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7 (2025南通海安月考)如图，一次函数$y=kx+b$的图象与$x$轴交于点$(2,0)$，与$y=x+1$的图象交于点$P(1,2)$，则下列说法中正确的是（
A.关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=kx+b \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
B.方程$kx+b=0$的解是$x=-2$
C.方程$kx+b=x+1$的解是$x=2$
D.不等式$kx+b＜x+1$的解集是$x＜1$
A
）A.关于$x,y$的方程组$\begin{cases} y=x+1, \\ y=kx+b \end{cases}$的解是$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
B.方程$kx+b=0$的解是$x=-2$
C.方程$kx+b=x+1$的解是$x=2$
D.不等式$kx+b＜x+1$的解集是$x＜1$
答案
7. A
解析
【分析】
解题时要结合一次函数与方程（组）、不等式的对应关系分析：①两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解；②一次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程$kx+b=0$的解；③两个一次函数值相等时x的取值就是对应方程$kx+b=x+1$的解；④不等式的解集可通过对比两个函数图象的上下位置判断。结合题目给出的图象信息和已知点坐标，逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，已知$y=x+1$和$y=kx+b$的交点为$P(1,2)$，因此方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=kx+b \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$，该选项正确。
B. 方程$kx+b=0$的解是一次函数$y=kx+b$与x轴交点的横坐标，已知$y=kx+b$与x轴交于$(2,0)$，因此方程的解是$x=2$，该选项错误。
C. 方程$kx+b=x+1$的解是两个一次函数交点的横坐标，交点横坐标为1，因此方程的解是$x=1$，该选项错误。
D. 不等式$kx+b＜x+1$的解集是$y=kx+b$的图象在$y=x+1$图象下方时对应的x的取值范围，结合图象可知，当$x＞1$时$y=kx+b$在$y=x+1$下方，因此解集为$x＞1$，该选项错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题核心考查一次函数与方程、不等式的内在联系，借助数形结合的思想分析图象即可快速判断选项，是一次函数部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时要结合一次函数与方程（组）、不等式的对应关系分析：①两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解；②一次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程$kx+b=0$的解；③两个一次函数值相等时x的取值就是对应方程$kx+b=x+1$的解；④不等式的解集可通过对比两个函数图象的上下位置判断。结合题目给出的图象信息和已知点坐标，逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A. 二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，已知$y=x+1$和$y=kx+b$的交点为$P(1,2)$，因此方程组$\begin{cases} y=x+1 \\ y=kx+b \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$，该选项正确。
B. 方程$kx+b=0$的解是一次函数$y=kx+b$与x轴交点的横坐标，已知$y=kx+b$与x轴交于$(2,0)$，因此方程的解是$x=2$，该选项错误。
C. 方程$kx+b=x+1$的解是两个一次函数交点的横坐标，交点横坐标为1，因此方程的解是$x=1$，该选项错误。
D. 不等式$kx+b＜x+1$的解集是$y=kx+b$的图象在$y=x+1$图象下方时对应的x的取值范围，结合图象可知，当$x＞1$时$y=kx+b$在$y=x+1$下方，因此解集为$x＞1$，该选项错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；一次函数与一元一次方程；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题核心考查一次函数与方程、不等式的内在联系，借助数形结合的思想分析图象即可快速判断选项，是一次函数部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7
8 在同一平面直角坐标系中，直线$y=4x+1$与直线$y=-x+b$的交点不可能在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
8. D
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：思路一，先分析固定直线$y=4x+1$经过的象限，因为两条直线的交点一定同时落在两条直线上，因此交点不可能出现在这条固定直线不经过的象限，这种方法更简便；思路二，联立两个一次函数解析式，求出交点横、纵坐标关于$b$的表达式，再结合各象限点的坐标符号特征，判断是否存在交点落在第四象限的情况，验证结论。
【解析】
1. 分析固定直线的图象象限：
