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1. [2025德州中考]下列各数为无理数的是（
A.-3
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$0.\dot{3}$
B
）A.-3
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$0.\dot{3}$
答案
-3是整数，$\frac{1}{2}$是分数，$0.\dot{3}$是无限循环小数，它们都是有理数，$\sqrt{5}$是无限不循环小数，它是无理数。
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数和无理数的核心概念：有理数包括整数、分数，所有有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。接下来我们逐个判断每个选项所属的类别，排除有理数后即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. -3是整数，整数属于有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{5}$是开平方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
C. $\frac{1}{2}$是分数，分数属于有理数，不符合要求；
D. $0.\dot{3}$是无限循环小数，可转化为分数$\frac{1}{3}$，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的概念，牢记常见的无理数类型即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确有理数和无理数的核心概念：有理数包括整数、分数，所有有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。接下来我们逐个判断每个选项所属的类别，排除有理数后即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. -3是整数，整数属于有理数，不符合要求；
B. $\sqrt{5}$是开平方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合要求；
C. $\frac{1}{2}$是分数，分数属于有理数，不符合要求；
D. $0.\dot{3}$是无限循环小数，可转化为分数$\frac{1}{3}$，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分有理数和无理数的概念，牢记常见的无理数类型即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 给出下列说法:①无限小数都是无理数;②带根号的数都是无理数;③无理数是开方开不尽的数的方根;④无理数是无限不循环小数.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
无限循环小数不是无理数，故①不正确；$\sqrt{4}=2$，是有理数，故②不正确；$π$是无理数，但$π$不含根号，故③不正确；无限不循环小数叫作无理数，故④正确。故选A.
解析
【分析】
本题考查无理数的概念辨析，解题核心是紧扣无理数“无限不循环小数”的定义，可通过举反例的方法逐一判断每个说法的正误。首先明确：有理数包含整数、分数、无限循环小数；无理数的核心特征是无限且不循环，常见类型有开方开不尽的数的方根、π类、无限不循环小数三类，据此对4个说法逐一验证即可。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正确性：
①无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，因此并非所有无限小数都是无理数，故①错误；
②带根号的数若能开得尽方则为有理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是整数属于有理数，因此带根号的数不都是无理数，故②错误；
③无理数不只有开方开不尽的数的方根，例如π是无理数，但它不是开方运算的结果，也不含根号，故③错误；
④根据无理数的定义，无限不循环小数叫作无理数，故④正确。
综上，只有1个说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义，实数的分类，有理数的判定
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，主要考查对无理数概念的理解，解题时要注意避免对概念的片面解读，通过举反例可以快速排除错误说法，牢记无理数“无限”“不循环”两个核心特征是解题关键。
【难度系数】
0.75
本题考查无理数的概念辨析，解题核心是紧扣无理数“无限不循环小数”的定义，可通过举反例的方法逐一判断每个说法的正误。首先明确：有理数包含整数、分数、无限循环小数；无理数的核心特征是无限且不循环，常见类型有开方开不尽的数的方根、π类、无限不循环小数三类，据此对4个说法逐一验证即可。
【解析】
我们逐个判断4个说法的正确性：
①无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，因此并非所有无限小数都是无理数，故①错误；
②带根号的数若能开得尽方则为有理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是整数属于有理数，因此带根号的数不都是无理数，故②错误；
③无理数不只有开方开不尽的数的方根，例如π是无理数，但它不是开方运算的结果，也不含根号，故③错误；
④根据无理数的定义，无限不循环小数叫作无理数，故④正确。
综上，只有1个说法正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义，实数的分类，有理数的判定
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，主要考查对无理数概念的理解，解题时要注意避免对概念的片面解读，通过举反例可以快速排除错误说法，牢记无理数“无限”“不循环”两个核心特征是解题关键。
【难度系数】
0.75
3. [2025天津中考]估计$1+\sqrt{6}$的值在 （
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9},\therefore 2＜\sqrt{6}＜3,\therefore 3＜1+\sqrt{6}＜4.$
解析
【分析】
要估算$1+\sqrt{6}$的取值范围，首先需要确定$\sqrt{6}$的取值范围：我们可以先找到和被开方数6相邻的两个正整数的完全平方数，以此确定$\sqrt{6}$在哪两个相邻整数之间，再根据不等式的性质，给不等式三边同时加1，就能得到$1+\sqrt{6}$的范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
