22. (10分)如图,在$□ ABCD$中,E为对角线AC的中点,连接BE,且$BE⊥ AC$,垂足为点E. 延长BC至点F,使$CF=CE$,连接EF,FD,且EF交CD于点G.
(1)求证:$□ ABCD$是菱形；

(2)若$BE=EF$,$EC=4$,求$△ DCF$的面积.

22. (1)
∵E为对角线AC的中点,BE⊥AC,
∴BE垂直平分AC.
∴AB=BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴□ABCD是菱形.(4分)
(2)
∵BE=EF,
∴∠EBF=∠EFB.
∵CF=CE,
∴∠CEF=∠CFE.
∴∠BCE=∠CEF+∠CFE=2∠CFE=2∠EBF.
∵∠BEC=90°,
∴∠CBE=30°,∠BCE=60°.
由(1)知□ABCD是菱形,
∴∠BCA=∠ACD=60°.
∴∠DCF=180°-∠BCD=60°.
∴∠BCE=∠DCF.
∵BC=CD,CE=CF,
∴△BCE≌△DCF(SAS).
∴∠DFC=∠BEC=90°.
∵CF=CE=4,
∴$DF= 4\sqrt{3}$ .
∴△DCF的面积=$\dfrac{1}{2} DF· CF= \dfrac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 4= 8\sqrt{3}$.(10分)

23. (10分)【问题背景】在学习了平行四边形后,某数学兴趣小组研究了有一个内角为$60°$的平行四边形的折叠问题.其探究过程如下:

(1)【探究发现】如图①,在$□ ABCD$中,$∠ A=60°$,$AB＞AD$,E为边AD的中点,点F在边DC上,且$DF=DE$,连接EF,将$△ DEF$沿EF翻折得到$△ GEF$,点D的对称点为点G.小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形,请判断该四边形的形状,不需要说明理由.
(2)【探究证明】取图①中边BC的中点M,点N在边AB上,且$BN=BM$,连接MN,将$△ BMN$沿MN翻折得到$△ HMN$,点B的对称点为点H,连接FH,GN,如图②,求证:四边形GFHN是平行四边形.
(3)【探究提升】在图②中,四边形GFHN能否成为轴对称图形?如果能,请直接写出$\frac{AD}{AB}$的值;如果不能,请说明理由.

23. (1)四边形DEGF是菱形.(2分)
(2)
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN,
∴BN=HN,BM=HM.
∵BN=BM,
∴BN=HN=BM=HM.
∴四边形BMHN是菱形.
∴BM//NH.
同理,四边形DEGF是菱形.
∴NH//BM,NH=BM,GF//DE,GF=ED.
∵E为边AD的中点,M为边BC的中点,
∴$DE=\dfrac{1}{2} AD$,$BM=\dfrac{1}{2} BC$.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD//BC.
∴FG=NH,FG//NH.
∴四边形GFHN是平行四边形.(6分)
(3)四边形GFHN能成为轴对称图形.(8分)
此时$\dfrac{AD}{AB}$的值为$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{2}{3}$.(10分)
【解析】若四边形GFHN为轴对称图形,则四边形GFHN是矩形或菱形.
当四边形GFHN是矩形时,如图①,过点G作GK⊥AB于点K,过点E作ET⊥AB于点T,设AT=x,则AE=2x.可得AD=2AE=4x,DE=AE=2x,求出AB=AT+TK+KN+NB=x+2x+3x+2x=8x,即可得$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{1}{2}$.

当四边形GFHN是菱形时,如图②,延长FG交AB于点W,设AW=x,则AD=2AE=2x,求出AB=AW+WN+NB=x+x+x=3x,即可得$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{2}{3}$.
综上,$\dfrac{AD}{AB}$的值为$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{2}{3}$.