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），直线$y=4x+1$中$k=4＞0$，图象从左到右上升；$b=1＞0$，图象与$y$轴交于正半轴，因此该直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
2. 推导交点的位置限制：
两直线的交点是同时满足两个函数解析式的点，因此交点必然在直线$y=4x+1$上，所以交点不可能出现在$y=4x+1$不经过的第四象限。
（验证：联立解析式$\begin{cases}y=4x+1\\y=-x+b\end{cases}$，解得$x=\frac{b-1}{5}$，$y=\frac{4b+1}{5}$。第四象限的点满足$x＞0$且$y＜0$，若$y＜0$则$b＜-\frac{1}{4}$，此时$x=\frac{b-1}{5}＜0$，无法满足$x＞0$，因此不存在交点在第四象限的情况。）
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数交点的含义；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是利用“两直线交点必然同时在两条直线上”的性质，通过分析固定直线的图象象限即可快速得出结论，也可通过联立解析式计算交点坐标验证结论，解题灵活度较高。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个思路入手：思路一，先分析固定直线$y=4x+1$经过的象限，因为两条直线的交点一定同时落在两条直线上，因此交点不可能出现在这条固定直线不经过的象限，这种方法更简便；思路二，联立两个一次函数解析式，求出交点横、纵坐标关于$b$的表达式，再结合各象限点的坐标符号特征，判断是否存在交点落在第四象限的情况，验证结论。
【解析】
1. 分析固定直线的图象象限：
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），直线$y=4x+1$中$k=4＞0$，图象从左到右上升；$b=1＞0$，图象与$y$轴交于正半轴，因此该直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
2. 推导交点的位置限制：
两直线的交点是同时满足两个函数解析式的点，因此交点必然在直线$y=4x+1$上，所以交点不可能出现在$y=4x+1$不经过的第四象限。
（验证：联立解析式$\begin{cases}y=4x+1\\y=-x+b\end{cases}$，解得$x=\frac{b-1}{5}$，$y=\frac{4b+1}{5}$。第四象限的点满足$x＞0$且$y＜0$，若$y＜0$则$b＜-\frac{1}{4}$，此时$x=\frac{b-1}{5}＜0$，无法满足$x＞0$，因此不存在交点在第四象限的情况。）
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数交点的含义；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，解题核心是利用“两直线交点必然同时在两条直线上”的性质，通过分析固定直线的图象象限即可快速得出结论，也可通过联立解析式计算交点坐标验证结论，解题灵活度较高。
【难度系数】
0.8
9 已知直线$ l_1 $与$ l_2 $相交于点$ P $，点$ P $的横坐标为－1，直线$ l_2 $交$ x $轴于点$ A(1,0) $，直线$ l_1 $的表达式为$ y=2x+4 $，则直线$ l_2 $的表达式为
y=-x+1
。答案
9. $y=-x+1$
解析
【分析】
要确定直线$l_2$的表达式，我们可以用待定系数法，而待定系数法需要知道一次函数图象上2个点的坐标。本题已知直线$l_2$过点$A(1,0)$，只需要再找到$l_2$上另一个点的坐标即可：这个点就是$l_1$和$l_2$的交点$P$。已知点$P$横坐标为$-1$，且在$l_1$上，我们可以先把$x=-1$代入$l_1$的表达式算出$P$的纵坐标，得到$P$的完整坐标后，把$P$和$A$的坐标代入$l_2$的一般式，解二元一次方程组就能求出$l_2$的系数，得到表达式。
【解析】
1. 求交点$P$的坐标：
已知点$P$在直线$l_1:y=2x+4$上，且横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=2x+4$得：
$y=2×(-1)+4=2$，因此点$P$的坐标为$(-1,2)$。
2. 用待定系数法求$l_2$的表达式：
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
因为直线$l_2$过点$A(1,0)$和$P(-1,2)$，将两点坐标代入表达式得方程组：
$\begin{cases}k + b = 0 \\ -k + b = 2\end{cases}$
解方程组：将两个方程相加得$2b=2$，解得$b=1$；
把$b=1$代入$k+b=0$，得$k=-1$。
因此直线$l_2$的表达式为$y=-x+1$。
【答案】
$y=-x+1$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数图象上点的坐标特征
3. 一次函数交点问题
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，解题关键是先求出两条直线交点的坐标，整体计算量小，思路清晰，是巩固一次函数基础的典型题型。
【难度系数】
0.7
要确定直线$l_2$的表达式，我们可以用待定系数法，而待定系数法需要知道一次函数图象上2个点的坐标。本题已知直线$l_2$过点$A(1,0)$，只需要再找到$l_2$上另一个点的坐标即可：这个点就是$l_1$和$l_2$的交点$P$。已知点$P$横坐标为$-1$，且在$l_1$上，我们可以先把$x=-1$代入$l_1$的表达式算出$P$的纵坐标，得到$P$的完整坐标后，把$P$和$A$的坐标代入$l_2$的一般式，解二元一次方程组就能求出$l_2$的系数，得到表达式。
