 把$x=0,y=500$代入，得$b=500$；
2. 把$x=25,y=0,b=500$代入，得$0=25k + 500$，解得$k=-20$。
因此函数解析式为$y=-20x + 500$（$0≤ x≤25$）。
逐一分析选项：
A选项：当$x=0$时，$y=500$，说明电池最多可充500W·h，A错误；
B选项：由$k=-20$可知，每行驶1km消耗能量20W·h，则行驶10km消耗能量$10×20=200\ \mathrm{W· h}$，B错误；
C选项：当$y=0$时，$x=25$，即一次性充满电后最多行驶25km，C正确；
D选项：剩余能量小于100W·h时报警，即$y＜100$，列不等式：$-20x + 500 ＜ 100$，解得$x＞20$，即行驶超过20km才会报警，18km不会报警，D错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数与不等式
【点评】
本题结合电动摩托车续航的实际场景考查一次函数的相关知识，解题核心是准确从图像中获取坐标信息求出函数解析式，再结合题意分析判断，侧重考查读图能力和基础知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

10 甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为 10 元/kg.如果一次购买 4 kg 以上的苹果，那么超过 4 kg 的部分按标价的 6 折售卖.设购买苹果的质量为 x kg，付款金额为 y 元.
（1）文文购买 3 kg 苹果需付款元，购买 5 kg 苹果需付款元.
（2）求 y 关于 x 的函数表达式.
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为 10 元/kg，且全部按标价的 8 折售卖.若文文要购买 10 kg 苹果，则她在哪个超市购买更划算？

10. (1) 30 46
(2) 根据题意,得当 $0 ≤ x ≤ 4$ 时, $y=10x$; 当 $x＞4$ 时, $y=4 × 10+(x-4) × 10 × 0.6=6x+16$,$\therefore$ 当 $0 ≤ x ≤ 4$ 时, $y=10x$; 当 $x＞4$ 时, $y=6x+16$
(3) 文文在甲超市购买 10 kg 苹果需付款 $6 × 10+16=76$(元),文文在乙超市购买 10 kg 苹果需付款 $10 × 10 × 0.8=80$(元). $\because 76＜80$,$\therefore$ 文文在甲超市购买更划算

【分析】
（1）首先判断购买重量是否符合优惠条件：3kg小于4kg，无优惠，直接按标价计算付款；5kg大于4kg，其中4kg按原价计算，超出的1kg按标价6折计算，两部分求和即可得总付款。
（2）求y关于x的函数表达式需分段讨论：当购买重量不超过4kg（即$0≤x≤4$）时，付款金额为重量乘原价；当购买重量超过4kg（即$x＞4$）时，付款金额为4kg的原价加上超出部分的折后价，分别化简得到两段函数式即可。
（3）要判断哪个超市更划算，分别计算购买10kg苹果时在甲、乙两超市的付款金额，比较两个金额的大小，金额更低的超市更划算。
【解析】
（1）购买3kg苹果，$3＜4$，无优惠，需付款：$3×10=30$（元）；
购买5kg苹果，$5＞4$，其中4kg按原价、超出的1kg按6折计算，需付款：$4×10+(5-4)×10×0.6=40+6=46$（元）。
（2）分两种情况讨论：
① 当$0≤x≤4$时，无优惠，$y=10x$；
② 当$x＞4$时，4kg部分付款为$4×10=40$元，超出的$(x-4)kg$单价为$10×0.6=6$元/kg，超出部分付款为$6(x-4)$，因此总付款$y=40+6(x-4)$，化简得$y=6x+16$。
综上，y关于x的函数表达式为$\begin{cases}y=10x&(0≤x≤4)\\y=6x+16&(x＞4)\end{cases}$。
（3）计算购买10kg苹果的付款：
甲超市：$x=10＞4$，代入$y=6x+16$得$y=6×10+16=76$（元）；
乙超市：全部按8折销售，总付款为$10×10×0.8=80$（元）。
$\because 76＜80$，$\therefore$在甲超市购买更划算。
【答案】
(1) 30；46
(2) $\begin{cases}y=10x&(0≤x≤4)\\y=6x+16&(x＞4)\end{cases}$
(3) 甲超市购买更划算
【知识点】
分段函数，代数式求值，方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景考查分段函数的实际应用，解题核心是明确不同购买重量对应的优惠规则，正确进行分段讨论，计算时注意区分原价部分和打折部分的重量，题目贴近生活，逻辑清晰，掌握分段分析的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