首先找到与6相邻的两个完全平方数：$4=2^2$，$9=3^2$，且$4＜6＜9$，
对三个数同时开算术平方根可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，
给不等式三边同时加1，可得$2+1＜1+\sqrt{6}＜3+1$，化简得$3＜1+\sqrt{6}＜4$，
因此$1+\sqrt{6}$的值在3和4之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的基础常见题型，解题核心是先确定被开方数位于哪两个相邻正整数的平方之间，进而得到对应算术平方根的范围，再通过简单的运算得到所求式子的范围，熟练记忆常见正整数的平方结果是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要估算$1+\sqrt{6}$的取值范围，首先需要确定$\sqrt{6}$的取值范围：我们可以先找到和被开方数6相邻的两个正整数的完全平方数，以此确定$\sqrt{6}$在哪两个相邻整数之间，再根据不等式的性质，给不等式三边同时加1，就能得到$1+\sqrt{6}$的范围，对应选出正确选项即可。
【解析】
首先找到与6相邻的两个完全平方数：$4=2^2$，$9=3^2$，且$4＜6＜9$，
对三个数同时开算术平方根可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，
给不等式三边同时加1，可得$2+1＜1+\sqrt{6}＜3+1$，化简得$3＜1+\sqrt{6}＜4$，
因此$1+\sqrt{6}$的值在3和4之间。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；不等式的基本性质
【点评】
本题是无理数估算的基础常见题型，解题核心是先确定被开方数位于哪两个相邻正整数的平方之间，进而得到对应算术平方根的范围，再通过简单的运算得到所求式子的范围，熟练记忆常见正整数的平方结果是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 下列各数中,介于5和6之间的数是 (
A.$\sqrt{23}$
B.$\sqrt{44}$
C.$\sqrt{3} + 3$
D.$\sqrt{5} + 3$
D
)A.$\sqrt{23}$
B.$\sqrt{44}$
C.$\sqrt{3} + 3$
D.$\sqrt{5} + 3$
答案
$\because 16＜23＜25,\therefore 4＜\sqrt{23}＜5$，选项A不符合题意。$\because 36＜44＜49,\therefore 6＜\sqrt{44}＜7$，选项B不符合题意。$\because 1＜\sqrt{3}＜2,\therefore 4＜\sqrt{3}+3＜5$，选项C不符合题意。$\because 2＜\sqrt{5}＜3,\therefore 5＜\sqrt{5}+3＜6$，选项D符合题意。
解析
【分析】要判断各选项中的数是否介于5和6之间，核心方法是用“夹逼法”先估算出每个选项中无理数的取值范围，再通过运算得到整个式子的取值范围，最后与5、6比较即可。对于算术平方根类的无理数，只需找到被开方数在哪两个相邻正整数的平方之间，就能确定该算术平方根的范围，进一步计算即可判断选项是否符合要求。
【解析】
A选项：$\because 16＜23＜25$，$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，不在5和6之间，不符合题意；
B选项：$\because 36＜44＜49$，$\therefore \sqrt{36}＜\sqrt{44}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{44}＜7$，不在5和6之间，不符合题意；
C选项：$\because 1＜3＜4$，$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式各边加3可得$4＜\sqrt{3}+3＜5$，不在5和6之间，不符合题意；
D选项：$\because 4＜5＜9$，$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式各边加3可得$5＜\sqrt{5}+3＜6$，介于5和6之间，符合题意。
【答案】D
【知识点】1.无理数估算 2.实数大小比较
【点评】本题考查无理数的估算及实数大小比较，解题的关键是熟练掌握“夹逼法”估算无理数大小的方法，是实数相关知识中的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】
A选项：$\because 16＜23＜25$，$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{23}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{23}＜5$，不在5和6之间，不符合题意；
B选项：$\because 36＜44＜49$，$\therefore \sqrt{36}＜\sqrt{44}＜\sqrt{49}$，即$6＜\sqrt{44}＜7$，不在5和6之间，不符合题意；
C选项：$\because 1＜3＜4$，$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式各边加3可得$4＜\sqrt{3}+3＜5$，不在5和6之间，不符合题意；
D选项：$\because 4＜5＜9$，$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式各边加3可得$5＜\sqrt{5}+3＜6$，介于5和6之间，符合题意。
【答案】D
【知识点】1.无理数估算 2.实数大小比较
【点评】本题考查无理数的估算及实数大小比较，解题的关键是熟练掌握“夹逼法”估算无理数大小的方法，是实数相关知识中的基础题型。
【难度系数】0.8
5. [2025盐城东台实验中学集团段考] 与$\sqrt{29}$最接近的整数是（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
$\because 25＜29＜36,\therefore \sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36},\therefore 5＜\sqrt{29}＜6.$
$\because 5.5^2=30.25,\therefore 29＜5.5^2,\therefore \sqrt{29}＜\sqrt{5.5^2},\therefore \sqrt{29}＜5.5.$
$\therefore 5＜\sqrt{29}＜5.5,\therefore$ 与$\sqrt{29}$最接近的整数是5.