【解析】
1. 求交点$P$的坐标：
已知点$P$在直线$l_1:y=2x+4$上，且横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=2x+4$得：
$y=2×(-1)+4=2$，因此点$P$的坐标为$(-1,2)$。
2. 用待定系数法求$l_2$的表达式：
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
因为直线$l_2$过点$A(1,0)$和$P(-1,2)$，将两点坐标代入表达式得方程组：
$\begin{cases}k + b = 0 \\ -k + b = 2\end{cases}$
解方程组：将两个方程相加得$2b=2$，解得$b=1$；
把$b=1$代入$k+b=0$，得$k=-1$。
因此直线$l_2$的表达式为$y=-x+1$。
【答案】
$y=-x+1$
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数图象上点的坐标特征
3. 一次函数交点问题
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，解题关键是先求出两条直线交点的坐标，整体计算量小，思路清晰，是巩固一次函数基础的典型题型。
【难度系数】
0.7
10 已知函数$y=\begin{cases}x+1, & x≥0, \\ -x-1, & x＜0\end{cases}$与关于$x,y$的二元一次方程$ax-2a-y=0$有两组解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
10. $-1＜a≤-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
首先将题中的二元一次方程变形为一次函数形式，可知该函数图象是过定点$(2,0)$的直线。要使直线与分段函数有两组解，需分别将直线与分段函数的两段（$x≥0$段、$x＜0$段）联立求解，再保证每个联立得到的$x$解符合对应分段的自变量取值范围，最后联立两个范围的不等式即可求出$a$的取值范围。
【解析】
步骤1：整理二元一次方程为一次函数形式
由$ax-2a-y=0$，移项得$y=ax-2a$，该函数是过定点$(2,0)$的一次函数。
步骤2：联立直线与分段函数$x≥0$的部分，求解符合条件的$a$范围
联立$\begin{cases}y=x+1(x≥0)\\y=ax-2a\end{cases}$，得$x+1=ax-2a$，整理得$x=\frac{2a+1}{a-1}$。
要求解满足$x≥0$，即$\frac{2a+1}{a-1}≥0$，根据“同号得正”的规则解该不等式得：$a≤-\frac{1}{2}$或$a＞1$。
步骤3：联立直线与分段函数$x＜0$的部分，求解符合条件的$a$范围
联立$\begin{cases}y=-x-1(x＜0)\\y=ax-2a\end{cases}$，得$-x-1=ax-2a$，整理得$x=\frac{2a-1}{a+1}$。
要求解满足$x＜0$，即$\frac{2a-1}{a+1}＜0$，根据“异号得负”的规则解该不等式得：$-1＜a＜\frac{1}{2}$。
步骤4：取两个范围的交集，得到$a$的总取值范围
要方程有两组解，需上述两个不等式同时成立，取两个范围的交集得：$-1＜a≤-\frac{1}{2}$。
【答案】
$-1＜a≤-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程，分段函数，不等式求解
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的联系，解题时需注意分段函数的自变量取值限制，避免因忽略$x$的范围导致解的个数判断错误，通过联立方程结合解的范围列不等式是解题的核心思路。
【难度系数】
0.4
首先将题中的二元一次方程变形为一次函数形式，可知该函数图象是过定点$(2,0)$的直线。要使直线与分段函数有两组解，需分别将直线与分段函数的两段（$x≥0$段、$x＜0$段）联立求解，再保证每个联立得到的$x$解符合对应分段的自变量取值范围，最后联立两个范围的不等式即可求出$a$的取值范围。
【解析】
步骤1：整理二元一次方程为一次函数形式
由$ax-2a-y=0$，移项得$y=ax-2a$，该函数是过定点$(2,0)$的一次函数。
步骤2：联立直线与分段函数$x≥0$的部分，求解符合条件的$a$范围
联立$\begin{cases}y=x+1(x≥0)\\y=ax-2a\end{cases}$，得$x+1=ax-2a$，整理得$x=\frac{2a+1}{a-1}$。
要求解满足$x≥0$，即$\frac{2a+1}{a-1}≥0$，根据“同号得正”的规则解该不等式得：$a≤-\frac{1}{2}$或$a＞1$。
步骤3：联立直线与分段函数$x＜0$的部分，求解符合条件的$a$范围
联立$\begin{cases}y=-x-1(x＜0)\\y=ax-2a\end{cases}$，得$-x-1=ax-2a$，整理得$x=\frac{2a-1}{a+1}$。
要求解满足$x＜0$，即$\frac{2a-1}{a+1}＜0$，根据“异号得负”的规则解该不等式得：$-1＜a＜\frac{1}{2}$。
步骤4：取两个范围的交集，得到$a$的总取值范围
要方程有两组解，需上述两个不等式同时成立，取两个范围的交集得：$-1＜a≤-\frac{1}{2}$。
【答案】
$-1＜a≤-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程，分段函数，不等式求解
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的联系，解题时需注意分段函数的自变量取值限制，避免因忽略$x$的范围导致解的个数判断错误，通过联立方程结合解的范围列不等式是解题的核心思路。
【难度系数】
0.4
11 如图,直线 $ l_1:y=2x+1 $ 与直线 $ l_2:y=mx+4 $ 相交于点 $ P(1,b) $.
