1.(2025·常州模拟)方程$x^2 - 2x = 0$的根是 ()

A.$x_1 = x_2 = 0$
B.$x_1 = x_2 = 2$
C.$x_1 = 0,x_2 = 2$
D.$x_1 = 0,x_2 = -2$

1.C

2.若代数式$x(x-1)$和$3(1-x)$的值互为相反数，则$x$的值为 （）

A.1或3
B.$-1$或$-3$
C.1或$-1$
D.3或$-3$

2.A

3. 将$(2x-1)^2=10x-5$转化为两个一元一次方程，这两个方程分别是$\underline{\hspace{15cm}}$.

3.$2x-1=0\quad 2x-1=5$

4.(2025·苏州期末)一元二次方程$2x(x-3)=3(x-3)$的根是________.

4.$x_1=3,x_2=\frac{3}{2}$

5. 用因式分解法解下列方程：
(1)$3x^2 + 6x = 0$；
(2)$x(x - 7) = 8(7 - x)$；
(3)$(2x - 1)^2 - 2x + 1 = 0$；
(4)$x(2x + 3) = 4x + 6$；
(5)$2(x - 3)^2 = x^2 - 9$；
(6)$(2x + 3)^2 = x^2 - 6x + 9$。

5.解:(1)原方程可变形为$3x(x+2)=0$,
则$3x=0$或$x+2=0$,解得$x_1=0,x_2=-2$.
(2)原方程可变形为$x(x-7)+8(x-7)=0$,
$(x-7)(x+8)=0$,则$x-7=0$或$x+8=0$,
解得$x_1=7,x_2=-8$.
(3)原方程可变形为$2(2x-1)(x-1)=0$,
则$2x-1=0$或$x-1=0$,解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=1$.
(4)原方程可变形为$x(2x+3)-2(2x+3)=0$,
$(x-2)(2x+3)=0$,则$x-2=0$或$2x+3=0$,
解得$x_1=2,x_2=-\frac{3}{2}$.
(5)原方程可变形为$2(x-3)^2=(x+3)(x-3)$,
$\therefore (x-3)(x-9)=0$,则$x-3=0$或$x-9=0$,
解得$x_1=3,x_2=9$.
(6)原方程可化为$x^2+6x=0$,$\therefore x(x+6)=0$,则$x=0$或$x+6=0$,解得$x_1=0,x_2=-6$.

6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程$x^2 - 3x = 4(x - 3)$的两个实数根,则该直角三角形斜边上的中线长是 （）

A.3
B.4
C.6
D.2.5

6.D

7. 用因式分解法解方程 $x^2 - px - 6 = 0$，若将左边分解后有一个因式是 $x - 3$，则 $p$ 的值是（）

A.5
B.-5
C.-1
D.1

7.D

8. 阅读材料:如果$(x+1)^2 - 9 = 0$,那么$(x+1)^2 - 3^2 = (x+1+3)(x+1-3) = (x+4)(x-2)$,则$(x+4)(x-2)=0$,由此可知$x_1=-4,x_2=2$.根据以上材料计算$x^2 - 2x -1=0$的根为 ()

A.$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
B.$x_1=-1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$
C.$x_1=-1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$
D.$x_1=1+\sqrt{2},x_2=-1-\sqrt{2}$

8.A