$\because 5.5^2=30.25,\therefore 29＜5.5^2,\therefore \sqrt{29}＜\sqrt{5.5^2},\therefore \sqrt{29}＜5.5.$
$\therefore 5＜\sqrt{29}＜5.5,\therefore$ 与$\sqrt{29}$最接近的整数是5.
解析
【分析】
要判断与$\sqrt{29}$最接近的整数，首先用“夹逼法”确定$\sqrt{29}$所在的相邻整数区间：先找29附近的完全平方数，$5^2=25$，$6^2=36$，可得出$\sqrt{29}$在5和6之间；接下来判断$\sqrt{29}$更靠近5还是6，只需将$\sqrt{29}$和5、6的中点5.5比较大小，计算5.5的平方与29对比，就能得出最终结论。
【解析】
$\because 25＜29＜36$，
$\therefore \sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{29}＜6$。
$\because 5.5^2=30.25$，$29＜30.25$，
$\therefore \sqrt{29}＜\sqrt{5.5^2}$，即$\sqrt{29}＜5.5$。
$\therefore 5＜\sqrt{29}＜5.5$，因此与$\sqrt{29}$最接近的整数是5。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质 3. 实数大小比较
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，核心方法是利用夹逼法确定无理数的取值范围，再通过和区间中点对比判断最接近的整数，熟练掌握夹逼法就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
要判断与$\sqrt{29}$最接近的整数，首先用“夹逼法”确定$\sqrt{29}$所在的相邻整数区间：先找29附近的完全平方数，$5^2=25$，$6^2=36$，可得出$\sqrt{29}$在5和6之间；接下来判断$\sqrt{29}$更靠近5还是6，只需将$\sqrt{29}$和5、6的中点5.5比较大小，计算5.5的平方与29对比，就能得出最终结论。
【解析】
$\because 25＜29＜36$，
$\therefore \sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{29}＜6$。
$\because 5.5^2=30.25$，$29＜30.25$，
$\therefore \sqrt{29}＜\sqrt{5.5^2}$，即$\sqrt{29}＜5.5$。
$\therefore 5＜\sqrt{29}＜5.5$，因此与$\sqrt{29}$最接近的整数是5。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质 3. 实数大小比较
【点评】
本题是无理数估算的基础题型，核心方法是利用夹逼法确定无理数的取值范围，再通过和区间中点对比判断最接近的整数，熟练掌握夹逼法就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
6. 下列整数中，与$7 - \sqrt{17}$最接近的是（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
$\because 16＜17＜25,\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5.$
$\because 4.5^2=20.25,\therefore -4.5＜-\sqrt{17}＜-4,\therefore 7-4.5＜7-\sqrt{17}＜7-4$，即$2.5＜7-\sqrt{17}＜3,\therefore$ 与$7-\sqrt{17}$最接近的整数为3.
$\because 4.5^2=20.25,\therefore -4.5＜-\sqrt{17}＜-4,\therefore 7-4.5＜7-\sqrt{17}＜7-4$，即$2.5＜7-\sqrt{17}＜3,\therefore$ 与$7-\sqrt{17}$最接近的整数为3.