(1) 求 $ b,m $ 的值;
(2) 若垂直于 $ x $ 轴的直线 $ x=a $ 与直线 $ l_1,l_2 $ 分别相交于点 $ C,D $,且线段 $ CD $ 的长为 2,求 $ a $ 的值.
(1) 求 $ b,m $ 的值;
(2) 若垂直于 $ x $ 轴的直线 $ x=a $ 与直线 $ l_1,l_2 $ 分别相交于点 $ C,D $,且线段 $ CD $ 的长为 2,求 $ a $ 的值.
答案
11. 解:(1) 因为点 $P(1,b)$在直线 $l_1:y=2x+1$ 上,
所以 $b=2×1+1=3$.
因为点 $P(1,3)$在直线 $l_2:y=mx+4$ 上,
所以 $3=m+4$,所以 $m=-1$.
(2) 当 $x=a$ 时,$y_C=2a+1$,$y_D=4-a$.
因为 $CD=2$,所以 $|2a+1-(4-a)|=2$,
解得 $a=\dfrac{1}{3}$ 或 $a=\dfrac{5}{3}$.
所以 $b=2×1+1=3$.
因为点 $P(1,3)$在直线 $l_2:y=mx+4$ 上,
所以 $3=m+4$,所以 $m=-1$.
(2) 当 $x=a$ 时,$y_C=2a+1$,$y_D=4-a$.
因为 $CD=2$,所以 $|2a+1-(4-a)|=2$,
解得 $a=\dfrac{1}{3}$ 或 $a=\dfrac{5}{3}$.
解析
【分析】
(1) 解题核心依据是“一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”：首先将点P的横坐标x=1代入$l_1$的解析式，即可算出b的值；得到P点的完整坐标后，再将P点坐标代入$l_2$的解析式，就能求出m的值。
(2) 垂直于x轴的直线$x=a$上所有点的横坐标均为a，因此将x=a分别代入$l_1$、$l_2$的解析式，可得到C、D两点的纵坐标；线段CD的长度为两点纵坐标差的绝对值（两点横坐标相同，线段长度等于纵向距离，加绝对值可避免漏解），据此列绝对值方程求解即可得到a的值。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=2x+1$上，
∴将$x=1$代入解析式得：$b=2×1+1=3$，即点P坐标为$(1,3)$。
又
∵点$P(1,3)$在直线$l_2:y=mx+4$上，
∴将$x=1、y=3$代入解析式得：$3=m+4$，解得$m=-1$。
(2) 当$x=a$时，代入$l_1$解析式得C点纵坐标：$y_C=2a+1$，
代入$l_2$解析式（$m=-1$，即$l_2:y=-x+4$）得D点纵坐标：$y_D=-a+4$。
∵线段CD长为2，且两点横坐标相同，
∴$|y_C-y_D|=2$，即$|2a+1-(4-a)|=2$，
化简得$|3a-3|=2$，
∴$3a-3=2$或$3a-3=-2$，
分别解得$a=\frac{5}{3}$或$a=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $b=3$，$m=-1$；
(2) $a$的值为$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
一次函数点坐标特征，一次函数与方程，绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，重点考察一次函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，第二问需要结合线段长度的几何意义列绝对值方程，注意分类讨论避免漏解，可有效检验对一次函数基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
(1) 解题核心依据是“一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”：首先将点P的横坐标x=1代入$l_1$的解析式，即可算出b的值；得到P点的完整坐标后，再将P点坐标代入$l_2$的解析式，就能求出m的值。
(2) 垂直于x轴的直线$x=a$上所有点的横坐标均为a，因此将x=a分别代入$l_1$、$l_2$的解析式，可得到C、D两点的纵坐标；线段CD的长度为两点纵坐标差的绝对值（两点横坐标相同，线段长度等于纵向距离，加绝对值可避免漏解），据此列绝对值方程求解即可得到a的值。
