1[中]如图,点C是线段AB上的一点,且AC＜BC,M和N分别是AB和BC的中点,已知AC=10,NB=7,则线段MN的长度是 ()


A.3
B.3.5
C.4
D.5

1.D 【解析】因为 $N$ 是 $BC$ 的中点,所以 $BN=CN$,所以 $AB=AC+2BN=10+14=24$. 因为 $M$ 是 $AB$ 的中点,所以 $BM = \dfrac{1}{2} AB = 12$,所以 $MN=BM-BN=12-7=5$,故选 D.

2[较难]如图,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点.
(1)若AC=9 cm,CB=6 cm,求线段MN的长.
(2)若C为线段AB上任一点(不与A,B重合),满足AC+CB=a cm,其他条件不变,你能猜想出MN的长度吗?请说明理由.
(3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC−BC=b cm,点M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想MN的长度吗?请画出图形,写出你的结论,并说明理由.

2.【解】(1)因为 $AC=9\ \mathrm{cm}$,点 $M$ 是 $AC$ 的中点,所以 $CM = \dfrac{1}{2} AC = 4.5\ \mathrm{cm}$.
因为 $BC=6\ \mathrm{cm}$,点 $N$ 是 $BC$ 的中点,所以 $CN = \dfrac{1}{2} BC = 3\ \mathrm{cm}$,所以 $MN = CM+CN = 7.5\ \mathrm{cm}$,所以线段 $MN$ 的长度为 $7.5\ \mathrm{cm}$.
(2)能. $MN = \dfrac{1}{2} a\ \mathrm{cm}$. 理由:因为 $C$ 为线段 $AB$ 上任一点(不与 $A,B$ 重合),且点 $M,N$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,所以 $MN = MC+CN = \dfrac{1}{2} (AC+BC) = \dfrac{1}{2} a\ \mathrm{cm}$.
(3)能. 当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时,如图(1)或图(2),$MN = \dfrac{1}{2} b\ \mathrm{cm}$.
理由:因为点 $M$ 是 $AC$ 的中点,所以 $CM = \dfrac{1}{2} AC$.
因为点 $N$ 是 $BC$ 的中点,所以 $CN = \dfrac{1}{2} BC$,所以 $MN = CM-CN = \dfrac{1}{2} (AC-BC) = \dfrac{1}{2} b\ \mathrm{cm}$.

3[较难]如图,A,B,C,D四点在同一直线上.
(1)若AB=CD,
①比较线段的大小:AC BD(填“＞”“=”或“＜”);
②若$BC=\dfrac{3}{4}AC$,且$AC=12\ \mathrm{cm}$,则AD的长为 cm.
(2)若$AB:BC:CD=3:4:5$,且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16 cm,求AD的长.

3.【解】(1)①因为 $AB=CD$,所以 $AB+BC=CD+BC$,即 $AC=BD$. 故答案为 $=$.
②因为 $BC = \dfrac{3}{4} AC$,且 $AC=12\ \mathrm{cm}$,所以 $BC = \dfrac{3}{4} ×12 = 9(\mathrm{cm})$,所以 $AB=CD=AC-BC=12-9=3(\mathrm{cm})$,所以 $AD=AC+CD=12+3=15(\mathrm{cm})$. 故答案为 15.
(2)设 $AB=3x\ \mathrm{cm}$,$BC=4x\ \mathrm{cm}$,$CD=5x\ \mathrm{cm}$,则 $AD=12x\ \mathrm{cm}$.
因为点 $M$ 是 $AB$ 的中点,点 $N$ 是 $CD$ 的中点,所以 $AM=BM = \dfrac{3}{2} x\ \mathrm{cm}$,$CN=DN = \dfrac{5}{2} x\ \mathrm{cm}$.
又因为 $MN=16\ \mathrm{cm}$,所以 $\dfrac{3}{2} x +4x +\dfrac{5}{2} x = 16$,解得 $x=2$,所以 $AD=24\ \mathrm{cm}$.

4[中]如图，点A，B，C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，则下列说法：①$MN=HC$；②$MN=\frac{1}{2}(AC+HB)$；③$MH=\frac{1}{2}(AH-HB)$；④$HN=\frac{1}{2}(HC+HB)$。其中正确的是（）


A.①③
B.②④
C.①④
D.①③④

4.D 【解析】因为 $H$ 为 $AC$ 的中点,$M$ 为 $AB$ 的中点,$N$ 为 $BC$ 的中点,所以易得 $MN = \dfrac{1}{2} AC = HC$,①正确,②错误;$MH = MN-HN = \dfrac{1}{2} AC - (HC-CN) = \dfrac{1}{2} AC - \dfrac{1}{2} (AC-BC) = \dfrac{1}{2} BC = \dfrac{1}{2} (HC-HB) = \dfrac{1}{2} (AH-HB)$,③正确;$HN = HC-NC = \dfrac{1}{2} AC - \dfrac{1}{2} BC = \dfrac{1}{2} (AC-BC) = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{1}{2} (AH+HB) = \dfrac{1}{2} (HC+HB)$,④正确. 所以①③④正确. 故选 D.