11 [2024宿迁段考]甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,相向而行,匀速前往B地、A地,两人相遇时停留了4 min,又各自按原速前往目的地,甲、乙两人之间的距离y(m)与甲所用时间x(min)之间的函数关系如图所示.给出下列结论:① A,B两地之间的距离为1 200 m;② 乙行走的速度是甲的2倍;③ b=800;④ a=34.其中,正确的结论共有 ()

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

11. B
【解析】由题图,可知当 $x=0$ 时,甲、乙两人在A,B两地还未出发,$\therefore$ A,B两地之间的距离为 1 200 m.故①正确. 前 12 min 为甲、乙一共行走了 1 200 m,故 $v_甲+v_乙=100$ m/min. 由题图,可知乙用了 $24-4=20$(min)走完了 1 200 m,$\therefore v_乙=\frac{1\ 200}{20}=60$(m/min),$v_甲=100-60=40$(m/min),$\frac{v_乙}{v_甲}=\frac{60}{40}=1.5$. 故②错误.又$\because$ 两人相遇时停留了 4 min,$\therefore$ 两人相遇后从 $12+4=16$(min)开始继续行走. 由题图,可知 24 min 时乙到达目的地,则两人相遇后行走了 $24-16=8$(min),两人之间的距离为 $8 × 100=800$(米),则 $b=800$,故③正确. 从24 min 开始为甲独自行走,走了 $1\ 200-800=400$(m),$\frac{400}{40}=10$(min),$\therefore a=24+10=34$. 故④正确. 综上所述,①③④正确,共有三个结论正确.

【分析】
解题时先结合函数图像的横纵坐标含义分析各特殊点的实际意义：①x=0时两人分别在A、B两地，此时y值就是两地距离，可直接判断结论①；②根据12min两人相遇，先算出甲乙速度和，再结合乙24min到达A地（注意减去相遇停留的4min才是乙走完全程的实际时间），算出乙的速度，进而得甲的速度，判断速度倍数关系验证结论②；③计算相遇后到24min时两人共同行走的时间，用速度和乘时间得到此时两人的距离即b的值，验证结论③；④先算24min时甲剩余的路程，除以甲的速度得到甲还需要的时间，加24得到a的值，验证结论④；最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
解：①当x=0时，甲、乙分别在A、B两地未出发，此时y=1200m，即A、B两地距离为1200m，故①正确；
②前12min两人相向而行后相遇，因此甲乙速度和为$\frac{1200}{12}=100\ \mathrm{m/min}$；
乙走完全程的实际时间为$24-4=20\ \mathrm{min}$（减去相遇停留的4min），因此乙的速度$v_乙=\frac{1200}{20}=60\ \mathrm{m/min}$，
则甲的速度$v_甲=100-60=40\ \mathrm{m/min}$，$\frac{v_乙}{v_甲}=\frac{60}{40}=1.5$，乙的速度是甲的1.5倍，不是2倍，故②错误；
③相遇后停留4min，到$12+4=16\ \mathrm{min}$时两人继续行走，到24min时两人共行走了$24-16=8\ \mathrm{min}$，
此时两人距离$b=8×(v_甲+v_乙)=8×100=800\ \mathrm{m}$，故③正确；
④24min时乙已到达目的地，剩余路程为甲还未走的路程：$1200-800=400\ \mathrm{m}$，
甲走完剩余路程需要的时间为$\frac{400}{40}=10\ \mathrm{min}$，因此$a=24+10=34$，故④正确。
综上，正确的结论为①③④，共3个。
【答案】B
【知识点】一次函数图像应用；行程问题；路程速度计算
【点评】本题考查一次函数在实际行程问题中的应用，解题核心是准确理解函数图像中拐点对应的实际运动状态，结合行程问题的基本公式逐步计算，注意不要遗漏两人相遇时的停留时间。
【难度系数】0.6