【解析】
(1)
∵点$P(1,b)$在直线$l_1:y=2x+1$上，
∴将$x=1$代入解析式得：$b=2×1+1=3$，即点P坐标为$(1,3)$。
又
∵点$P(1,3)$在直线$l_2:y=mx+4$上，
∴将$x=1、y=3$代入解析式得：$3=m+4$，解得$m=-1$。
(2) 当$x=a$时，代入$l_1$解析式得C点纵坐标：$y_C=2a+1$，
代入$l_2$解析式（$m=-1$，即$l_2:y=-x+4$）得D点纵坐标：$y_D=-a+4$。
∵线段CD长为2，且两点横坐标相同，
∴$|y_C-y_D|=2$，即$|2a+1-(4-a)|=2$，
化简得$|3a-3|=2$，
∴$3a-3=2$或$3a-3=-2$，
分别解得$a=\frac{5}{3}$或$a=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $b=3$，$m=-1$；
(2) $a$的值为$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
一次函数点坐标特征，一次函数与方程，绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，重点考察一次函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，第二问需要结合线段长度的几何意义列绝对值方程，注意分类讨论避免漏解，可有效检验对一次函数基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
12 新趋势 新定义 定义:我们把一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与正比例函数$y=-x$的图象的交点称为一次函数$y=kx+b(k≠0)$图象的“亮点”,例如,求一次函数$y=-2x-1$图象的“亮点”时,联立方程$\begin{cases}y=-2x-1,\\y=-x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=1,\end{cases}$则一次函数$y=-2x-1$图象的“亮点”为$(-1,1)$.
(1) 一次函数$y=2x-3$图象的“亮点”为
(2) 一次函数$y=mx+n$图象的“亮点”为$(2,n+1)$,求$m,n$的值;
(3) 若一次函数$y=kx+4(k≠0)$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于$A,B$两点,且一次函数$y=kx+4$的图象上没有“亮点”,点$P$在$y$轴上,$S_{△ ABP}=\frac{3}{4}S_{△ AOB}$,请直接写出满足条件的点$P$的坐标.
(1) 一次函数$y=2x-3$图象的“亮点”为
(1,-1)
;(2) 一次函数$y=mx+n$图象的“亮点”为$(2,n+1)$,求$m,n$的值;
(3) 若一次函数$y=kx+4(k≠0)$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于$A,B$两点,且一次函数$y=kx+4$的图象上没有“亮点”,点$P$在$y$轴上,$S_{△ ABP}=\frac{3}{4}S_{△ AOB}$,请直接写出满足条件的点$P$的坐标.
答案
12. 解:(1) $(1,-1)$
(2) 由题意,得点$(2,n+1)$在直线 $y=-x$ 上,
所以 $n+1=-2$,
解得 $n=-3$.
因为点$(2,n+1)$,即$(2,-2)$在直线 $y=mx+n$ 上,
所以 $-2=2m-3$,
解得 $m=\dfrac{1}{2}$.
(3) 点 $P$ 的坐标为$(0,7)$或$(0,1)$.
(2) 由题意,得点$(2,n+1)$在直线 $y=-x$ 上,
所以 $n+1=-2$,
解得 $n=-3$.
因为点$(2,n+1)$,即$(2,-2)$在直线 $y=mx+n$ 上,
所以 $-2=2m-3$,
解得 $m=\dfrac{1}{2}$.
(3) 点 $P$ 的坐标为$(0,7)$或$(0,1)$.