解析
【分析】
要确定与$7-\sqrt{17}$最接近的整数，首先需要用“夹逼法”估算$\sqrt{17}$的取值范围：先找到和17相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{17}$在哪两个整数之间，再进一步判断$\sqrt{17}$更靠近4还是5，最后通过不等式的性质推导$7-\sqrt{17}$的取值范围，就能判断出最接近的整数。
【解析】
$\because 16＜17＜25$，
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
又$\because 4.5^2=20.25＞17$，
$\therefore 4＜\sqrt{17}＜4.5$，
不等式两边同时乘$-1$得：$-4.5＜-\sqrt{17}＜-4$，
不等式两边同时加7得：$7-4.5＜7-\sqrt{17}＜7-4$，
即$2.5＜7-\sqrt{17}＜3$，
因此与$7-\sqrt{17}$最接近的整数是3。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数大小比较
【点评】
本题是无理数估算的典型考题，解题核心是掌握“夹逼法”确定无理数的大致范围，再结合不等式的性质推导所求式子的取值范围，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
要确定与$7-\sqrt{17}$最接近的整数，首先需要用“夹逼法”估算$\sqrt{17}$的取值范围：先找到和17相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{17}$在哪两个整数之间，再进一步判断$\sqrt{17}$更靠近4还是5，最后通过不等式的性质推导$7-\sqrt{17}$的取值范围，就能判断出最接近的整数。
【解析】
$\because 16＜17＜25$，
$\therefore \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$，
又$\because 4.5^2=20.25＞17$，
$\therefore 4＜\sqrt{17}＜4.5$，
不等式两边同时乘$-1$得：$-4.5＜-\sqrt{17}＜-4$，
不等式两边同时加7得：$7-4.5＜7-\sqrt{17}＜7-4$，
即$2.5＜7-\sqrt{17}＜3$，
因此与$7-\sqrt{17}$最接近的整数是3。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 实数大小比较
【点评】
本题是无理数估算的典型考题，解题核心是掌握“夹逼法”确定无理数的大致范围，再结合不等式的性质推导所求式子的取值范围，整体解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
7. 新趋势·结论开放 [2024 滨州中考]写出一个比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数：
2(答案不唯一)
。答案
$\because 3＜4＜10,\therefore \sqrt{3}＜\sqrt{4}＜\sqrt{10}$，即$\sqrt{3}＜2＜\sqrt{10}.$
解析
【分析】
要找到比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要估算这两个无理数的取值范围。我们可以通过对比整数的平方与3、10的大小关系，结合“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，确定两个无理数所在的区间，再从中筛选出整数即可。
【解析】
首先估算$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$；
又因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$。
由此可知，介于$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$之间的整数为2、3，任选其一即可，例如：
$\because 3＜4＜10,\therefore \sqrt{3}＜\sqrt{4}＜\sqrt{10}$，即$\sqrt{3}＜2＜\sqrt{10}$，2符合要求。
【答案】
2（或3，答案不唯一）
【知识点】
无理数大小估算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于结论开放类基础题，重点考查对无理数大小的估算能力，只要掌握通过平方值判断算术平方根范围的方法，就能快速得到符合要求的答案，得分率较高。
【难度系数】
0.8
要找到比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数，首先需要估算这两个无理数的取值范围。我们可以通过对比整数的平方与3、10的大小关系，结合“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，确定两个无理数所在的区间，再从中筛选出整数即可。
【解析】
首先估算$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$；
又因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$。
由此可知，介于$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$之间的整数为2、3，任选其一即可，例如：
$\because 3＜4＜10,\therefore \sqrt{3}＜\sqrt{4}＜\sqrt{10}$，即$\sqrt{3}＜2＜\sqrt{10}$，2符合要求。
【答案】
2（或3，答案不唯一）
【知识点】
无理数大小估算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于结论开放类基础题，重点考查对无理数大小的估算能力，只要掌握通过平方值判断算术平方根范围的方法，就能快速得到符合要求的答案，得分率较高。
【难度系数】
0.8
8. [2025无锡锡山区期中]若$a＜\sqrt{12}＜a+1$，其中$a$为整数，则$a^2 -2$的值为
7
.答案
$\because 9＜12＜16,\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16},\therefore 3＜\sqrt{12}＜4.$
