1[2025黑龙江哈尔滨期末,中]如图,线段AB的长为20 cm,O是线段AB的中点,P,Q是线段AB上的动点,点P沿A→B→A以4 cm/s的速度运动,点Q沿B→A以2 cm/s的速度运动.若P,Q两点同时出发,则当$OP=OQ$时,运动时间为 ()

A.0 s或10 s或$\frac{5}{3}$ s
B.0 s或5 s或$\frac{10}{3}$ s
C.0 s或$\frac{10}{3}$ s或$\frac{20}{3}$ s或10 s
D.0 s或5 s或$\frac{5}{3}$ s或$\frac{10}{3}$ s

1.C 【解析】因为线段 $AB$ 的长为 $20\ \mathrm{cm}$,$O$ 是线段 $AB$ 的中点,所以 $AO = \dfrac{1}{2} AB = 10\ \mathrm{cm}$. 设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$,则 $BQ=2t\ \mathrm{cm}$,所以 $AQ=AB-BQ=(20-2t)\ \mathrm{cm}$,所以 $OQ = |AQ-AO| = |20-2t-10| = |10-2t|\ \mathrm{cm}$. 因为点 $P$ 沿 $A\to B\to A$ 以 $4\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动,所以分两种情况讨论:
①当点 $P$ 沿 $A\to B$ 运动时,点 $P$ 到达点 $B$ 需要的时间为 $20÷4=5(\mathrm{s})$,所以此时 $0≤ t≤5$,$AP=4t\ \mathrm{cm}$,所以 $OP = |AO-AP| = |10-4t|\ \mathrm{cm}$. 因为 $OP=OQ$,所以 $|10-4t|=|10-2t|$,所以 $10-4t=10-2t$ 或 $10-4t=2t-10$,解得 $t=0$ 或 $t=\dfrac{10}{3}$. ②当点 $P$ 沿 $B\to A$ 运动时,$5＜t≤10$,$BP=(4t-20)\ \mathrm{cm}$,所以 $AP=AB-BP=20-(4t-20)=(40-4t)\ \mathrm{cm}$,所以 $OP = |AP-AO| = |40-4t-10| = |30-4t|\ \mathrm{cm}$. 因为 $OP=OQ$,所以 $|30-4t|=|10-2t|$,所以 $30-4t=10-2t$ 或 $30-4t=2t-10$,解得 $t=10$ 或 $t=\dfrac{20}{3}$. 综上所述,当 $OP=OQ$ 时,运动时间为 $0\ \mathrm{s}$ 或 $\dfrac{10}{3}\ \mathrm{s}$ 或 $\dfrac{20}{3}\ \mathrm{s}$ 或 $10\ \mathrm{s}$. 故选 C.

2[2025重庆沙坪坝区质检,中]如图,已知点C在线段AB上,且AC=2BC,线段DE在线段AB上运动(点D,E不与点A,B重合,且点D在点E的左侧),AB=15,DE=6.
(1)当点E为BC的三等分点时,求线段AD的长;
(2)点F在线段AB上(不与点A,B,C重合),且AF=3AD,CF=3,求线段AE的长.

2.【解】(1)因为 $AC=2BC$,$AB=15$,所以 $AC = \dfrac{2}{3} ×15 = 10$,$BC = \dfrac{1}{3} ×15 = 5$. 由题意,分两种情况:
①当点 $E$ 靠近点 $C$ 时,如图(1)所示.
因为点 $E$ 为 $BC$ 的三等分点,所以 $CE = \dfrac{1}{3} CB = \dfrac{5}{3}$,所以 $DC = DE-CE = 6 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{13}{3}$,所以 $AD = AC-DC = 10 - \dfrac{13}{3} = \dfrac{17}{3}$.
②当点 $E$ 靠近点 $B$ 时,如图(2)所示.
因为点 $E$ 为 $BC$ 的三等分点,所以 $CE = \dfrac{2}{3} CB = \dfrac{10}{3}$,所以 $DC = DE-CE = 6 - \dfrac{10}{3} = \dfrac{8}{3}$,所以 $AD = AC-DC = 10 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{22}{3}$. 综上所述,线段 $AD$ 的长为 $\dfrac{17}{3}$ 或 $\dfrac{22}{3}$.
(2)依题意,分两种情况:
①如图(3)所示,当点 $F$ 在点 $C$ 右侧时,
因为 $AC=10$,$CF=3$,所以 $AF=AC+CF=10+3=13$. 因为 $AF=3AD$,所以 $AD = \dfrac{1}{3} AF = \dfrac{13}{3}$. 因为 $DE=6$,所以 $AE = AD+DE = \dfrac{13}{3} +6 = \dfrac{31}{3}$.
②如图(4)所示,当点 $F$ 在点 $C$ 左侧时,
因为 $AC=10$,$CF=3$,所以 $AF=AC-CF=10-3=7$. 因为 $AF=3AD$,所以 $AD = \dfrac{1}{3} AF = \dfrac{7}{3}$,所以 $AE = AD+DE = \dfrac{7}{3} +6 = \dfrac{25}{3}$.
综上所述,$AE$ 的长为 $\dfrac{31}{3}$ 或 $\dfrac{25}{3}$.

3[2025福建福州期末,中]如图,线段AB的长为24,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,M为AP的中点,设点P的运动时间为x秒.
(1)当x=5时,求BM的长.
(2)当P在线段AB上运动时,2BM-PB是定值吗?如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.
(3)当P在射线AB上运动时,N为BP的中点,求MN的长.

备用图

刷晕了鸭

3.【解】(1)当 $x=5$ 时,$AP=2×5=10$. 因为 $M$ 为 $AP$ 的中点,所以 $AM = \dfrac{1}{2} AP = 5$,所以 $BM = AB-AM = 19$,所以 $BM$ 的长为 19.
(2)当 $P$ 在线段 $AB$ 上运动时,$2BM-PB$ 是定值. 由题意得,$AM = \dfrac{1}{2} AP$,$BM=AB-AM$,所以 $2BM-PB = 2(AB-AM)-(AB-AP) = 2AB-AP-AB+AP = AB = 24$,所以 $2BM-PB$ 是定值,定值为 24.
(3)①当 $P$ 在线段 $AB$ 上运动时,如图(1).
由题意得,$PN = \dfrac{1}{2} BP$,$MP = \dfrac{1}{2} AP$,所以 $MN = MP+NP = \dfrac{1}{2} (AP+BP) = \dfrac{1}{2} AB = 12$.
②当 $P$ 在线段 $AB$ 的延长线上运动时,如图(2).
由题意得,$PN = \dfrac{1}{2} BP$,$MP = \dfrac{1}{2} AP$,所以 $MN = MP-NP = \dfrac{1}{2} (AP-BP) = \dfrac{1}{2} AB = 12$.
综上所述,$MN$ 的长为 12.