解析
【分析】
(1) 根据“亮点”的定义，一次函数的“亮点”是它和正比例函数$y=-x$的交点，因此联立两个函数的解析式，解二元一次方程组即可得到交点坐标。
(2) “亮点”同时在两个函数图象上，先将亮点坐标代入$y=-x$求出$n$的值，再将亮点坐标代入一次函数$y=mx+n$即可求出$m$的值。
(3) 一次函数图象上没有“亮点”说明它和$y=-x$没有交点，即两直线平行，斜率相等，先确定$k$的值，再求出$A$、$B$两点坐标，计算$△ AOB$的面积，最后设出$P$点坐标，根据面积关系列方程求解，注意$P$点在$y$轴上的位置有两种情况，需用绝对值避免漏解。
【解析】
(1) 联立方程$\begin{cases}y=2x-3\\y=-x\end{cases}$，将$y=-x$代入$y=2x-3$得：$-x=2x-3$，解得$x=1$，则$y=-1$，因此“亮点”为$(1,-1)$。
(2) 由题意得，点$(2,n+1)$在$y=-x$上，代入得：$n+1=-2$，解得$n=-3$，因此亮点坐标为$(2,-2)$。将$(2,-2)$代入$y=mx+n$得：$-2=2m-3$，解得$m=\frac{1}{2}$。
(3) 因为一次函数$y=kx+4$图象上没有“亮点”，说明它与$y=-x$平行，所以$k=-1$，一次函数解析式为$y=-x+4$。
当$y=0$时，$x=4$，得$A(4,0)$；当$x=0$时，$y=4$，得$B(0,4)$。
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4×4=8$，则$S_{△ ABP}=\frac{3}{4}×8=6$。
设$P(0,p)$，则$BP=|p-4|$，$△ ABP$以$BP$为底，高为$A$到$y$轴的距离4，因此$\frac{1}{2}×|p-4|×4=6$，化简得$|p-4|=3$，解得$p=7$或$p=1$，即$P$点坐标为$(0,7)$或$(0,1)$。
【答案】
(1) $(1,-1)$；(2) $m=\frac{1}{2}$，$n=-3$；(3) $(0,7)$或$(0,1)$
【知识点】
新定义问题，一次函数图象与性质，一次函数面积计算
【点评】
本题结合新定义考查一次函数相关知识，难度梯度合理，解题核心是准确理解“亮点”的含义，掌握一次函数平行的条件以及坐标系中三角形面积的计算方法，第三问需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 根据“亮点”的定义，一次函数的“亮点”是它和正比例函数$y=-x$的交点，因此联立两个函数的解析式，解二元一次方程组即可得到交点坐标。
(2) “亮点”同时在两个函数图象上，先将亮点坐标代入$y=-x$求出$n$的值，再将亮点坐标代入一次函数$y=mx+n$即可求出$m$的值。
(3) 一次函数图象上没有“亮点”说明它和$y=-x$没有交点，即两直线平行，斜率相等，先确定$k$的值，再求出$A$、$B$两点坐标，计算$△ AOB$的面积，最后设出$P$点坐标，根据面积关系列方程求解，注意$P$点在$y$轴上的位置有两种情况，需用绝对值避免漏解。
【解析】
(1) 联立方程$\begin{cases}y=2x-3\\y=-x\end{cases}$，将$y=-x$代入$y=2x-3$得：$-x=2x-3$，解得$x=1$，则$y=-1$，因此“亮点”为$(1,-1)$。
(2) 由题意得，点$(2,n+1)$在$y=-x$上，代入得：$n+1=-2$，解得$n=-3$，因此亮点坐标为$(2,-2)$。将$(2,-2)$代入$y=mx+n$得：$-2=2m-3$，解得$m=\frac{1}{2}$。
(3) 因为一次函数$y=kx+4$图象上没有“亮点”，说明它与$y=-x$平行，所以$k=-1$，一次函数解析式为$y=-x+4$。
当$y=0$时，$x=4$，得$A(4,0)$；当$x=0$时，$y=4$，得$B(0,4)$。
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4×4=8$，则$S_{△ ABP}=\frac{3}{4}×8=6$。
设$P(0,p)$，则$BP=|p-4|$，$△ ABP$以$BP$为底，高为$A$到$y$轴的距离4，因此$\frac{1}{2}×|p-4|×4=6$，化简得$|p-4|=3$，解得$p=7$或$p=1$，即$P$点坐标为$(0,7)$或$(0,1)$。
【答案】
(1) $(1,-1)$；(2) $m=\frac{1}{2}$，$n=-3$；(3) $(0,7)$或$(0,1)$
【知识点】
新定义问题，一次函数图象与性质，一次函数面积计算
【点评】
本题结合新定义考查一次函数相关知识，难度梯度合理，解题核心是准确理解“亮点”的含义，掌握一次函数平行的条件以及坐标系中三角形面积的计算方法，第三问需注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