$\because a＜\sqrt{12}＜a+1$，且$a$为整数，$\therefore a=3,\therefore a^2-2=3^2-2=7.$
$\because a＜\sqrt{12}＜a+1$，且$a$为整数，$\therefore a=3,\therefore a^2-2=3^2-2=7.$
解析
【分析】
要计算$a^2 -2$的值，首先需要确定整数$a$的取值。已知$a＜\sqrt{12}＜a+1$，因此核心是估算$\sqrt{12}$的大小范围：我们可以先找到与12相邻的两个完全平方数，通过对这两个完全平方数开平方，就能得到$\sqrt{12}$所在的相邻整数区间，进而确定$a$的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
$\because 9＜12＜16$，
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$。
又$\because a＜\sqrt{12}＜a+1$，且$a$为整数，
$\therefore a=3$，
$\therefore a^2-2=3^2-2=9-2=7$。
【答案】
$7$
【知识点】
无理数的大小估算；代数式求值
【点评】
本题考查无理数估算的基础应用，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，以此确定无理数的整数范围，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算$a^2 -2$的值，首先需要确定整数$a$的取值。已知$a＜\sqrt{12}＜a+1$，因此核心是估算$\sqrt{12}$的大小范围：我们可以先找到与12相邻的两个完全平方数，通过对这两个完全平方数开平方，就能得到$\sqrt{12}$所在的相邻整数区间，进而确定$a$的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
$\because 9＜12＜16$，
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{12}＜4$。
又$\because a＜\sqrt{12}＜a+1$，且$a$为整数，
$\therefore a=3$，
$\therefore a^2-2=3^2-2=9-2=7$。
【答案】
$7$
【知识点】
无理数的大小估算；代数式求值
【点评】
本题考查无理数估算的基础应用，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，以此确定无理数的整数范围，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
9. [2026南京联合体期末]已知a是$\sqrt{10}$的整数部分，b是$\sqrt{21}$的整数部分，则$a - b =$
-1
。答案
$\because 3^2＜10＜4^2,\therefore 3＜\sqrt{10}＜4,\therefore \sqrt{10}$的整数部分$a=3.$
$\because 4^2＜21＜5^2,\therefore 4＜\sqrt{21}＜5,\therefore \sqrt{21}$的整数部分$b=4$，
$\therefore a-b=-1.$
$\because 4^2＜21＜5^2,\therefore 4＜\sqrt{21}＜5,\therefore \sqrt{21}$的整数部分$b=4$，
$\therefore a-b=-1.$
解析
【分析】
要计算$a - b$的值，需先分别求出$a$、$b$的取值。求无理数的整数部分，核心方法是用“平方法”找到该无理数介于哪两个连续正整数之间，较小的整数就是它的整数部分。首先对$\sqrt{10}$用平方法确定取值范围，得到整数部分$a$；再用同样方法确定$\sqrt{21}$的取值范围，得到整数部分$b$；最后代入代数式计算即可。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$，可得$\sqrt{10}$的整数部分$a=3$
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜21＜25$
$\therefore 4＜\sqrt{21}＜5$，可得$\sqrt{21}$的整数部分$b=4$
$\therefore a - b=3 - 4=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 有理数减法
【点评】
本题考查无理数整数部分的求解，解题关键是掌握用平方法估算无理数的取值范围，熟练记忆1到10的平方数可大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
要计算$a - b$的值，需先分别求出$a$、$b$的取值。求无理数的整数部分，核心方法是用“平方法”找到该无理数介于哪两个连续正整数之间，较小的整数就是它的整数部分。首先对$\sqrt{10}$用平方法确定取值范围，得到整数部分$a$；再用同样方法确定$\sqrt{21}$的取值范围，得到整数部分$b$；最后代入代数式计算即可。
【解析】
解：$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore 3＜\sqrt{10}＜4$，可得$\sqrt{10}$的整数部分$a=3$
$\because 4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜21＜25$
$\therefore 4＜\sqrt{21}＜5$，可得$\sqrt{21}$的整数部分$b=4$
$\therefore a - b=3 - 4=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 有理数减法
【点评】
本题考查无理数整数部分的求解，解题关键是掌握用平方法估算无理数的取值范围，熟练记忆1到10的平方数可大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
10. 天星原创 教材P70例1变式 判断下列无理数是否大于-3且小于-2，并说明理由.
(1) $-π +1$；
(2) $-\dfrac{π}{2} -1$.
(1) $-π +1$；
(2) $-\dfrac{π}{2} -1$.
