14. [2026苏州工业园区期末]任何数$a$，可用$[a]$表示不超过$a$的最大整数，如$[4]=4$，$[\sqrt{3}]=1$，现对72进行如下操作：$72 \xrightarrow{第1次} [\sqrt{72}]=8 \xrightarrow{第2次} [\sqrt{8}]=2 \xrightarrow{第3次} [\sqrt{2}]=1$，即对72只需进行3次操作就能变为1，类似地，对81只需进行3次操作就能变为1，那么只需进行3次操作就能变为1的所有正整数中，最大的是。

因为$2^2-1=3,4^2-1=15,16^2-1=255$，所以进行3次操作后变为1的所有正整数中最大的数为255. (根据题意，得最后取整为1，得到前面一个取整的最大整数为3，再向前推一步取整的最大整数为15，再向前推一步取整的最大整数为255)

【分析】
本题可采用倒推的思路求解：首先明确向下取整符号$[a]$的含义，要找到经过3次操作后变为1的最大正整数，我们从最后一次操作的结果1出发，逐步往前推算每一次操作前数的最大取值，最终得到符合要求的最大原数。
【解析】
我们按照从后往前的顺序推导每一步操作前数的取值范围：
1. 第3次操作后结果为1，设第3次操作前的数为$x$，根据定义有$[\sqrt{x}]=1$，结合向下取整的含义可得：$1≤\sqrt{x}＜2$，两边同时平方得$1≤ x＜4$，因此第3次操作前的最大正整数为$3$；
2. 第2次操作的结果为上述最大值3，设第2次操作前的数为$y$，则$[\sqrt{y}]=3$，可得$3≤\sqrt{y}＜4$，平方得$9≤ y＜16$，因此第2次操作前的最大正整数为$15$；
3. 第1次操作的结果为上述最大值15，设原数为$z$，则$[\sqrt{z}]=15$，可得$15≤\sqrt{z}＜16$，平方得$225≤ z＜256$，因此原数的最大正整数为$255$。
【答案】
255
【知识点】
1. 新定义运算
2. 算术平方根估算
3. 不等式的应用
【点评】
本题结合新定义符号考查算术平方根的估算能力，解题的核心是准确理解向下取整的含义，采用倒推的方法能快速锁定每一步的临界值，避免正向枚举的繁琐。
【难度系数】
0.6

15. 一个数值转换器的原理如图所示.

(1)当输入的x值为16时,求输出的y值.
(2)是否存在输入有意义的x值后,始终输不出y值的情况?如果存在,请直接写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由.
(3)输入一个两位数x,恰好经过两次取算术平方根才能输出y,则这个两位数x是.

(1)当$x=16$时，$\sqrt{16}=4$(有理数)，$\sqrt{4}=2$(有理数)，$\sqrt{2}$是无理数，$\therefore y=\sqrt{2}.$
(2)存在.$x=0$或1.
(3)$x=[(\sqrt{5})^2]^2=25$或$x=[(\sqrt{6})^2]^2=36$或$x=[(\sqrt{7})^2]^2=49$或$x=[(\sqrt{8})^2]^2=64.$

【分析】
本题需先明确数值转换器的运算规则：输入x后计算其算术平方根，若结果为无理数则直接输出；若为有理数，则将该结果作为新的输入值重复上述操作，直到得到无理数输出。
(1) 小问直接按照规则逐步计算x=16时的运算结果即可；
(2) 若始终输不出y值，说明每次计算算术平方根的结果都是有理数，永远无法得到无理数，结合算术平方根的性质找符合条件的x即可；
(3) “恰好经过两次取算术平方根才能输出”说明：第一次取x的算术平方根得到有理数，需要二次输入；第二次取该有理数的算术平方根得到无理数，直接输出，结合x是两位数的条件推导对应的x值即可。
【解析】
(1) 当输入x=16时：
第一步：计算$\sqrt{16}=4$，4是有理数，将4作为新的输入值；
第二步：计算$\sqrt{4}=2$，2是有理数，将2作为新的输入值；
第三步：计算$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出y。
$\therefore y=\sqrt{2}$。
(2) 存在始终输不出y值的情况。
理由：0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，二者都是有理数，无论重复多少次运算，结果都是本身，永远无法得到无理数，因此满足要求的x值为0或1。
(3) 设第一次取x的算术平方根得到的有理数为$a$，则$x=a^2$（$a$为正整数）。
因为恰好两次运算就输出，所以第二次计算$\sqrt{a}$的结果是无理数，即$a$不是完全平方数。
又因为x是两位数，所以$10≤ x≤99$，即$10≤ a^2≤99$，解得$4≤ a≤9$（$a$为正整数）。
排除$a$是完全平方数的情况：$a=4$（$\sqrt{4}=2$是有理数，需要第三次运算）、$a=9$（$\sqrt{9}=3$是有理数，需要第三次运算），因此$a$可取5、6、7、8。
对应的x值为：$5^2=25$，$6^2=36$，$7^2=49$，$8^2=64$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}$
(2) 存在，$x=0$或$1$
(3) $25,36,49,64$
【知识点】
算术平方根的运算，无理数的识别，程序类运算规则
【点评】
本题结合流程图形式考查实数的相关概念，需要先清晰理解运算逻辑再逐步推导，易错点在于第二问容易忽略0和1的算术平方根为本身的性质，第三问易误解“恰好两次”的条件、出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.6

16. 》推理能力 定义:若无理数$\sqrt{T}$的被开方数($T$为正整数)满足$n^2 ＜ T ＜ (n+1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“共同体区间”为$(n,n+1)$.例如:$\because 1^2 ＜ 3 ＜ 2^2,\therefore \sqrt{3}$的“共同体区间”为$(1,2)$.请回答下列问题:
(1)$\sqrt{26}$的“共同体区间”为;
(2)若无理数$\sqrt{a}$的“共同体区间”为$(2,3)$,求$\sqrt{a+6}$的“共同体区间”;
(3)若整数$x,y$满足关系式:$\sqrt{x-3} + |2025 + (y-4)^2| = 2026$,求$\sqrt{x(y+1)}$的“共同体区间”.