12 [2025武汉]如图①，在$△ ABC$中，D是边AC上的定点.点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止.设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图②所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点.点N的纵坐标是（）

A.$\dfrac{116}{17}$
B.$\dfrac{120}{17}$
C.$\dfrac{112}{15}$
D.$\dfrac{116}{15}$

12. B
【解析】如图,过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于点 $E$,$DF ⊥ BC$ 于点 $F$,连接 $BD$. 根据题图②,得 $AD=20$,$CD=8$,$BD=15$,$DE=12$,点 $N$ 的纵坐标表示点 $D$ 到$BC$ 的距离 $DF$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,根据勾股定理,得$AE=16$; 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,根据勾股定理,得 $BE=9$.$\therefore AB=AE+BE=16+9=25$. $\because AD^2+BD^2=20^2+15^2=625$,$AB^2=25^2=625$,$\therefore AD^2+BD^2=AB^2$,$\therefore ∠ ADB=90°$,$\therefore BD ⊥ AC$,$\therefore ∠ BDC=90°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,根据勾股定理,得 $BC=17$. $\because S_{△ BDC}=\frac{1}{2}BD · CD=\frac{1}{2}BC · DF$,$\therefore DF=\frac{BD · CD}{BC}=\frac{15 × 8}{17}=\frac{120}{17}$,$\therefore$ 点 $N$ 的纵坐标是 $\frac{120}{17}$.

【分析】
解题时先结合函数图象的几何意义提取已知线段长度：x=0时点P在A处，此时y=20即AD=20；点P运动到C处时y=8即CD=8；两段曲线的最低点分别对应D到AB、BC的垂线段长度，M的纵坐标12即D到AB的垂线段DE=12，图象中两段曲线的连接点对应P运动到B点，此时y=15即BD=15。接下来先在两个直角三角形中用勾股定理求出AE、BE的长度，得到AB长，再用勾股定理逆定理证明BD⊥AC，随后在Rt△BDC中用勾股定理求BC长，最后利用三角形面积法求出D到BC的垂线段DF长度，即为点N的纵坐标。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接BD。
1. 从函数图象提取线段长：x=0时P在A点，故AD=20；P运动到B点时，y=15故BD=15；P运动到C点时，y=8故CD=8；根据垂线段最短，M是第一段曲线最低点对应DE=12，N是第二段曲线最低点，其纵坐标即为DF的长度。
2. 在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$；
在Rt△BDE中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{BD^2-DE^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$；
因此$AB=AE+BE=16+9=25$。
3. 验证垂直：$AD^2+BD^2=20^2+15^2=625$，$AB^2=25^2=625$，故$AD^2+BD^2=AB^2$，由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，即BD⊥AC，因此∠BDC=90°。
4. 在Rt△BDC中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17$。
5. 用面积法求DF：△BDC的面积可表示为$\frac{1}{2}BD·CD$，也可表示为$\frac{1}{2}BC·DF$，因此：
$\frac{1}{2}×15×8=\frac{1}{2}×17×DF$，解得$DF=\frac{15×8}{17}=\frac{120}{17}$，即点N的纵坐标为$\frac{120}{17}$。

【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；勾股定理及逆定理；面积法求高
【点评】
本题将动点函数图象与几何计算结合，核心是把函数图象的特殊点信息转化为几何线段的长度，再结合勾股相关定理和面积法求解，考查数形结合思想，对学生的图象信息转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6