答案
(1) $-3 ＜ -π +1 ＜ -2$. 理由如下：
$\because 3＜π＜4,\therefore -4＜-π＜-3,\therefore -3＜-π+1＜-2.$
(2) $-3 ＜ -\dfrac{π}{2} -1 ＜ -2$. 理由如下：
$\because 3＜π＜4,\therefore 1.5＜\dfrac{π}{2}＜2,\therefore -2＜-\dfrac{π}{2}＜-1.5,\therefore -3＜-\dfrac{π}{2}-1＜-2.5.$
$\because -2.5＜-2,\therefore -3＜-\dfrac{π}{2}-1＜-2.$
$\because 3＜π＜4,\therefore -4＜-π＜-3,\therefore -3＜-π+1＜-2.$
(2) $-3 ＜ -\dfrac{π}{2} -1 ＜ -2$. 理由如下：
$\because 3＜π＜4,\therefore 1.5＜\dfrac{π}{2}＜2,\therefore -2＜-\dfrac{π}{2}＜-1.5,\therefore -3＜-\dfrac{π}{2}-1＜-2.5.$
$\because -2.5＜-2,\therefore -3＜-\dfrac{π}{2}-1＜-2.$
解析
【分析】
要判断无理数是否在-3和-2之间，首先明确π的取值范围是3＜π＜4，再根据不等式的基本性质，对π逐步做对应的运算变形，推导出所求无理数的取值范围，最后和-3、-2对比就能得出结论。
【解析】
(1) 判断$-π +1$的范围：
$\because 3＜π＜4$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-4＜-π＜-3$，
不等式两边同时加1，不等号方向不变，得$-4+1＜-π+1＜-3+1$，即$-3＜-π+1＜-2$。
(2) 判断$-\dfrac{π}{2} -1$的范围：
$\because 3＜π＜4$，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，得$1.5＜\dfrac{π}{2}＜2$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-2＜-\dfrac{π}{2}＜-1.5$，
不等式两边同时减1，不等号方向不变，得$-2-1＜-\dfrac{π}{2}-1＜-1.5-1$，即$-3＜-\dfrac{π}{2}-1＜-2.5$，
$\because -2.5＜-2$，$\therefore -3＜-\dfrac{π}{2}-1＜-2$。
【答案】
(1) $-π +1$大于-3且小于-2；(2) $-\dfrac{π}{2} -1$大于-3且小于-2，理由见解析。
【知识点】
无理数的估算，不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础的无理数大小判断题型，解题核心是掌握π的近似取值范围，运算时要注意不等式两边同时乘负数时，不等号方向需要改变，熟练掌握该方法可快速解决含常见无理常数的数的范围判断问题。
【难度系数】
0.75
要判断无理数是否在-3和-2之间，首先明确π的取值范围是3＜π＜4，再根据不等式的基本性质，对π逐步做对应的运算变形，推导出所求无理数的取值范围，最后和-3、-2对比就能得出结论。
【解析】
(1) 判断$-π +1$的范围：
$\because 3＜π＜4$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-4＜-π＜-3$，
不等式两边同时加1，不等号方向不变，得$-4+1＜-π+1＜-3+1$，即$-3＜-π+1＜-2$。
(2) 判断$-\dfrac{π}{2} -1$的范围：
$\because 3＜π＜4$，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，得$1.5＜\dfrac{π}{2}＜2$，
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-2＜-\dfrac{π}{2}＜-1.5$，
不等式两边同时减1，不等号方向不变，得$-2-1＜-\dfrac{π}{2}-1＜-1.5-1$，即$-3＜-\dfrac{π}{2}-1＜-2.5$，
$\because -2.5＜-2$，$\therefore -3＜-\dfrac{π}{2}-1＜-2$。
【答案】
(1) $-π +1$大于-3且小于-2；(2) $-\dfrac{π}{2} -1$大于-3且小于-2，理由见解析。
【知识点】
无理数的估算，不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础的无理数大小判断题型，解题核心是掌握π的近似取值范围，运算时要注意不等式两边同时乘负数时，不等号方向需要改变，熟练掌握该方法可快速解决含常见无理常数的数的范围判断问题。
【难度系数】
0.75
11. [2026 苏州昆山秀峰中学月考] 正整数$a,b$分别满足$\sqrt[3]{53} ＜ a ＜ \sqrt[3]{98}$，$\sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7}$，则$b^a =$ (
A.4
B.8
C.9
D.16
D
)A.4
B.8
C.9
D.16
答案
解题思路:在53和98之间找到一个正数的立方数，对其开立方就可以求得$a$；在2和7之间找到一个正数的平方数，对其开平方就可以求得$b$.