(1)$\because 5^2＜26＜6^2,\therefore \sqrt{26}$的“共同体区间”为$(5,6).$
(2)$\because$ 无理数$\sqrt{a}$的“共同体区间”为$(2,3),$
$\therefore 2^2＜a＜3^2$，即$4＜a＜9,$
$\therefore 10＜a+6＜15,\therefore 3^2＜a+6＜4^2,$
$\therefore \sqrt{a+6}$的“共同体区间”为$(3,4).$
(3)$\because \sqrt{x-3}+|2025+(y-4)^2|=2026,$
$\therefore \sqrt{x-3}+2025+(y-4)^2=2026,$
$\therefore \sqrt{x-3}+(y-4)^2=1.$
$\because \sqrt{x-3}\ge0,(y-4)^2\ge0$，且$x,y$均为整数，
$\therefore \begin{cases}\sqrt{x-3}=1,\\(y-4)^2=0\end{cases}$或$\begin{cases}\sqrt{x-3}=0,\\(y-4)^2=1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=4,\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=3,\\y=5\end{cases}$或$\begin{cases}x=3,\\y=3.\end{cases}$
当$x=4,y=4$时，$x(y+1)=20,$
$\because 4^2＜20＜5^2,\therefore \sqrt{x(y+1)}$的“共同体区间”为$(4,5).$
当$x=3,y=5$时，$x(y+1)=18,$
$\because 4^2＜18＜5^2,\therefore \sqrt{x(y+1)}$的“共同体区间”为$(4,5).$
当$x=3,y=3$时，$x(y+1)=12,$
$\because 3^2＜12＜4^2,\therefore \sqrt{x(y+1)}$的“共同体区间”为$(3,4).$
综上可知，$\sqrt{x(y+1)}$的“共同体区间”为$(4,5)$或$(3,4).$

【分析】
1. 第(1)问：根据“共同体区间”的定义，只需找到两个连续正整数$n$、$n+1$，使得$n^2＜26＜(n+1)^2$，即可确定$\sqrt{26}$的共同体区间。
2. 第(2)问：先根据$\sqrt{a}$的共同体区间反推$a$的取值范围，再推导得到$a+6$的取值范围，最后按照定义找到夹在$a+6$两边的连续正整数的平方，即可求出$\sqrt{a+6}$的共同体区间。
3. 第(3)问：首先根据偶次方的非负性判断$2025+(y-4)^2$恒为正，可直接去掉绝对值，整理等式得到$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=1$；再结合算术平方根、偶次方的非负性，以及$x$、$y$是整数的条件，分两类情况求解$x$、$y$的取值，最后分别代入$x(y+1)$，按照定义求出对应的共同体区间即可。
【解析】
(1) $\because 5^2=25$，$6^2=36$，满足$5^2＜26＜6^2$，$\therefore \sqrt{26}$的“共同体区间”为$(5,6)$。
(2) $\because$无理数$\sqrt{a}$的“共同体区间”为$(2,3)$，
$\therefore 2^2＜a＜3^2$，即$4＜a＜9$，
不等式两边同时加6得$10＜a+6＜15$，
又$\because 3^2=9＜10$，$4^2=16＞15$，即$3^2＜a+6＜4^2$，
$\therefore \sqrt{a+6}$的“共同体区间”为$(3,4)$。
(3) $\because (y-4)^2\ge0$，$\therefore 2025+(y-4)^2＞0$，
原式可化简为$\sqrt{x-3} + 2025 + (y-4)^2 = 2026$，整理得$\sqrt{x-3} + (y-4)^2 = 1$。
$\because \sqrt{x-3}\ge0$，$(y-4)^2\ge0$，且$x$、$y$均为整数，
$\therefore$分两种情况讨论：
①$\begin{cases}\sqrt{x-3}=1\\(y-4)^2=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}$；
②$\begin{cases}\sqrt{x-3}=0\\(y-4)^2=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}$或$\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}$。
分别代入计算：
当$x=4$，$y=4$时，$x(y+1)=4×5=20$，$\because 4^2=16＜20＜25=5^2$，$\therefore \sqrt{20}$的共同体区间为$(4,5)$；
当$x=3$，$y=5$时，$x(y+1)=3×6=18$，$\because 4^2=16＜18＜25=5^2$，$\therefore \sqrt{18}$的共同体区间为$(4,5)$；
当$x=3$，$y=3$时，$x(y+1)=3×4=12$，$\because 3^2=9＜12＜16=4^2$，$\therefore \sqrt{12}$的共同体区间为$(3,4)$。
综上，$\sqrt{x(y+1)}$的“共同体区间”为$(3,4)$或$(4,5)$。
【答案】
(1) $\boxed{(5,6)}$；(2) $\boxed{(3,4)}$；(3) $\boxed{(3,4)}$或$\boxed{(4,5)}$
【知识点】
新定义运算，无理数的估算，非负数的性质
【点评】
本题结合新定义考查无理数的估算与非负数的应用，解题核心是准确理解“共同体区间”的含义，熟练运用算术平方根、偶次方的非负性进行分类讨论，注意分类求解时不要漏解，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7