$\because 53＜64＜98,2＜4＜7,\therefore \sqrt[3]{53}＜\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{98},\sqrt{2}＜\sqrt{4}＜\sqrt{7},$
$\therefore a=4,b=2,\therefore b^a=2^4=16.$
$\because 53＜64＜98,2＜4＜7,\therefore \sqrt[3]{53}＜\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{98},\sqrt{2}＜\sqrt{4}＜\sqrt{7},$
$\therefore a=4,b=2,\therefore b^a=2^4=16.$
解析
【分析】
解题时先明确a、b都是正整数，结合给出的根式范围估算无理数的大小：对于a的范围，因为立方根随被开方数增大而增大，所以先找53和98之间的完全立方数，开立方后即可得到正整数a的值；对于b的范围，同理算术平方根随被开方数增大而增大，找2和7之间的完全平方数，开平方后得到正整数b的值，最后代入计算$b^a$即可。
【解析】
先确定a的值：
∵$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125$，且$53＜64＜98$
∴$\sqrt[3]{53} ＜ \sqrt[3]{64} ＜ \sqrt[3]{98}$，即$\sqrt[3]{53} ＜ 4 ＜ \sqrt[3]{98}$
又
∵a是正整数，
∴$a=4$
再确定b的值：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，且$2＜4＜7$
∴$\sqrt{2} ＜ \sqrt{4} ＜ \sqrt{7}$，即$\sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{7}$
又
∵b是正整数，
∴$b=2$
计算得：$b^a=2^4=16$
【答案】
D
【知识点】
立方根估算、平方根估算、乘方运算
【点评】
本题考查无理数的估算及整数指数幂的计算，解题的核心是利用常见整数的平方、立方确定符合范围的正整数a、b，熟练掌握10以内整数的平方、立方结果能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先明确a、b都是正整数，结合给出的根式范围估算无理数的大小：对于a的范围，因为立方根随被开方数增大而增大，所以先找53和98之间的完全立方数，开立方后即可得到正整数a的值；对于b的范围，同理算术平方根随被开方数增大而增大，找2和7之间的完全平方数，开平方后得到正整数b的值，最后代入计算$b^a$即可。
【解析】
先确定a的值：
∵$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125$，且$53＜64＜98$
∴$\sqrt[3]{53} ＜ \sqrt[3]{64} ＜ \sqrt[3]{98}$，即$\sqrt[3]{53} ＜ 4 ＜ \sqrt[3]{98}$
又
∵a是正整数，
∴$a=4$
再确定b的值：
∵$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，且$2＜4＜7$
∴$\sqrt{2} ＜ \sqrt{4} ＜ \sqrt{7}$，即$\sqrt{2} ＜ 2 ＜ \sqrt{7}$
又
∵b是正整数，
∴$b=2$
计算得：$b^a=2^4=16$
【答案】
D
【知识点】
立方根估算、平方根估算、乘方运算
【点评】
本题考查无理数的估算及整数指数幂的计算，解题的核心是利用常见整数的平方、立方确定符合范围的正整数a、b，熟练掌握10以内整数的平方、立方结果能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
12. 若整数$m,n$满足$m＜\sqrt{5},n＞\sqrt{11}$,则$n-m$的最小值为（
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
B
）A.1
B.2
C.3
D.无法确定
答案
$\because m＜\sqrt{5},2＜\sqrt{5}＜3,\therefore$ 整数$m$的最大值为2. $\because n＞\sqrt{11},3＜\sqrt{11}＜4,\therefore$ 整数$n$的最小值为4. $\because$ 当$m$取最大值，$n$取最小值时，$n-m$有最小值，$\therefore n-m$的最小值为$4-2=2.$
解析
【分析】
要计算$n-m$的最小值，根据减法的性质：当被减数$n$取最小可能值，减数$m$取最大可能值时，差最小。因此我们需要先估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{11}$的取值范围，再结合$m、n$是整数的条件，分别确定$m$的最大值和$n$的最小值，最后代入计算即可。
【解析】
首先估算$\sqrt{5}$的范围：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$，
又$\because m$是整数且$m＜\sqrt{5}$，$\therefore$整数$m$的最大值为2。
再估算$\sqrt{11}$的范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜11＜16$，$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，
又$\because n$是整数且$n＞\sqrt{11}$，$\therefore$整数$n$的最小值为4。
当$m$取最大值、$n$取最小值时，$n-m$最小，代入得：
$n-m$的最小值为$4-2=2$。
【答案】
B
【知识点】
无理数大小估算；整数取值；代数式最值求解
【点评】
本题核心是利用无理数的估算确定符合条件的整数取值，解题关键是明确求$n-m$的最小值的逻辑：被减数越小、减数越大，差越小，属于基础常考题型，熟练掌握无理数的估算方法就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要计算$n-m$的最小值，根据减法的性质：当被减数$n$取最小可能值，减数$m$取最大可能值时，差最小。因此我们需要先估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{11}$的取值范围，再结合$m、n$是整数的条件，分别确定$m$的最大值和$n$的最小值，最后代入计算即可。
【解析】
首先估算$\sqrt{5}$的范围：
$\because 2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$，
又$\because m$是整数且$m＜\sqrt{5}$，$\therefore$整数$m$的最大值为2。
再估算$\sqrt{11}$的范围：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，$9＜11＜16$，$\therefore 3＜\sqrt{11}＜4$，
又$\because n$是整数且$n＞\sqrt{11}$，$\therefore$整数$n$的最小值为4。
当$m$取最大值、$n$取最小值时，$n-m$最小，代入得：
$n-m$的最小值为$4-2=2$。
【答案】
B
【知识点】
无理数大小估算；整数取值；代数式最值求解
【点评】
本题核心是利用无理数的估算确定符合条件的整数取值，解题关键是明确求$n-m$的最小值的逻辑：被减数越小、减数越大，差越小，属于基础常考题型，熟练掌握无理数的估算方法就能快速解答。
【难度系数】
0.8
13. 若$a,b$为两个连续整数，且$a ＜ \sqrt{13} + \sqrt{2} ＜ b$，则$a + b =$
11
。答案
$\because 3^2=9,4^2=16,9＜13＜16,\therefore 3＜\sqrt{13}＜4.$
$\because 3.5^2=12.25＜13,3.6^2=12.96＜13,3.7^2=13.69＞13,\therefore 3.6＜\sqrt{13}＜3.7.$
同理$1.4＜\sqrt{2}＜1.5.$
$\therefore 5＜\sqrt{13}+\sqrt{2}＜5.2.$
$\because a,b$为两个连续整数，且$a＜\sqrt{13}+\sqrt{2}＜b,\therefore a=5,b=6,\therefore a+b=5+6=11.$
$\because 3.5^2=12.25＜13,3.6^2=12.96＜13,3.7^2=13.69＞13,\therefore 3.6＜\sqrt{13}＜3.7.$
同理$1.4＜\sqrt{2}＜1.5.$
$\therefore 5＜\sqrt{13}+\sqrt{2}＜5.2.$
$\because a,b$为两个连续整数，且$a＜\sqrt{13}+\sqrt{2}＜b,\therefore a=5,b=6,\therefore a+b=5+6=11.$
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是先估算出$\sqrt{13}$和$\sqrt{2}$的取值范围，再求出两者之和的范围，最终确定连续整数$a$、$b$的值。解题步骤可分为三步：第一步先确定两个无理数的整数范围，第二步用平方法进一步精确两个无理数的小数区间，第三步对两个区间求和，判断和所在的连续整数区间，最后计算$a+b$即可。
【解析】
解：$\because 3^2=9，4^2=16，9＜13＜16，\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$。
又$\because 3.6^2=12.96＜13，3.7^2=13.69＞13，\therefore 3.6＜\sqrt{13}＜3.7$。
同理，$\because 1.4^2=1.96＜2，1.5^2=2.25＞2，\therefore 1.4＜\sqrt{2}＜1.5$。
将两个不等式相加可得：$3.6+1.4＜\sqrt{13}+\sqrt{2}＜3.7+1.5$，即$5＜\sqrt{13}+\sqrt{2}＜5.2$。
$\because a,b$为两个连续整数，且$a ＜ \sqrt{13} + \sqrt{2} ＜ b$，$\therefore a=5，b=6$。
则$a+b=5+6=11$。
【答案】
$\boxed{11}$
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题重点考查对无理数大小的估算能力，解题的关键是通过平方法将无理数的范围逐步精确，再通过求和确定最终区间，熟练掌握平方法估算无理数是解答这类题的核心技巧。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，核心是先估算出$\sqrt{13}$和$\sqrt{2}$的取值范围，再求出两者之和的范围，最终确定连续整数$a$、$b$的值。解题步骤可分为三步：第一步先确定两个无理数的整数范围，第二步用平方法进一步精确两个无理数的小数区间，第三步对两个区间求和，判断和所在的连续整数区间，最后计算$a+b$即可。
【解析】
解：$\because 3^2=9，4^2=16，9＜13＜16，\therefore 3＜\sqrt{13}＜4$。
又$\because 3.6^2=12.96＜13，3.7^2=13.69＞13，\therefore 3.6＜\sqrt{13}＜3.7$。
同理，$\because 1.4^2=1.96＜2，1.5^2=2.25＞2，\therefore 1.4＜\sqrt{2}＜1.5$。
将两个不等式相加可得：$3.6+1.4＜\sqrt{13}+\sqrt{2}＜3.7+1.5$，即$5＜\sqrt{13}+\sqrt{2}＜5.2$。
$\because a,b$为两个连续整数，且$a ＜ \sqrt{13} + \sqrt{2} ＜ b$，$\therefore a=5，b=6$。
则$a+b=5+6=11$。
【答案】
$\boxed{11}$
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题重点考查对无理数大小的估算能力，解题的关键是通过平方法将无理数的范围逐步精确，再通过求和确定最终区间，熟练掌握平方法估算无理数是解答这类题的核心技巧。
【难度系数】
0.7
